二次関数の最大値・最小値を求める問題、いろいろやってきたよな？

今回は、

二次関数の係数に文字が含まれちゃってる問題

に挑戦していくぞ。

 

たとえば、次のような問題だ。

 

$$
a
$$

を定数とする。

二次関数、

$$
y=x^2-2ax+a^2+2
$$

について、定義域が、

$$
1\leqq x\leqq4
$$

であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。

 

二次関数の最大値・最小値｜係数に文字を含む問題の解き方

よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。

 

平方完成

まずはお馴染みの平方完成からだ。

 

与えられた関数は、

$$
y=x^2-2ax+a^2+2
$$

である。

最初の3項は、

$$
(x-a)^2
$$

と表せる。

したがって、

$$
y=(x-a)^2+2
$$

となる。

よって、頂点は、

$$
(a,\ 2)
$$

であり、軸は、

$$
x=a
$$

である。

また、2乗の前の係数が正なので、グラフは上に開く放物線である。

 

 

最小値を求める

上に開く放物線では、頂点に近いほど、

$$
y
$$

の値が小さくなる。

したがって、定義域、

$$
1\leqq x\leqq4
$$

の中で、軸、

$$
x=a
$$

に最も近い点を探せばよい。

 

場合1：a<1のとき

$$
a<1
$$

なら、軸、

$$
x=a
$$

は定義域の左側にある。

定義域、

$$
1\leqq x\leqq4
$$

は、すべて軸の右側にある。

上に開く放物線は、軸の右側では増加する。

したがって、定義域内では、

$$
x
$$

が増えるにつれて、

$$
y
$$

も増加する。

よって、最小値をとるのは、定義域の左端、

$$
x=1
$$

である。

$$
x=1
$$

を代入すると、

$$
y=(1-a)^2+2
$$

となる。

展開すると、

$$
y=1-2a+a^2+2
$$

$$
=a^2-2a+3
$$

である。

したがって、

$$
a<1
$$

のとき、

$$
\boxed{x=1のとき最小値a^2-2a+3}
$$

をとる。

 

場合2：1≦a≦4のとき

$$
1\leqq a\leqq4
$$

なら、軸、

$$
x=a
$$

は定義域内にある。

つまり、頂点、

$$
(a,\ 2)
$$

も定義域内にある。

上に開く放物線では、頂点で最小値をとる。

したがって、

$$
x=a
$$

のとき、最小値、

$$
2
$$

をとる。

よって、

$$
1\leqq a\leqq4
$$

のとき、

$$
\boxed{x=aのとき最小値2}
$$

である。

 

場合3：a>4のとき

$$
a>4
$$

なら、軸、

$$
x=a
$$

は定義域の右側にある。

定義域、

$$
1\leqq x\leqq4
$$

は、すべて軸の左側にある。

上に開く放物線は、軸の左側では減少する。

したがって、定義域内では、

$$
x
$$

が増えるにつれて、

$$
y
$$

は小さくなる。

よって、最小値をとるのは、定義域の右端、

$$
x=4
$$

である。

$$
x=4
$$

を代入すると、

$$
y=(4-a)^2+2
$$

となる。

展開すると、

$$
y=16-8a+a^2+2
$$

$$
=a^2-8a+18
$$

である。

したがって、

$$
a>4
$$

のとき、

$$
\boxed{x=4のとき最小値a^2-8a+18}
$$

をとる。

 

以上より、最小値は、

$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
a<1のとき & x=1で最小値a^2-2a+3 \\[6pt] 1\leqq a\leqq4のとき & x=aで最小値2 \\[6pt] a>4のとき
&
x=4で最小値a^2-8a+18
\end{array}
}
$$

となる。

最大値を求める

上に開く放物線では、軸から遠いほど、

$$
y
$$

の値が大きくなる。

したがって、最大値は定義域の左右の端点のうち、軸から遠い方でとる。

定義域の左端は、

$$
x=1
$$

右端は、

$$
x=4
$$

である。

軸は、

$$
x=a
$$

なので、左右の端から軸までの距離を比較する。

左端から軸までの距離は、

$$
|1-a|
$$

である。

右端から軸までの距離は、

$$
|4-a|
$$

である。

この2つの距離が等しくなる位置が、最大値の場合分けの境目になる。

 

ってことで、左右の端点の値が等しくなるaを求めるぞ。

$$
x=1
$$

のとき、

$$
f(1)=(1-a)^2+2
$$

である。

$$
x=4
$$

のとき、

$$
f(4)=(4-a)^2+2
$$

である。

この2つが等しくなる条件を求める。

$$
(1-a)^2+2=(4-a)^2+2
$$

両辺から2を引くと、

$$
(1-a)^2=(4-a)^2
$$

となる。

展開すると、

$$
a^2-2a+1=a^2-8a+16
$$

である。

両辺から、

$$
a^2
$$

を引くと、

$$
-2a+1=-8a+16
$$

となる。

両辺に、

$$
8a
$$

を加えると、

$$
6a+1=16
$$

である。

したがって、

$$
6a=15
$$

より、

$$
a=\frac{5}{2}
$$

となる。

つまり、軸が定義域の中央、

$$
x=\frac{5}{2}
$$

にあるとき、左右の端点の値が等しくなる。

 

最大値の場合1：a<5/2のとき

$$
a<\frac{5}{2}
$$

なら、軸は定義域の中央より左側にある。

このとき、右端、

$$
x=4
$$

の方が軸から遠い。

したがって、最大値は、

$$
x=4
$$

でとる。

最大値は、

$$
(4-a)^2+2
$$

である。

展開すると、

$$
a^2-8a+18
$$

となる。

よって、

$$
a<\frac{5}{2}
$$

のとき、

$$
\boxed{x=4のとき最大値a^2-8a+18}
$$

である。

 

最大値の場合2：a=5/2のとき

$$
a=\frac{5}{2}
$$

なら、軸は定義域の中央にある。

左端、

$$
x=1
$$

と、右端、

$$
x=4
$$

は軸から同じ距離にある。

したがって、両端で同じ最大値をとる。

$$
x=1
$$

を代入すると、

$$
y=
\left(1-\frac{5}{2}\right)^2+2
$$

$$
=
\left(-\frac{3}{2}\right)^2+2
$$

$$
=
\frac{9}{4}+\frac{8}{4}
$$

$$
=
\frac{17}{4}
$$

となる。

よって、

$$
a=\frac{5}{2}
$$

のとき、

$$
\boxed{x=1,\ 4のとき最大値\frac{17}{4}}
$$

をとる。

 

最大値の場合3：a>5/2のとき

$$
a>\frac{5}{2}
$$

なら、軸は定義域の中央より右側にある。

このとき、左端、

$$
x=1
$$

の方が軸から遠い。

したがって、最大値は、

$$
x=1
$$

でとる。

最大値は、

$$
(1-a)^2+2
$$

である。

展開すると、

$$
a^2-2a+3
$$

となる。

よって、

$$
a>\frac{5}{2}
$$

のとき、

$$
\boxed{x=1のとき最大値a^2-2a+3}
$$

である。

 

以上より、最大値は、

$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
a<\frac{5}{2}のとき & x=4で最大値a^2-8a+18 \\[8pt] a=\frac{5}{2}のとき & x=1,\ 4で最大値\frac{17}{4} \\[8pt] a>\frac{5}{2}のとき
&
x=1で最大値a^2-2a+3
\end{array}
}
$$

となる。

 

それじゃあな。