【高校数学I】3分でわかる！命題と集合の違い〜真・偽・条件・仮定・結論をわかりやすく解説
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よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。スープ、追加だ
ここまで、
について勉強してきたよな？？
集合とは、
ある条件に当てはまるものを集めたもの
だったことを思い出してくれ。
今回は、そこから少し進んで、
命題（めいだい）
を勉強していくぞ。
命題とは何者？？
命題とは、
正しいか、正しくないかがはっきり決まる文や式
のことだ。
たとえば、
三角形の内角の和は180°である
という文を考えてみよう。
これは正しい。
だから、この文は命題だ。
一方、
彼はかっこいい
という文はどうだろうか？？
いや、確かにあいつはかっこいい、そう、そうだ。
でもな、人によって感じ方が変わるよな？？
A子はかっこいいと思っても、B子からみると野獣にしか思えないかもしれない。
だから、この文章は、
真か偽かを一意に決められない！
ってことで、命題じゃないんだ。
命題は「正しい文」じゃないぞ。「正しいか間違いかが決められる文」だ。
命題の「真」と「偽」とは？
よし、次行くぞ。
命題が正しいとき、その命題は、
真（しん）
であるという。
一方、命題が正しくないときは、
偽（ぎ）
であるという。
たとえば、
4は偶数である
は正しいから、真だ。
一方、
9は偶数である
はどうだろう？？
9は奇数だから正しくないよな。だから偽なのさ。
つまり、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
正しい命題 & 真\\
正しくない命題 & 偽
\end{array}
}
$$
ということだ。
集合と命題の違いは？？
では、集合と命題は何が違うのだろう。
結論からいうと、
$$
\boxed{
集合=\text{ものの集まり}
}
$$
$$
\boxed{
命題=\text{真か偽かを判定する文や式}
}
$$
だ。
集合が「鉛筆」みたいな「ものそのものだ」としたら、
命題は、「この鉛筆は赤い」みたいな、そのものについての主張だ。
たとえば、
$$
A=\{x\mid xは10以下の正の偶数\}
$$
は、
条件を満たすxを集めたもの
なので、集合だ。
一方、
4は10以下の正の偶数である
は、
正しいか間違っているかを判定できる文なので、命題である。
つまり、
集合は「集める」
命題は「正しいか判定する」
という違いなんだ。
集合はメンバーを集める。命題は文に○か×をつける。役割が違うぞ。
条件（じょうけん）とは？？
よし、次行くぞ。
条件とは、
文字に値を代入すると、真か偽かが決まる文や式
のことだ。
たとえば、
$$
x>2
$$
という条件に、
$$
x=5
$$
を代入すれば、
$$
5>2
$$
なので真になる。
一方、
$$
x=-1
$$
を代入すると、
$$
-1>2
$$
なので偽になる。
つまり、
$$
x>2
$$
は、
xの値によって真になったり偽になったりする条件
なんだ。
条件は集合を作ることもできる
ここで、集合とのつながりが見えてくる。
条件、
$$
x>2
$$
を満たす実数xをすべて集めてみよう。
すると、
$$
P=\{x\mid x>2\}
$$
という集合を作ることができる。
つまり、
条件を満たすものを全部集めると集合になる
んだ。
条件、
$$
x>2
$$
そのものは集合ではない。
しかし、
$$
x>2
$$
を満たすxを集めた、
$$
\{x\mid x>2\}
$$
は集合である。
この違いを押さえておこう。
「x>2」は入会条件。その条件を満たしたxを全員集めたら集合になるぞ。
仮定と結論とは？？
よし、次行くぞ。
仮定と結論は中学数学でも勉強してきたよな。
命題では、
pならばq
という形がよく登場する。
たとえば、
$x>2$ならば、$x>0$である。
これは、
$$
x>2\Rightarrow x>0
$$
と表す。
一般に、
$$
p\Rightarrow q
$$
と書けば、
「pならばq」
という意味だ。
ここで、
$$
p
$$
を、
仮定
$$
q
$$
を、
結論
というんだ。
たとえば、
$$
x>2\Rightarrow x>0
$$
という命題があったとしよう。
この場合、仮定は、
$$
x>2
$$
である。
結論は、
$$
x>0
$$
だ。
つまり、
$$
\boxed{
\begin{array}{c}
仮定：x>2\\
結論：x>0
\end{array}
}
$$
となる。
「もし○○ならば、△△である」
という文があったら、
「もし○○」の部分が仮定
「△△である」の部分が結論
と考えればいい。
集合と命題を身近な例で考えよう
えっ、まだ集合と命題の違いがしっくりきてないって？？
最後に具体例でしっくりこようか
たとえば、ある学校の生徒について、
バスケ部に入っている生徒
の集合を、
$$
A
$$
とする。
そして、
運動部に入っている生徒
の集合を、
$$
B
$$
としよう。
バスケ部は運動部なので、
バスケ部員ならば運動部員である
という命題が成り立つ。
集合で見ると、
$$
A\subset B
$$
である。
つまり、
「バスケ部員ならば運動部員」
という命題と、
「バスケ部員の集合は運動部員の集合の部分集合」
は、同じ関係を別の見方で表しているんだ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、命題と集合の違いについて確認した。
復習しとくと、命題とは、
正しいか正しくないかがはっきり決まる文や式
のことだったな。
で、正しい命題を、真。
正しくない命題を偽というのさ。
集合との違いをズバッと言えば、
$$
\boxed{
集合=\text{条件を満たすものの集まり}
}
$$
$$
\boxed{
命題=\text{真か偽かを判定する文や式}
}
$$
だ。
ようは、
集合は「誰が入るか」を見る。命題は「その主張が正しいか」を見る
ってことだな。
集合と命題は別物。雰囲気は似てるけど混同するなよ
それじゃあな。
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