三角錐の高さの求め方がわからない！
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。ペプシはダイエット一択だね。
三角錐の高さを求めなさい！
っていう問題はたまに出てくるね。たとえば次のように出題されることがあるよ。
例題
つぎの三角錐ABCDがある。底面を三角形ACDとしたときの高さを求めて！
- AB = 6 cm
- BC = 6 cm
- BD = 6 cm
つまり、
頂点Bから三角形ACDにおろした垂線の長さを求めろ！
ってことだね。
三角錐の高さの求め方がわかる4つのステップ
「三角錐の高さ」はつぎの4ステップで計算できるよ。
Step1. 三角錐の体積を計算する！
まずは三角錐の体積を求めてみよう。
どの「底面積」と「高さ」を使っても大丈夫。
例題でいうと、
- 三角形ABCを底面
- BDを高さ
とすれば三角錐ABCDの体積を求めることができるね。
求め方は「底面積×高さ×1/3」だから、
(6×6×0.5)×6×1/3
= 36 [cm^3]
になるね！
Step2. 底面積を求める！
問題で指定されている「底面積」を求めよう！
例題では、
「三角形ACD」を底面とするときの高さ
っていう指定されているよね？？
だから、三角形ACDの面積を計算してやればいいんだ！
AC、AD、CDの長さを三平方の定理をつかって計算してみると、
ぜんぶ「6√2」になるよね。
ってことは、三角形ACDは1辺が6√2の正三角形ってことだ！
こいつの面積を求めてあげよう。
三平方の定理をつかって高さを求めて（3√6）、面積を計算すると、
6√2×3√6×0.5
= 18√3 [cm^2]
になるね！
Step3. 方程式をたてるっ！
三角錐の高さ（指定された底面からの）についての方程式をつくってみよう。
つまり、
「三角錐の高さ」を変数と置いた方程式ってことだね。
そいつを解けば、三角錐の高さが求められるってことになる。
例題をみてみよう。
頂点Bから三角形ACDに垂線をおろしたとき、三角形ACDと垂線の交点をHとする。
このとき、三角錐ABCDの高さはBHになるよね。
BHの長さを変数とおいて方程式とたててやると、
（△ACDを底面とした時の体積）＝（△ABCを底面とした時の体積）
1/3 ×18√3 × BH = 36
ってなるよ。
Step4. 方程式を根性でとく
あとはStep3でたてた方程式をといてあげるだけ！
方程式の解き方の基本を思い出しながら慎重にといてみてくれ。
1/2 × 18√3 × BH = 36
っていう方程式を解くと、
BH = 2√3
っていう解がゲットできるね。
これが「底面を△ACDとしたときの三角錐の高さ」だね！
おめでとう。
まとめ：三角錐の高さは方程式をたてて算出するっ！
三角錐の高さの求め方はどうだった？？
「体積」と「底面積」を計算して方程式をつくるだけさ。
慣れれば5分以内に高さをゲットできるようになるはずだ。
テスト前によーく復習しておこう！
そんじゃねー
Ken
