余弦定理とは？公式の意味と使い方をわかりやすく解説
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は余弦定理をやるぞ。正弦定理に続いて、三角形の辺と角をつなぐ大事な公式だ。
高校数学Iの三角比では、正弦定理のあとに、
余弦定理
という公式が出てくる。
余弦定理は、三角形の
$$
3つの辺
$$
と
$$
1つの角
$$
をつなぐ公式さ。
公式は次の通りだ。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
公式が3つ並ぶと、ちょっと重そうに見えるな。でも基本は同じ形だ。求めたい辺の2乗を見るんだ。
この記事では、余弦定理の意味と使い方をわかりやすく解説するぞ。
余弦定理の意味
余弦定理は、
三角形の1つの辺を、残り2つの辺とその間の角で表す公式
である。
たとえば、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を見てみよう。
辺
$$
a
$$
は、角Aの向かい側の辺である。
そして、角Aをはさむ2つの辺が、
$$
b
$$
と
$$
c
$$
である。
つまり、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
は、
角Aをはさむ2辺b,cと角Aから、向かい側の辺aを求める公式
なのだ。
aを求めたいなら、角Aを見る。Aをはさむ辺はbとc。だから b²+c²−2bc cosA になるわけだ。
余弦定理は三平方の定理の拡張
余弦定理は、三平方の定理と深くつながっている。
三平方の定理では、直角三角形で、
$$
a^2=b^2+c^2
$$
のような関係が成り立つ。
一方、余弦定理では、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここで、もし角Aが
$$
90^\circ
$$
なら、
$$
\cos90^\circ=0
$$
である。
したがって、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos90^\circ
$$
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cdot0
$$
$$
a^2=b^2+c^2
$$
となる。
つまり、角Aが直角のとき、余弦定理は三平方の定理になる。
余弦定理は、三平方の定理のパワーアップ版だ。直角じゃない三角形にも使えるようにしたもの、と見るとわかりやすいぞ。
余弦定理は何に使うのか
余弦定理は、主に次のような場面で使う。
- 2辺とその間の角から、残りの辺を求める
- 3辺から、角のcosを求める
- 三角形が鋭角・直角・鈍角かを調べる
特に大事なのは、
2辺とその間の角がわかっているとき
である。
たとえば、
$$
b
$$
$$
c
$$
$$
A
$$
がわかっているなら、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を使って、
$$
a
$$
を求めることができる。
余弦定理の使い方
余弦定理を使うときは、まず「どの辺を求めたいか」を見る。
たとえば、
$$
a
$$
を求めたいなら、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を使う。
$$
b
$$
を求めたいなら、
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
を使う。
$$
c
$$
を求めたいなら、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
を使う。
つまり、
- aを求めたい → Aを使う
- bを求めたい → Bを使う
- cを求めたい → Cを使う
と考えるとよい。
求めたい辺の向かいの角を使う。aならA、bならB、cならC。この対応を外さなければ大丈夫だ。
例題1：2辺とその間の角から辺を求める
三角形ABCで、
$$
b=5
$$
$$
c=7
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、
$$
a
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここに、
$$
b=5
$$
$$
c=7
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ
$$
ここで、
$$
\cos60^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
a^2=25+49-70\cdot\frac{1}{2}
$$
$$
a^2=74-35
$$
$$
a^2=39
$$
したがって、
$$
a=\sqrt{39}
$$
である。
つまり、
$$
a=\sqrt{39}
$$
となる。
2辺とその間の角がわかっているなら、余弦定理の出番だ。まずは求めたい辺の2乗を作ろう。
例題2：3辺から角のcosを求める
次に、3辺がわかっている場合を考える。
三角形ABCで、
$$
a=7
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
のとき、
$$
\cos A
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
ここに、
$$
a=7
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
を代入する。
$$
7^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos A
$$
$$
49=25+36-60\cos A
$$
$$
49=61-60\cos A
$$
両辺を整理すると、
$$
60\cos A=12
$$
したがって、
$$
\cos A=\frac{12}{60}
$$
$$
\cos A=\frac{1}{5}
$$
となる。
つまり、
$$
\cos A=\frac{1}{5}
$$
である。
余弦定理で角を求める形
3辺から角を求めたいときは、余弦定理を変形して使うことも多い。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
を
$$
\cos A
$$
について解くと、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
同じように、
$$
\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
$$
$$
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
である。
3辺がわかっていて角を求めたいときは、この形が便利だ。
3辺がわかっているときは、cosの形に変形すると使いやすい。角そのものより、まずcosの値を求めるんだ。
正弦定理との違い
正弦定理と余弦定理は、どちらも三角形の辺と角をつなぐ公式である。
ただし、使いやすい場面が違う。
正弦定理は、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
である。
これは、
辺と向かいの角のペア
が見えているときに使いやすい。
一方、余弦定理は、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これは、
2辺とその間の角
がわかっているときに使いやすい。
つまり、
- 辺と向かいの角のペアがある → 正弦定理
- 2辺とその間の角がある → 余弦定理
- 3辺がわかっている → 余弦定理
と考えるとよい。
まとめ
今回は、余弦定理の意味と使い方を確認した。
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺をそれぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とすると、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
$$
b^2=c^2+a^2-2ca\cos B
$$
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
が成り立つ。
これが余弦定理である。
余弦定理は、
2辺とその間の角から残りの辺を求める公式
であり、
3辺から角のcosを求める公式
でもある。
特に、
- 2辺とその間の角がわかっているとき
- 3辺がわかっているとき
に使う。
余弦定理は、三角形の辺と角を一気につなぐ強力な公式だ。2辺とその間の角、または3辺が見えたら、余弦定理を思い出そう。
次は、なぜ
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
が成り立つのかを証明していこう。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
