相関係数の求め方をわかりやすく解説｜公式・計算手順を例題で確認
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、相関係数を実際にどうやって計算するのかを順番に見ていくぞ。
相関係数は、
2つの変量の間に、どれくらい強い直線的な関係があるか
を表す値だ。
公式は、
$$
\boxed{
r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
}
$$
である。
ここで、
$$
s_{xy}
$$
は共分散、
$$
s_x
$$
はxの標準偏差、
$$
s_y
$$
はyの標準偏差だ。
つまり、
$$
\boxed{
相関係数
=
\frac{共分散}
{xの標準偏差\times yの標準偏差}
}
$$
ということになる。
今回は、
相関係数の求め方を5つのステップ
に分けて確認していこう。
相関係数の求め方は5ステップ
相関係数は、次の順番で求める。
① xとyの平均を求める
② それぞれの偏差を求める
③ xとyの標準偏差を求める
④ 共分散を求める
⑤ 公式に代入する
つまり、
$$
\boxed{
平均
\rightarrow
偏差
\rightarrow
標準偏差
\rightarrow
共分散
\rightarrow
相関係数
}
$$
という流れだ。
次の例題で相関係数を求めてみよう。
次のデータを考える。
$$
x:1,\ 2,\ 3
$$$$
y:2,\ 4,\ 6
$$このxとyの相関係数を求めてみよう。
xとyの平均を求める
まず、xの平均を求める。
$$
\bar{x}
=
\frac{1+2+3}{3}
=
2
$$
したがって、
$$
\boxed{
\bar{x}=2
}
$$
である。
次に、yの平均は、
$$
\bar{y}
=
\frac{2+4+6}{3}
=
4
$$
なので、
$$
\boxed{
\bar{y}=4
}
$$
となる。
xとyの偏差を求める
xの偏差は、
$$
x_i-\bar{x}
$$
で求める。
xのデータは、
$$
1,\ 2,\ 3
$$
平均は、
$$
2
$$
だから、
$$
1-2=-1
$$
$$
2-2=0
$$
$$
3-2=1
$$
よって、
$$
\boxed{
xの偏差=-1,\ 0,\ 1
}
$$
となる。
yについても同じように求める。
yの平均は、
$$
4
$$
なので、
$$
2-4=-2
$$
$$
4-4=0
$$
$$
6-4=2
$$
したがって、
$$
\boxed{
yの偏差=-2,\ 0,\ 2
}
$$
となる。
xの標準偏差を求める
まず、xの分散を求める。
xの偏差は、
$$
-1,\ 0,\ 1
$$
なので、
偏差の2乗は、
$$
1,\ 0,\ 1
$$
となる。
分散は、
$$
s_x^2
=
\frac{1+0+1}{3}
=
\frac{2}{3}
$$
だから、
標準偏差は、
$$
s_x
=
\sqrt{\frac{2}{3}}
$$
となる。
つまり、
$$
\boxed{
s_x=\sqrt{\frac{2}{3}}
}
$$
である。
yの標準偏差を求める
yの偏差は、
$$
-2,\ 0,\ 2
$$
なので、
偏差の2乗は、
$$
4,\ 0,\ 4
$$
となる。
したがって、yの分散は、
$$
s_y^2
=
\frac{4+0+4}{3}
=
\frac{8}{3}
$$
標準偏差は、
$$
s_y
=
\sqrt{\frac{8}{3}}
$$
となる。
よって、
$$
\boxed{
s_y=\sqrt{\frac{8}{3}}
}
$$
である。
共分散を求める
共分散は、
$$
\boxed{
s_{xy}
=
\frac{1}{n}
\sum
(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
}
$$
で求める。
今回の偏差は、
xが、
$$
-1,\ 0,\ 1
$$
yが、
$$
-2,\ 0,\ 2
$$
なので、
偏差の積は、
$$
(-1)(-2)=2
$$
$$
0\times0=0
$$
$$
1\times2=2
$$
となる。
したがって、
$$
s_{xy}
=
\frac{2+0+2}{3}
=
\frac{4}{3}
$$
よって、
$$
\boxed{
s_{xy}=\frac{4}{3}
}
$$
である。
相関係数の公式に代入する
相関係数は、
$$
r
=
\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
$$
だった。
今回、
$$
s_{xy}=\frac{4}{3}
$$
$$
s_x=\sqrt{\frac{2}{3}}
$$
$$
s_y=\sqrt{\frac{8}{3}}
$$
なので、
$$
r
=
\frac{\frac{4}{3}}
{
\sqrt{\frac{2}{3}}
\sqrt{\frac{8}{3}}
}
$$
となる。
分母は、
$$
\sqrt{
\frac{16}{9}
}
=
\frac{4}{3}
$$
だから、
$$
r
=
\frac{\frac{4}{3}}
{\frac{4}{3}}
=
1
$$
したがって、
$$
\boxed{
r=1
}
$$
となる。
r=1は、完全な正の相関だ。この例ではxが増えるとyも一直線に増えているな。
まとめ：相関係数の求め方をズバッと整理
相関係数を求めるときは、
次の順番で進める。
① xとyの平均を求める
$$
\bar{x},\ \bar{y}
$$
② xとyの偏差を求める
$$
x_i-\bar{x}
$$
$$
y_i-\bar{y}
$$
③ 標準偏差を求める
$$
s_x,\ s_y
$$
④ 共分散を求める
$$
s_{xy}
$$
⑤ 公式に代入する
$$
\boxed{
r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
}
$$
これが基本の流れだ。
平均、偏差、標準偏差、共分散、最後にr。この順番でいけば迷いにくいぞ。
それじゃあな。
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