【高校数学I】3分でわかる！放物線と直線の共有点の求め方
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。鹿と、出会ったな
これまでは、二次関数のグラフとx軸との共有点を考えてきたよな？？
たとえば、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
とx軸との共有点を求めるときは、
$$
y=0
$$
として、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
という二次方程式を解けばよかった。
でも、放物線が交わる相手はx軸だけとは限らない。
今回は、
放物線と一般の直線との共有点
について考えてみよう。
たとえば、次のような問題だ。
放物線、
$$
y=x^2-2
$$と直線、
$$
y=2x+1
$$の共有点の座標を求めてみよう。
放物線と直線の共有点の求め方｜2つの式を連立する
よし、早速解いていくぞ。
解き方はズバリ、
直線と放物線の2つの式を連立して解く
だ。
共有点は、2つのグラフの両方にいる点だ。だから、2つの式を同時に満たすぞ。
2つの式を連立する
放物線、
$$
y=x^2-2
$$
と、直線、
$$
y=2x+1
$$
を連立すると、
$$
\begin{cases}
y=x^2-2\\
y=2x+1
\end{cases}
$$
となる。
ここで、どちらの式も左辺が、
$$
y
$$
になっているよな。
共有点では、この2つのyの値が同じになる。
したがって、
$$
x^2-2=2x+1
$$
と置けばよい。
同じ点なら、同じxに対するyも同じだ。だから右辺どうしをイコールで結べるぞ。
二次方程式を解いてx座標を求める
では、
$$
x^2-2=2x+1
$$
を解いていこう。
右辺を左辺に移項すると、
$$
x^2-2x-3=0
$$
となる。
因数分解すると、
$$
(x+1)(x-3)=0
$$
だから、
$$
x=-1
$$
または、
$$
x=3
$$
となる。
これで、共有点のx座標が求められた。
x=-1のときのy座標を求める
次は、y座標を求めよう。
求めた、
$$
x=-1
$$
を、直線、
$$
y=2x+1
$$
に代入する。
すると、
$$
y=2(-1)+1
$$
$$
y=-2+1
$$
$$
y=-1
$$
となる。
したがって、1つ目の共有点は、
$$
\boxed{(-1,\ -1)}
$$
である。
x=3のときのy座標を求める
次に、
$$
x=3
$$
を、
$$
y=2x+1
$$
に代入する。
すると、
$$
y=2\cdot3+1
$$
$$
y=6+1
$$
$$
y=7
$$
となる。
したがって、もう1つの共有点は、
$$
\boxed{(3,\ 7)}
$$
である。
よって、放物線、
$$
y=x^2-2
$$
と、直線、
$$
y=2x+1
$$
の共有点は、
$$
\boxed{(-1,\ -1),\ (3,\ 7)}
$$
となる。
まずxを求めて、そのxをどちらかの式に戻せばyも出る。共有点の完成だ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、放物線と直線の共有点の求め方を確認した。
やることはシンプルだ。
放物線、
$$
y=f(x)
$$
と、直線、
$$
y=g(x)
$$
の共有点では、2つのyの値が同じになる。
だから、
$$
f(x)=g(x)
$$
としてxを求めればよい。
そして、求めたxをどちらかの式に代入すれば、y座標も求められる。
ようは、
共有点は2つの式を同時に満たす点だから、2つの式を連立する
ってことだな。
放物線だろうが直線だろうが、共有点なら両方の式に所属している。日直かつ保健係、みたいなもんだ。
それじゃあな。
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