【高校数学A】組合せの意味・公式・求め方をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。在庫、だったんだな
数学Aでは、
順列のあとに、
組合せ（くみあわせ）
という考え方が出てくるぞ。
順列では、
順番を区別して並べる
ことを考えたよな？？
一方、
組合せでは、
順番を考えずに選ぶ
ことを考える。
たとえば、
A、B、Cの3人を選ぶとき、
$$
ABC
$$
$$
ACB
$$
$$
BAC
$$
のように、
順番が違っても、
選ばれている3人が同じなら、
組合せでは、
同じ1組
として扱うんだ。
組合せとは？？
組合せとは、
いくつかのものから、順番を考えずに取り出して1組にすること
である。
たとえば、
4個の文字、
$$
a,\ b,\ c,\ d
$$
から、
3個を選ぶとする。
組合せは、
$$
\{a,b,c\}
$$
$$
\{a,b,d\}
$$
$$
\{a,c,d\}
$$
$$
\{b,c,d\}
$$
の、
$$
4通り
$$
である。
組合せでは順番を区別しない
たとえば、
$$
a,\ b,\ c
$$
を選んだとする。
順列なら、
$$
abc
$$
$$
acb
$$
$$
bac
$$
$$
bca
$$
$$
cab
$$
$$
cba
$$
は、
すべて別の並べ方として数える。
しかし、
組合せでは、
どれも、
$$
\{a,b,c\}
$$
という、
同じ1組
である。
つまり、
$$
\boxed{
組合せ
=
順番を区別しない
}
$$
ということだ。
順列と組合せの違い
順列と組合せの違いは、
順番を区別するかどうか
である。
順列では、
$$
AB
$$
と、
$$
BA
$$
は、
別のものとして数える。
一方、
組合せでは、
AとBを選んだという点では同じなので、
同じ1組として数える。
つまり、
$$
\boxed{
順列
=
選んで並べる
}
$$
$$
\boxed{
組合せ
=
選ぶだけ
}
$$
である。
「誰を選ぶか」だけなら組合せ。「誰が1番目、2番目か」まで考えるなら順列だ。
nCrとは？
異なるn個のものから、
r個を選ぶ組合せの総数を、
$$
{}_nC_r
$$
と表す。
たとえば、
$$
{}_5C_2
$$
なら、
5個の異なるものから2個を選ぶ組合せの数
という意味である。
Cは何の略？
$$
C
$$
は、
英語の、
Combination
に由来する。
Combinationは、
「組合せ」
という意味である。
したがって、
$$
{}_nC_r
$$
を見たら、
n個からr個を選ぶ
と考えよう。
具体例：4個から3個選ぶ
4個の文字、
$$
a,\ b,\ c,\ d
$$
から、
3個を選ぶとする。
組合せは、
$$
\{a,b,c\}
$$
$$
\{a,b,d\}
$$
$$
\{a,c,d\}
$$
$$
\{b,c,d\}
$$
なので、
$$
4通り
$$
ある。
したがって、
$$
\boxed{
{}_4C_3=4
}
$$
である。
組合せは順列から求められる
では、
組合せの公式は、
なぜあの形になるのだろう。
まず、
4個から3個を、
順番をつけて並べる
場合を考える。
これは、
順列なので、
$$
{}_4P_3
$$
である。
計算すると、
$$
{}_4P_3
=
4\times3\times2
=
24
$$
通りある。
しかし、
組合せでは、
順番を区別しない。
そこで、
この24通りの中に、
同じ組が何回ずつ含まれているかを考える。
1つの組合せからr!通りの順列ができる
たとえば、
$$
\{a,b,c\}
$$
という1つの組合せを考える。
これを順番に並べると、
$$
abc
$$
$$
acb
$$
$$
bac
$$
$$
bca
$$
$$
cab
$$
$$
cba
$$
の、
$$
3!
=
6
$$
通りある。
つまり、
順列では、
1つの組合せを、
$$
3!
$$
回ずつ数えていることになる。
だから、
$$
{}_4P_3
$$
を、
$$
3!
$$
で割れば、
組合せの数になる。
よって、
$$
{}_4C_3
=
\frac{{}_4P_3}{3!}
$$
となる。
組合せの公式
一般に、
n個からr個を選ぶとする。
まず、
順番を区別して並べると、
$$
{}_nP_r
$$
通りある。
しかし、
1つの組合せについて、
そのr個を並べる方法は、
$$
r!
$$
通りある。
つまり、
順列では、
同じ組合せを、
$$
r!
$$
回ずつ数えている。
だから、
$$
r!
$$
で割ればよい。
したがって、
$$
\boxed{
{}_nC_r
=
\frac{{}_nP_r}{r!}
}
$$
となる。
組合せでは順番を無視したい。だから、順番の違いr!通りをまとめて1つにするわけだな。
階乗を使った組合せの公式
順列は、
$$
{}_nP_r
=
\frac{n!}{(n-r)!}
$$
と表せる。
これを、
$$
{}_nC_r
=
\frac{{}_nP_r}{r!}
$$
に代入すると、
$$
{}_nC_r
=
\frac{
\frac{n!}{(n-r)!}
}{
r!
}
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{
{}_nC_r
=
\frac{n!}{r!(n-r)!}
}
$$
である。
これが、
組合せの代表的な公式だ。
具体例：10個から3個選ぶ
10個の異なるものから、
3個を選ぶ組合せを考える。
$$
{}_ {10}C_3
$$
である。
公式を使うと、
$$
{}_{10}C_3
=
\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}
$$
となる。
計算すると、
$$
=
\frac{720}{6}
$$
$$
=
120
$$
だから、
$$
\boxed{
{}_{10}C_3=120
}
$$
である。
まとめ
オッケー、以上だ。今回は、
組合せとnCrの意味・公式
を確認したな。
組合せとは、
いくつかのものから、順番を考えずに選ぶこと
だ。
つまり、
$$
\boxed{
組合せ
=
順番を区別しない
}
$$
ということだ。
異なるn個から、
r個を選ぶ組合せの総数は、
$$
{}_nC_r
$$
と表す。
順列では、
同じr個を選んでも、
並び方によって、
$$
r!
$$
通りに分かれる。
組合せでは、
それらをすべて同じ1組として扱うので、
$$
\boxed{
{}_nC_r
=
\frac{{}_nP_r}{r!}
}
$$
となる。
さらに、
$$
\boxed{
{}_nC_r
=
\frac{n!}{r!(n-r)!}
}
$$
とも表せる。
順列か組合せか迷ったら、
「順番を入れ替えたら別の結果になるか？」
を考えてみよう。
順番が関係なければ、組合せだ。
それじゃあな。
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