データの分析では、

• 偏差
• 分散
• 標準偏差

という3つの言葉が出てくる。

名前が似ていて混乱しやすいが、

役割はそれぞれ違う。

まず結論から言うと、

$$
\boxed{
偏差
=
データと平均値との差
}
$$

$$
\boxed{
分散
=
偏差を2乗して平均したもの
}
$$

$$
\boxed{
標準偏差
=
分散の正の平方根
}
$$

である。

今回は、

なぜ偏差を2乗するのか

なぜ分散の平方根をとるのか

まで含めて、順番に見ていこう。

 

まずは平均値を求めるところから

これらのキーワードはまずは平均値を計算することがスタート地点だ。

次のデータを考えよう。

$$
2,\ 4,\ 6
$$

平均値は、

$$
\bar{x}
=
\frac{2+4+6}{3}
=
4
$$

なので、

$$
\boxed{
平均値=4
}
$$

である。

この平均値から、

それぞれのデータがどれくらい離れているかを考える。

ここで登場するのが、

偏差（へんさ）

だ。

 

偏差（へんさ）とは？？

偏差とは、

それぞれのデータの値と平均値との差

だ。

式では、

$$
\boxed{
偏差
=
データの値-平均値
}
$$

となる。

今回のデータ、

$$
2,\ 4,\ 6
$$

の平均値は、

$$
4
$$

だった。

だから、それぞれの偏差は、

$$
2-4=-2
$$

$$
4-4=0
$$

$$
6-4=2
$$

となる。

したがって、

$$
\boxed{
偏差=-2,\ 0,\ 2
}
$$

である。

 

 

でもな、

偏差の平均では散らばりを表せないんだ。

 

さっきの例でやってみよう。

偏差は、

$$
-2,\ 0,\ 2
$$

なので、

平均は、

$$
\frac{-2+0+2}{3}
=
0
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
偏差の平均=0
}
$$

だ。

 

えっ、なぜ偏差の平均は0になるのかって？？

それは、

プラスとマイナスが打ち消し合ってしまうからさ。

 

平均値より小さいデータの偏差は、

マイナス

になる。

平均値より大きいデータの偏差は、

プラス

になる。

だから、偏差を全部足すと、

必ず0になる。

それゆえ、

偏差をそのまま平均しても、

データの散らばり具合は測れないんだな。

 

そこで偏差を2乗する

偏差をそのまま足すと、

プラスとマイナスが打ち消し合う。

そこで、

偏差を2乗するぞ。

 

さっきの偏差、

$$
-2,\ 0,\ 2
$$

を2乗すると、

$$
(-2)^2=4
$$

$$
0^2=0
$$

$$
2^2=4
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
4,\ 0,\ 4
}
$$

だ。

すべて0以上になった。

これなら、

プラスとマイナスが打ち消し合うことはない。

 

分散（ぶんさん）とは？？

ここで分散の登場だ。

分散とは、

偏差を2乗した値の平均だ。

 

つまり、

$$
\boxed{
分散
=
偏差の2乗の平均
}
$$

である。

今回の例なら、

$$
\frac{4+0+4}{3}
$$

なので、

$$
\boxed{
分散
=
\frac{8}{3}
}
$$

となる。

 

分散の公式

データの値を、

$$
x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n
$$

平均値を、

$$
\bar{x}
$$

とする。

このとき分散は、

$$
\boxed{
s^2
=
\frac{1}{n}
\left\{
(x_1-\bar{x})^2
+
(x_2-\bar{x})^2
+
\cdots
+
(x_n-\bar{x})^2
\right\}
}
$$

となる。

つまり、

各データと平均値との差を出す

↓

それぞれ2乗する

↓

全部足す

↓

データの個数で割る

という流れだ。

 

分散は何を表している？

分散は、

データが平均値のまわりにどれくらい散らばっているか

を表す。

 

分散が小さいなら、

データが平均値の近くに集まっている

ということ。

分散が大きいなら、

平均値から離れたデータが多い

ということだ。

でも分散には1つ問題がある

分散は便利だけど、

少し困ることがある。

それは、

単位が2乗されてしまう

ことだ。

 

たとえば、

身長のデータを、

$$
\mathrm{cm}
$$

で測ったとする。

偏差の単位も、

$$
\mathrm{cm}
$$

である。

しかし、

偏差を2乗すると、

$$
\mathrm{cm}^2
$$

になってしまう。

だから、

分散の単位も、

$$
\mathrm{cm}^2
$$

になる。

 

身長の散らばりを考えているのに、

$$
\mathrm{cm}^2
$$

と言われても、

感覚的には少しわかりにくいよな？？

 

身長なら、

できれば、

cmのまま散らばりを表したい。

そこで登場するのが、

標準偏差（ひょうじゅんへんさ）

だ。

 

標準偏差とは？？

標準偏差とは、

分散の正の平方根

のことだ。

つまり、

$$
\boxed{
標準偏差
=
\sqrt{分散}
}
$$

である。

今回の分散は、

$$
\frac{8}{3}
$$

だったので、

標準偏差は、

$$
\boxed{
\sqrt{\frac{8}{3}}
}
$$

となる。

およそ、

$$
1.63
$$

である。

なぜ標準偏差では平方根をとるの？

分散では、

偏差を2乗した。

だから単位も、

$$
\mathrm{cm}
\rightarrow
\mathrm{cm}^2
$$

になってしまった。

そこで、

平方根をとる。

すると、

$$
\sqrt{\mathrm{cm}^2}
=
\mathrm{cm}
$$

となり、

元のデータと同じ単位に戻る

んだ。

つまり、

$$
\boxed{
偏差を2乗
\rightarrow
分散
\rightarrow
平方根
\rightarrow
標準偏差
}
$$

という流れになっている。

 

標準偏差は何を表している？

標準偏差も、

データの散らばり具合

を表す。

標準偏差が小さいほど、

データは平均値の近くに集まっている。

標準偏差が大きいほど、

データは広く散らばっている。

しかも、

標準偏差は、

元のデータと同じ単位

なので、

分散より感覚的に理解しやすい。

 

まとめ：偏差・分散・標準偏差の違い

ここまでをズバッと整理しよう。

偏差は、

$$
\boxed{
データの値-平均値
}
$$

で、

1つ1つのデータが平均からどれくらい離れているか

を表す。

 

分散は、

$$
\boxed{
偏差の2乗の平均
}
$$

で、

データ全体の散らばり具合

を表す。

 

標準偏差は、

$$
\boxed{
\sqrt{分散}
}
$$

で、

分散を元の単位に戻したバージョン

ってわけね。

 

それじゃあ