【高校数学I】二次関数の文章題の解き方｜面積の最大値を平方完成で求める
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数を使った文章題を解くぞ。
高校数学Iの二次関数では、たまに文章題が出題されるよな。
例えば、次のような問題さ。
長さ、$24\mathrm{m}$のフェンスを使って、まっすぐな壁に接する長方形の花壇を作る。
壁に接する辺にはフェンスを設置せず、残りの3辺だけをフェンスで囲む。
花壇の面積を最大にするには、壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
また、そのときの花壇の最大面積を求めてみよう。
二次関数の文章題の解き方
こんな感じの二次関数の文章題が出ても、まあ落ち着けよな。
文章題では、次の順番で考えるといいぞ。
- 何をxと置くか決める
- ほかの長さをxで表す
- 求めたい量を式で表す
- 定義域を確認する
- 平方完成して最大値・最小値を求める
文章題では、いきなり平方完成するんじゃない。まず、どの長さをxと置けば面積を表しやすいかを考えるんだ。
何をxと置くか決める
よし、今回は「壁に垂直な辺の長さ」を、$x$mとするぞ。
壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
って問題に書いてあるからな。文章題で求めたいものをxと置くのが鉄則だ。
ほかの長さをxで表す
同じ長さの辺が2本あるので、この2辺に使うフェンスの長さは、
$$
2x
$$
mである。
フェンス全体の長さは、
$$
24\mathrm{m}
$$
なので、残りの壁と平行な辺の長さは、
$$
24-2x
$$
mとなるな。
求めたい量を式で表す
文章中で、
花壇の最大面積を求めてみよう。
って書いてあるから、求めたい量は「花壇の最大面積」で間違いないよな。
ってことで、花壇の面積を、$S$平方メートルとする。
長方形の面積は、
$$
縦\times横
$$
である。
したがって、
$$
S=x(24-2x)
$$
となる。
これを展開すると、
$$
S=24x-2x^2
$$
である。
項の順番を整えると、
$$
S=-2x^2+24x
$$
となる。
これで、花壇の面積を、
$$
x
$$
の二次関数として表すことができた。
定義域を確認する
文章題では、式を作ったあとに、
$$
x
$$
がとれる範囲を確認する必要がある。
壁に垂直な辺の長さは正なので、
$$
x>0
$$
である。
また、壁と平行な辺の長さ、
$$
24-2x
$$
も正でなければならない。
したがって、
$$
24-2x>0
$$
である。
この不等式を解くと、
$$
-2x>-24
$$
両辺を、
$$
-2
$$
で割るので、不等号の向きが変わり、
$$
x<12
$$
となる。
よって、定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
平方完成する
面積は、
$$
S=-2x^2+24x
$$
であった。
これを平方完成する。
まず、
$$
-2
$$
をくくり出す。
$$
S=-2(x^2-12x)
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-12x
$$
を平方完成する。
$$
(x-6)^2=x^2-12x+36
$$
なので、
$$
x^2-12x=(x-6)^2-36
$$
である。
したがって、
$$
S=-2\{(x-6)^2-36\}
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
である。
面積の最大値を求める
平方完成すると、花壇の面積は、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
と表せる。
この式のグラフは、頂点が、
$$
(6,\ 72)
$$
である下に開く放物線になる。
また、花壇として成立するための定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
グラフを見ると、定義域内で最も高い点は頂点であることがわかる。
頂点の、
$$
x
$$
座標は、
$$
6
$$
であり、
$$
0<6<12
$$
なので、頂点は定義域内に含まれている。
したがって、
$$
x=6
$$
のとき、面積は最大になる。
そのときの面積は、頂点の、
$$
S
$$
座標である、
$$
72
$$
平方メートルである。
よって、
$$
\boxed{x=6\mathrm{m}のとき最大面積72\mathrm{m}^2}
$$
となる。
面積の式は下に開く放物線になる。頂点のx座標が6なので、x=6のとき面積が最大だ。
もう一方の辺の長さを求める
よし、あとは壁と平行な辺の長さだ。
$24-2x$mだから、
$$
24-2\cdot6
$$
となる。
計算すると、
$$
24-12=12
$$
である。
したがって、面積が最大になるときの花壇は、
$$
壁に垂直な辺：6\mathrm{m}
$$
$$
壁と平行な辺：12\mathrm{m}
$$
となる。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、二次関数の文章題として、フェンスを使って作る花壇の面積を最大にする方法を確認した。
- 何をxと置くか決める
- ほかの長さをxで表す
- 求めたい量を式で表す
- 定義域を確認する
- 平方完成して最大値・最小値を求める
という解き方だったが、つまりは
問題文で求めたいものをxと置いて、あとはいつも通りに二次関数の問題を解けばいいんだな。
文章から二次関数を作れれば、あとは平方完成して頂点を調べるだけだ。長さをxで表し、面積の式を作る流れを身につけよう。
それじゃあな。
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