鈍角の三角比の求め方｜半円と座標でsin・cos・tanを求めよう
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は鈍角の三角比の求め方をやるぞ。半円と座標を使って、sin、cos、tanを実際に求めていく。
高校数学Iでは、三角比を
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で考えるぞ。
つまり、
$$
120^\circ
$$
や
$$
150^\circ
$$
のような鈍角についても、
$$
\sin\theta
$$
$$
\cos\theta
$$
$$
\tan\theta
$$
を考えられるってことさ。
鈍角とは復習しておくと、
90°より大きく、180°より小さい角
のことだったよな。
たとえば、
$$
120^\circ
$$
$$
135^\circ
$$
$$
150^\circ
$$
などが鈍角だ。
鈍角の三角比は、直角三角形だけで考えると少し見えにくい。そこで半円と座標の出番だ。
鈍角では点Pが左側にくる
鈍角の場合、角
$$
\theta
$$
は
$$
90^\circ
$$
より大きい。
そのため、半円上の点Pは、座標平面の左側にくる。
つまり、点Pの
$$
x
$$
座標は負になる。
一方で、点Pは半円の上側にあるので、
$$
y
$$
座標は正になる。
したがって、鈍角では基本的に、
- x座標は負
- y座標は正
- 半径rは正
となる。
ここが、鈍角の三角比でとても大事なポイントだ。
鈍角では、点Pが左側にある。だからxはマイナスになる。ここでcosとtanにマイナスが出てくるんだ。
例：鈍角150°の三角比を求める
では、実際に鈍角の三角比を求めてみよう。
今回は、
$$
\theta=150^\circ
$$
の場合を考える。
半径を
$$
r=2
$$
とする。
このとき、半円上の点Pの座標が、
$$
P(-\sqrt{3},1)
$$
だったとする。
すると、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
である。
150°では点Pが左側にある。だからx座標が -√3 になっているな。
sin150°を求める
まず、
$$
\sin150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
である。
ここで、
$$
y=1
$$
$$
r=2
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
となる。
つまり、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
である。
cos150°を求める
次に、
$$
\cos150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
である。
ここで、
$$
x=-\sqrt{3}
$$
$$
r=2
$$
なので、
$$
\cos150^\circ=\frac{-\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
つまり、
$$
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
tan150°を求める
最後に、
$$
\tan150^\circ
$$
を求める。
定義より、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
である。
ここで、
$$
y=1
$$
$$
x=-\sqrt{3}
$$
なので、
$$
\tan150^\circ=\frac{1}{-\sqrt{3}}
$$
となる。
したがって、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
まとめ
最後にさらっとおさらいしておくぞ。
今回は、鈍角の三角比の求め方を確認した。
鈍角とは、
$$
90^\circ<\theta<180^\circ
$$
の角である。
鈍角では、半円上の点Pが左側にくる。
そのため、
$$
x<0 $$ $$ y>0
$$
となる。
三角比の定義は、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
である。
だから、鈍角では、
$$
\sin\theta
$$
は正、
$$
\cos\theta
$$
は負、
$$
\tan\theta
$$
は負になるんだな。
鈍角の三角比は、半円と座標で考える。sinはy/r、cosはx/r、tanはy/x。鈍角ではxが負になるから、cosとtanは負になる。これでいこう。
それじゃあな。
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