相似比から面積比を求める公式？？
やあ、ぺーたーだよ。
中3になると、相似を勉強するよね。
覚えること多くて大変。
相似の証明したり、相似比を求めたり…ほんといろいろ。
中でもよくでてくるのが、
相似比から面積比を求める問題。
むずかしそうにみえるけど、公式さえ分かってれば大丈夫。
面積比は絶対に求められる！
今日はこの面積比の公式を紹介していくよ〜
相似比から面積比を計算できる公式
面積比にはつぎの公式があるよ。
「面積比」は「相似比の2乗」になる
ってやつだ。
たとえば、△ABCと△A’B’C’の相似比が「n:m」だとしよう。
このとき面積比は、
n² : m²
になってるんだ。
せっかくだから、この面積比の公式をつかってみよう。
つぎの2つの三角形をイメージしてみて。
△ABCと△A’B’C’の辺の長さがそれぞれ、
- AB = 3
- BC = 6
- AC = 5
と、
- A’B’ = 6
- B’C’ = 12
- A’C’ = 10
になってるよ。
この2つの三角形の面積比をだしてみよう！
公式なら2ステップで面積比だせちゃうんだ。
- 相似比を求める
- 面積比をだす
Step1. 相似比を求める
まず相似比を出してやろう！
相似比の求め方は覚えてる？？
相似な図形同士の、
対応する辺の長さの比
を求めればよかったね？？
今回でいうと、辺ABに対応する辺は辺A’B’。
AB=3cm, A’B’=6cmだから、
相似比は、
AB : A’B’
= 3: 6
= 1 :2
になるね。
Step2. 相似比から面積比をだす
相似比が出ちゃえばあとは簡単。
相似比を2乗すれば面積比がでるってわけ。
△ABCと△A’B’C’の相似比は、
1: 2
だったね？？
面積比は2乗してやった比の、
1² : 2²
= 1 : 4
になるはず！
おめでとう！
相似比から面積比を計算できちゃったね。
面積比の公式をつかった問題に挑戦！
面積比の公式でもう1つ問題を解いてみよう。
公式はつかっておぼえるのが一番！
つぎの図の△ABCにおいて、AD = 16cm、DB = 4cmで、
△ADEと△ABCは相似です。
- 相似比を求めなさい。
- 面積比を求めなさい。
- △ABC = 50cm²のとき、△ADEの面積を求めなさい。
問1. 「相似比を求めなさい」
まずは相似比を求めるよ。
この場合、対応する辺は分かるかな？
色で分けるとこうなるよ！
この問題では、ADの長さ（16 cm）が分かっているから、
赤色の辺を使って考えてみよう。
ABの長さはわかるかな？
そう、そうだね。
AB
= AD + DB
= 16 + 4 = 20
になってるはず。
AD=16cm、AB=20cmだから、
相似比は…
△ADE : △ABC
= 16 : 20
= 4:5
だ！
問2. 「面積比をもとめよ！」
面積比はさっきの公式で一発！
面積比は相似比の2乗になる
だったよね？？
この公式をあてはめると、
面積比
= 4² : 5²
= 16 : 25
になるね。
ってことで、答えは16:25！
問3. 「△ABC = 50cm² のとき、△ADEの面積もとめて」
最後は△ADEの面積だ。
さっきの面積比で求めていくよ。
△ADEの面積がわからないから、ｘ[ cm²] とでもしておこう。
んで、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 面積比
っていう比例式をつくってみようぜ。
- 面積比が16:25
- △ADE=x [cm²]
- △ABC=50 [cm²]
だから、比例式は、
△ADEの面積：△ABCの面積 = 16 : 25
x : 50 = 16 : 25
になるね。
比例式の解き方でといてやると、
x : 50 = 16 : 25
25 x = 16×50
x = 32 [cm²]
になる。
つまり、
△ADEの面積は32 [cm²]ってわけ！
まとめ：相似比で面積比の公式をつかえば一発！
相似比で面積比もとめられた？？
相似比の2乗が面積比になる
っていう公式さえおぼえてれば怖くない。
面積比を求める問題はきっと大丈夫！
じゃ、またね！
ぺーたー
