数学Aの順列では、

$$
5!
$$

や、

$$
n!
$$

という記号が出てくるぞ。

普通の文章なら、

「！」

はビックリマークだよな。

だがしかし、

数学では、

階乗（かいじょう）

という意味で使われるんだ。

 

 

階乗とは？？

階乗とは、

ある自然数から1までの整数を、すべて掛けたもの

だ。

nの階乗は、

$$
n!
$$

と表す。

つまり、

$$
\boxed{
n!
=
n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1
}
$$

ってわけだな。

 

たとえば、

$$
4!
$$

なら、

4から1まで全部掛けるから、

$$
4!
=
4\times3\times2\times1
$$

になる。

したがって、

$$
\boxed{
4!=24
}
$$

になるんだ。

 

 

n!の「!」は階乗を表す記号

階乗では、

数字や文字の右側に、

$$
!
$$

をつける。

たとえば、

$$
3!
$$

$$
5!
$$

$$
10!
$$

などである。

これはそれぞれ、

$$
3!=3\times2\times1
$$

$$
5!=5\times4\times3\times2\times1
$$

$$
10!=10\times9\times8\times\cdots\times2\times1
$$

という意味になる。

つまり、

$$
\boxed{
!
=
その数から1まで掛ける
}
$$

と考えるとわかりやすい。

 

階乗の計算方法

いくつか実際に計算してみよう。

まず、

$$
1!=1
$$

である。

次に、

$$
2!
=
2\times1
=
2
$$

$$
3!
=
3\times2\times1
=
6
$$

$$
4!
=
4\times3\times2\times1
=
24
$$

$$
5!
=
5\times4\times3\times2\times1
=
120
$$

となる。

 

1!から10!まで

階乗は数が少し大きくなるだけで、

一気に大きな数になる。

$$
1!=1
$$

$$
2!=2
$$

$$
3!=6
$$

$$
4!=24
$$

$$
5!=120
$$

$$
6!=720
$$

$$
7!=5040
$$

$$
8!=40320
$$

$$
9!=362880
$$

$$
10!=3628800
$$

である。

5から10になっただけでも、

$$
120
$$

から、

$$
3628800
$$

まで増える。

階乗は、

とても速く大きくなる数

なのだ。

 

階乗は前の階乗を使って計算できる

階乗には、

便利な関係がある。

たとえば、

$$
5!
$$

は、

$$
5\times4\times3\times2\times1
$$

である。

一方、

$$
4!
=
4\times3\times2\times1
$$

なので、

$$
5!
=
5\times4!
$$

と書ける。

同じように、

$$
6!
=
6\times5!
$$

である。

一般に、

$$
\boxed{
n!
=
n(n-1)!
}
$$

となる。

つまり、

1つ前の階乗にnを掛ければいい

ってわけな。

 

0!はどうなる？

階乗では、少し不思議な式も出てくる。

それが、

$$
0!
$$

だな。

数学では、

$$
\boxed{
0!=1
}
$$

と定めるぞ。

 

「0から1まで掛けるものがないのに、なぜ1？」

と思うよな？？

これは、順列の公式などを、0の場合でもきれいに成り立たせるためなんだ。

まとめ

今回は、

階乗とn!の意味

について確認した。

階乗とは、

$$
\boxed{
その数から1まで全部掛ける
}
$$

ことである。

つまり、

$$
\boxed{
n!
=
n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1
}
$$

だ。

たとえば、

$$
4!=24
$$

$$
5!=120
$$

$$
6!=720
$$

となる。

ぶっちゃけ、

その数から1まで全部掛ける記号

だと思えばいいな。

 

それじゃあ。