中点連結定理の証明ってどうやるの？？
どーも、ぺーたーだよ。
図形と相似の単元で、
中点連結定理
を勉強していくよね。
えっ、忘れたって！？
中点連結定理を簡単にいってやると、
三角形の2辺の中点を通る線が、
底辺に平行で、
なおかつ、
底辺の半分になってるよー
っていう定理なんだ。
けっこう便利なんだけど、
なんでそうなるの？
って思ったことはないかな？
思ったことがなくても、
中点連結定理を使えれば大丈夫なんだけどねw
ってことで、今日は、
なんで中点連結定理が使えるか？？
を証明していくよ！
中点連結定理の証明がわかる3ステップ
さっそく中点連結定理を証明していくよ。
3ステップで証明できちゃうんだ。
- 相似の証明
- 相似比を求める
- 平行の証明
中点連結定理を証明するために、
つぎの、
△ADEと△ABC
を思い浮かべてみて。
DとEはそれぞれ、ABとACの中点ね。
中点連結定理の証明のゴールは、
- DE = 1/2 BC
- DE//BC
を証明することだよ。
さっそく証明していこう！
Step1. 相似の証明
まずは△ADEと△ABCの相似の証明だ。
D・Eはそれぞれの中点だから、
- AD=DB
- AE = EC
だよね？？
ってことは、比であらわすと、
- AD:DB=1:1
- AE:EC=1:1
になるはずなんだ。
ADとDBの比を合わせると、
AD:AB=1:2…①
ACの比も同じ考え方でAEとECの比を合わせると、
AE:AC=1:2…②
になるね。
んで、
△ADEと△ABCは角Aを共有してるよね？？
ってことで、
角DAE = 角BAC （共通）…③
だ。
①、②、③より、三角形の相似条件の、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいが使えるから、
△ADE∽△ABC
になるね。
これで相似の証明はできた！
Step2. 相似比を求める
三角形の相似比を求めてみよう。
①のAD:AB=1:2より、
△ADEと△ABCの相似比は1：2になるよ。
なぜなら、
ADとABは対応してる辺どうしだからね。
つまり、
△ADEと△ABCの対応する辺の比は全て、
1：2になるはずなんだ。
ってことは、残りの対応する辺の、
DEとBCの相似比も1:2になるね。
DE:BC=1:2
こいつを別の言い方をすると、
DE=1/2BC
ともできるよね。
これでDEがBCの半分になるってことはわかったね！
Step3. 平行の証明
あとは、
DEとBCが平行であること
を証明していこう。
これで中点連結定理の証明が完了するね。
平行の証明には、
同位角が等しいこと
をつかっていくよ。
△ADE∽△ABCだから、相似の図形の性質をつかうと、
対応する角はすべて等しいはずだね。
ってことは、
角ADE = 角ABC
がいえちゃうんだ。
こいつらは、どうみても同位角。
同位角が等しいから、
同位角をつくってるDEとBCは平行
ってことがいえるんだ。
ってことで、
DE // BC
になるよ。
ここまでの3つのステップから、
DE//BC
DE=1/2BC
であることが言えるんだ。
おめでとう！
中点連結定理を証明できたね！！
まとめ：中点連結定理の証明はステップ踏めばOK
ここまでで、中点連結定理は証明できたね？？
べつに証明はできなくてもいいけど、
なぜ、中点連結定理がつかえるのか？？
ということは、ふんわりでもいいから頭の片隅においておいてね。
じゃ、またね！
ぺーたー
