【一次関数の利用】2つの動点が台形上を移動する問題

「一次関数の利用」で必ず出てくるのが、

点が動く問題。

ちまたでは、

動点の問題

と呼ばれているやつだ。

一番テストに出てくるのは「1つの点が動くパターン」。

tomo

 

7 Pockets

2015.09.12

【一次関数の利用】動点の問題の解き方がわかる3ステップ

https://text.tomo.school/moving-point

一次関数の利用で動点の問題がむずい？？こんにちは！この記事をかいているKenだよ。 一次関数の利用の問題ってムズい。中でも、動点の問題が一番ヤッカイなんだ。たとえば、つぎのような問題だね。 タテの長さが4cm、横の長さが5cmの長方形ABCDの周上を、点Pは毎秒1cmの速さで、AからB、Cを通ってDまで移動します。PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とするとき、yはxの変化にともなってどう変化するのか説明しなさい。 今日はこの動点の問題をわかりやすく解説していくよ。よかったら参考にしてみてね。&nbs...

だけど、厄介なことに、たまーに、

「2つの点が動く」問題が出ることもある。

例えば次のような問題さ。

今日はこの応用問題を気合いで乗り切っていこう。

変域を考える

一次関数の動点では、

変域がいくつできるのか？

と見通しをつけるといいよ。

この問題では

点PがAから、点QがCから毎秒1cmの速さで動く

という条件があるね？

しかも、辺の端まできたら折り返して、12秒間動く、らしい。

12秒で四角形ABQPの面積 (y)はどのように変化するんだろう？？

分け方のポイントは、

動点が頂点に到着するタイミングで分ける

だよ。

ADはBCより短いから最初に、点PがDに着く。

そして、点Pに遅れてちょっとして点QがBに辿り着く。

PとQは、頂点にたどり着くタイミングが微妙に異なるから、4つの変域が考えられそう。

1. PがDに着くまで（$0\le x\le 4$）
2. QがBに着くまで（$4\le x\le 6$）
3. PがAに戻るまで（$6\le x\le 8$）
4. QがCに戻るまで（$8\le x\le 12$）

それぞれの変域で、四角形ABCDの面積の変化をみればいいんだ。

PがDに着くまで（$0\le x\le 4$）

まずはPがAを出発してからDに着くまで。

図をかくとわかるけど、四角形ABQPは台形になる。

で、面積を求めるために、

• 上辺 AP = x cm
• 下辺 BQ = ( 6 – x ) cm
• 高さ DC =  4 cm

という辺の長さが必要だね。

ポイントはBQの長さ。

QはCからスタートしてBに向かっているから

$$CQ＝xcm$$

そして、そいつをBCの長さ 6 cm から引いたやつがCQの長さになるから、

になる。

さて。ここで台形ABQPの面積yを計算しよう。

台形の面積の求め方は、

（上の辺＋下の辺）×（高さ）÷2

だったから、

になる。

0〜4秒では、台形ABQPの面積はずーっと12ってこと。

QがＢに着くまで（$4\le x\le 6$）

PがDに到着して、折り返しを始めたら、四角形ABQPの面積は変化するよ。

この場合、APの長さが変化してきていて、

$$8–x$$

になってるはず。

ADを2倍した長さから、Pが動いた距離「x」を引くとAPになるね。

ただ、相変わらず四角形ABQPは台形さ。

同じように台形の面積 y を計算すると、

になる。

この式から分かるのは、

このフェーズ（$0\le x\le 4$）では時が経つにつれて面積が小さくなるってこと。

PがAに戻るまで（$6\le x\le 8$）

お次はPがDに到着して、PがAに戻るまでの時間。

6〜8 秒までだね。

ここでのポイントは、BQの長さが変化していること。

QはＢに到着して、折り返しているから、

になる。

すると、四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、

になるね。

あら不思議。

またまた面積yが一定になっちゃった。

QがCに戻るまで（$8\le x\le 12$）

最後はQがCに戻るまで。

このタイミングは、Pが2回目にDに到着するタイミングでもあるとも言えるね。

変域で表すと

$$8\le x\le 12$$

になる。

この時ポイントは、APの長さが変化していること。

PはAに到着して、折り返してDを目指しているはず。

だから、

になる。

四角形ABQP（というか台形）の面積yを計算すると、

になる。

ふう、これで全部の変域における関数式が出せたぜ。

それぞれの式をグラフにするとこんな感じ。

四角形ABQPが台形ABCDの4分の1になるのはいつ？

あと1つやることがある。

それは、例題の（2）の

四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのはいつ？

に答えること。

つまり、これ、

yが特定の値になる時のxを求めよ

という問題だ。

まずは「台形ABCDの面積の4分の1」がいくつか探っていこう。

台形ABCDは上辺が4、下辺が6、高さが4の台形だから、

という面積になる。この4分の1は「$5cm²$」だ。

ここで、さっき適当にかいたグラフに注目。

yが「5 」になっている箇所を探してみると、2つヒットだ。

• QがＢに着くまで（$4\le x\le 6$）
• QがCに戻るまで（$8\le x\le 12$）

という2つの変域でyが5になる瞬間があるじゃないか。

ということで、これら2つの変域の関数にそれぞれ$y＝5$を代入して、その時のxを求めればいいことになる。

まず、QがＢに着くまで（$4\le x\le 6$）の場合。

$$y=-4x+28$$

に $y=5$を代入すると、

になるね。

あと1つは、QがCに戻るまで（$8\le x\le 12$）の場合。

$$y=4x-28$$

に$y=5$を代入しよう。

すると、

になる。

ってことで、四角形ABQPの面積yが$5cm²$になる時間は、

• $\frac{23}{4}$秒
• $\frac{33}{4}$秒

の2つだ。

いやーほんとおつかれさま。

動点が2つあるとこんなに厄介だとは思わんかったな。

応用問題では出現することがあるから対策しておこう。

そんじゃねー

Ken