【簡単公式】台形の体積(正四角錐台)の求め方がわかる3ステップ

台形の体積の公式の求め方を知りたい!?

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。着る毛布ほしいね。

 

台形の体積の求め方を教えてほしい。

そう、きかれることが結構ある。

 

正直ドヤ顔で、

台形の体積はね・・・

って答えそうになる。

だけれども、

そもそも台形に体積はないんだ!

 

台形 体積 求め方 公式

 

台形は平面図形だからね。

台形の面積なら求められるけど、体積は無理なんだ。

 

台形の面積の求め方 公式

 

でもさ、いったい、、

台形の体積ってなんだろう??

たぶん、みんながいってる「台形の体積」は、

正四角錐台の体積

のことなんじゃないかな。

 

台形 体積 求め方 公式

 

プリンみたいな立体だよ。

正四角錐台は台形の立体バージョンにみえるし、たぶんそう。。

そこで今日は台形の体積のかわりに、

正四角錐台の体積の求め方の公式を紹介するよ。

よかったら参考にしてみて。

 

 

台形の体積(正四角錐台)の求め方の公式!?

正四角錐台の下の1辺がa、上の辺がb、高さをhとしよう。

 

台形の体積の求め方 公式

 

体積は、

1/3 h ( a^2 + ab + b^2)

で計算できちゃうんだ。

つまり、

{(下の辺)×(下の辺)+ (下の辺)×(上の辺)+ (上の辺) × (上の辺) }×高さ÷3

ってことさ。

 

たとえば、下の辺が4cm、上の辺が2 cm、高さ6cmの正四角錐台ABCDEFGHがあったとしよう。

 

台形 体積 求め方 公式

 

この立体の体積は、

1/3 h ( a^2 + ab + b^2 )
= 1/3 × 6 × ( 4^2 + 4 × 2 + 2^2)
=  2 × ( 16 + 8 + 4 )
= 56 [cm^3]

になるよ!

めんどい計算式だけど、

落ち着いて計算してみよう!

 

 

台形の体積の公式がわかる3ステップ

むちゃ便利だけど、

なんで公式で計算できちゃうんだろう??

ちょっと怪しい。

 

今日はそんな流れで、

台形の体積(正四角錐)の求め方をみちびいてみよう!

3ステップでできちゃうよ。

 

 

Step1. みえない四角錐をかく!

まず、みえてない四角錐をかこう。

正四角錐台の斜辺を延長すればいいんだ。

 

正四角錐台ABCDEFGHでいうと、

  • AE
  • BF
  • CG
  • DH

の4辺を延長してあげるんだ。

 

台形 体積 求め方 公式

 

そんで、その交点をIとするよ。

これでみえなかった「正四角錐EFGHI」があらわれたね。

 

 

Step2. 高さを求める!

みえない正四角錐の高さを求めよう。

 

例でいうと、

正四角錐 I-EFGHの高さだね。

 

正四角錐 体積 求め方 公式

 

FG:BC = 2:4 だから、

(正四角錐I-EFGHの高さ):(正四角錐I-ABCDの高さ)= 2:4
(正四角錐I-EFGHの高さ):(正四角錐I-EFGHの高さ) + 6 = 2:4
(正四角錐I-EFGHの高さ)= 6

 

台形 体積 求め方 公式

 

になるね!

 

 

Step3. 「大きい四角錐」から「小さい四角錐」をひく!

最後は、「大きい四角錐」から「小さい四角錐」をひこう。

そうすれば「正四角錐台」の体積になる。

 

さっきの例でいうと、

「正四角錐I-ABCD」から「正四角錐I-EFGH」をひけばいいんだ。

 

四角錐台 体積 求め方

 

地道に計算してやると、

(正四角錐I-ABCD)-  (正四角錐I-EFGH)
= 1/3 × ( 6+6) × 4^2  –    1/3 ×6 × 2^2
= 64 – 8
= 56[cm^3]

になる。

 

おめでとう!

これで台形の体積、、じゃなくて、

正四角錐台の体積を計算できたね!!

 

 

まとめ:台形の体積の求め方は「上 – 下」!!

台形の体積(正四角錐台)の体積の求め方はどうたった??

大きな正四角錐から小さいやつをひけばいいんだ。

補助線をひいて正四角錐をみつけてみよう。

そんじゃねー

Ken