二次方程式の解の公式を証明したい？？
2次方程式に悩んでいるみんな、こんにちは！犬飼ふゆだよ。
解の公式はむちゃくちゃ強い味方。
どんな二次方程式もとけちゃうからね。
でも、
どうして解の公式なんてあるの？
とか、
覚えづらいよ！
とか、
なんで解の公式ができたんだろう？？
って疑問におもうよね。
だから、今日は、
解の公式がなぜ使えるのかを証明したいんだ。
ややこしいけど、give upしないでついてきて欲しいなぁ。
= もくじ =
- 解の公式とはなんだっけ？？
- 展開の公式の復習
- 解の公式の証明の4ステップ
解の公式とはなんだっけ？？？
まず、解の公式を思い出してみよう。
二次方程式の「ax^2 + bx + c = 0」があったとすると、
解のxは、
x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
であらわせるんだったね？？
⇒ 解の公式をつかった二次方程式の解き方はコレ読んでね。
どんな二次方程式でもとけちゃう。複雑だけど便利なんだ。
解の公式の証明がわかる4つのステップ
解の公式を証明してみるよー。
むずかしめだけど、ついてきて欲しいなあ。
証明のゴールは、
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」
を
x ={-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
に変型することだよ。
証明のゴールはみえたかな？？
さっそく証明していこう。
Step1. 「x2をシンプルにする」
x2をシンプルにしよう。係数を1にするってことだね。
そのために、
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」の両辺をaで割ればいいんだ。
x2だけじゃなく「bx+c」もaで割ってね。
さっそく、計算してみると、
ax^2 + bx + c = 0
x^2 + b/a x + c/a = 0
になる。
Step2. 「xの係数の半分を２乗したもの」を足して引く
つぎはxの係数に注目してね。
なんと、
「xの係数の半分を2乗したもの」を足して、そして引くんだ。
意味不明だけどやってみて。
二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」は、
x^2 + b/a x + c/a = 0
になってたよね？？
ってことは、xの係数は「b/a」だ。
こいつを半分にして2乗した「（b/2a）の2乗」を足して引いてあげるんだ。
すると、
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
になるね！
Step3. 「（ ）２＝ という形を作る」
「（ ）の2乗という形」をつくるよ。
どうして（ ）２＝という形かっていうと、
ｘ= ○○ にもっていきたいからだよ。
さっきのステップでは、
xの係数の半分の2乗をたしてひく
をしたよね？？
じつはこれ、
「 ( )2 = という形」を作るためだったんだ。
さっきの計算式に注目してみて。
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
のうち、3つの項の「x^2 + (b/a) x+ (b/a)^2 」を公式で因数分解すると、
x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2– (b/2a)^2 + c/a = 0
（x + b/2a）^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0
になるね。
「（x + b/2a ）の2乗」以外の項の、
- -（b/2a）の2乗
- c/a
を右に移項してやると、
（x + b/2a）^2 = (b/2a)^2 – c/a
になる。
これで、
「( )2 = という形」がつくれたね。
Step4. 右辺をまとめよう
移項した右辺をまとめよう！
1つの分数にすればいいわけだ。
(b/2a)^2の指数をはずすと、
（x + b/2a）^2 = (b/2a)^2 – c/a
（x + b/2a）^2 = b^2/4a^2 – c/a
になるね。
つぎは、2つの分数を通分すると、
（x + b/2a）^2 = b^2/4a^2 – c/a
（x + b/2a）^2 = (b^2 -c×4a)/4a^2
（x + b/2a）^2 = (b^2 -4ac)/4a^2
になるね！
Step5. 両辺をルートしてみよっか？
最終的に「ｘ＝ 」という形にしたいから、( )2 がいらないね？
両辺をルートしてみよう。
すると、
√{（x + b/2a）^2} = √{ (b^2 -4ac)/4a^2 }
になる。
√をそれぞれはずしてやると、
x + b/2a = ± (b^2 -4ac)/2a
になるよね？
解のxを求めたいから、左辺の「b/2a」を移項してやると、
x = -b/2a ± (b^2 -4ac)/2a
になる。
これをまとめると、
x = {-b± (b^2 -4ac)}/2a
になるね！
これで解の公式の、
x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a
が導けたね。
2次方程式の解の公式の証明はながい。
二次方程式の解の公式の証明はどうだった？？
いきなり覚えろって言われても納得できないよ
って人や、
解の公式の謎を知りたい
って人のために書いてみたー。
わかるまで何回も証明してみてね。
そんじゃねー
犬飼ふゆ
