【高校数学I】二次関数の最大値・最小値｜動く定義域をaの値で場合分けする方法
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
二次関数の最大値・最小値を求める問題では、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq4
$$
のように、具体的な数で与えられることが多い。
だがしかし、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
のように、文字を含む場合もあるんだ。
たとえば、次のような問題だ。
$$
a
$$を正の定数とする。
二次関数、
$$
y=x^2-4x+1
$$について、定義域が、
$$
0\leqq x\leqq a
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
ただし、
$$
a>0
$$とする。
この場合、最大値・最小値を1つの式だけで答えられず、
aの値による場合分け
が必要になるぞ。
今日は、この問題の解き方を解説していく。
二次関数の最大値・最小値｜動く定義域をaの値で場合分けする方法
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
最初に平方完成する
まず、二次関数、
$$
y=x^2-4x+1
$$
を平方完成する。
$$
x^2-4x
$$
について、
$$
(x-2)^2=x^2-4x+4
$$
なので、
$$
x^2-4x=(x-2)^2-4
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-2)^2-4+1
$$
となる。
よって、
$$
y=(x-2)^2-3
$$
である。
この放物線の頂点は、
$$
(2,\ -3)
$$
であり、軸は、
$$
x=2
$$
である。
また、2乗の前の係数が正なので、放物線は上に開く。
グラフの増加・減少を確認する
放物線の軸は、
$$
x=2
$$
である。
上に開く放物線なので、
$$
x\leqq2
$$
の範囲では、xが増えるにつれてyは減少する。
一方、
$$
x\geqq2
$$
の範囲では、xが増えるにつれてyは増加する。
つまり、
$$
x=2
$$
を境に、
$$
減少
\quad\longrightarrow\quad
増加
$$
へ変わる。
定義域の右端、
$$
x=a
$$
が軸のどちら側にあるかによって、最小値をとる場所が変わる。
まず最小値を求める
最小値については、右端、
$$
x=a
$$
が頂点、
$$
x=2
$$
まで届くかどうかを考える。
0<a<2の場合
定義域は、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
であり、
$$
a<2
$$
である。
したがって、定義域全体が軸、
$$
x=2
$$
の左側にある。
この範囲では、xが増えるにつれてyは減少する。
よって、最も右にある、
$$
x=a
$$
のとき、最小値をとる。
$$
x=a
$$
を関数に代入すると、
$$
y=a^2-4a+1
$$
となる。
したがって、
$$
0<a<2
$$
のとき、
$$
\boxed{x=aのとき最小値a^2-4a+1}
$$
である。
a=2の場合
定義域は、
$$
0\leqq x\leqq2
$$
である。
右端が頂点、
$$
x=2
$$
と一致する。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最小値、
$$
-3
$$
をとる。
a>2の場合
$$
a>2
$$
なら、定義域、
$$
0\leqq x\leqq a
$$
の中に頂点、
$$
x=2
$$
が含まれる。
上に開く放物線では、頂点が最も低い点である。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最小値、
$$
-3
$$
をとる。
最小値の答え
以上より、最小値は、
$$
0<a<2
$$
のとき、
$$
x=a
$$
で、
$$
a^2-4a+1
$$
である。
また、
$$
a\geqq2
$$
のとき、
$$
x=2
$$
で、
$$
-3
$$
である。
まとめると、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
0<a<2のとき
&
x=aで最小値a^2-4a+1
\\[6pt]
a\geqq2のとき
&
x=2で最小値-3
\end{array}
}
$$
となる。
最小値では、右端aが頂点x=2まで届くかを見る。届かなければ右端、届けば頂点が最小になるぞ。
次に最大値を求める
お次は最大値だ。
0<a<4の場合
$$
0<a<4
$$
では、右端、
$$
x=a
$$
は、
$$
x=4
$$
より左側にある。
この範囲では、
$$
f(a)<1
$$
または、aが十分小さい場合でも、
$$
f(a)\leqq1
$$
となる。
したがって、左端、
$$
x=0
$$
で最大値、
$$
1
$$
をとる。
よって、
$$
0<a<4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=0のとき最大値1}
$$
である。
a=4の場合
右端は、
$$
x=4
$$
である。
$$
f(0)=1
$$
$$
f(4)=1
$$
なので、左右の端で同じ最大値をとる。
したがって、
$$
a=4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=0,\ 4のとき最大値1}
$$
である。
a>4の場合
$$
a>4
$$
なら、右端、
$$
x=a
$$
は、
$$
x=4
$$
よりさらに右側にある。
このとき、右端は軸、
$$
x=2
$$
から左端より遠くなる。
したがって、
$$
f(a)>f(0)
$$
となる。
よって、
$$
x=a
$$
のとき最大値をとる。
最大値は、
$$
f(a)=a^2-4a+1
$$
である。
したがって、
$$
a>4
$$
のとき、
$$
\boxed{x=aのとき最大値a^2-4a+1}
$$
となる。
最大値の答え
以上より、最大値は、
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
0<a<4のとき & x=0で最大値1 \\[6pt] a=4のとき & x=0,\ 4で最大値1 \\[6pt] a>4のとき
&
x=aで最大値a^2-4a+1
\end{array}
}
$$
である。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、二次関数の最大値・最小値について、動く定義域をaの値で場合分けする方法を確認したな。
この手の問題では、
- 頂点が定義域に含まれる条件
- 固定された端点での値
- 動く端点での値
- 端点の値が等しくなる条件
を順番に調べることが重要だ。
場合分けの数字を暗記する必要はない。頂点まで届く地点と、左右の端点が同じ高さになる地点を自分で求めればいいんだ。
それじゃあな。
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