【高校数学I】二次関数の最大値・最小値｜定義域がある場合の求め方
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
前回、平方完成で二次関数の最大値・最小値を求める問題、やったよな？
でもな、たまに高校数学Iでは、
定義域がある場合の二次関数の最大値・最小値を求める問題
っていうのが出てくるんだ。
例えば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+10
$$について、定義域が、
$$
1\leqq x\leqq5
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
二次関数の最大値・最小値｜定義域がある場合の求め方
定義域がある二次関数の最大値・最小値は、次の順番で求めるぞ。
- 二次関数を平方完成する
- 頂点と軸を求める
- 頂点が定義域内にあるか確認する
- 定義域の両端での関数の値を求める
- 候補となる値を比較する
このやり方で例題を一緒に解いてみよう。
平方完成する
まず、
$$
y=x^2-6x+10
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+10
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2+1
$$
である。
頂点と軸を調べる
$$
y=(x-3)^2+1
$$
より、頂点は、
$$
(3,\ 1)
$$
である。
また、軸は、
$$
x=3
$$
である。
定義域は、
$$
1\leqq x\leqq5
$$
なので、
$$
x=3
$$
は定義域内にある。
また、2乗の前の係数は正なので、放物線は上に開く。
したがって、頂点で最小値をとる。
$$
x=3
$$
のとき、
$$
y=1
$$
なので、最小値は、
$$
1
$$
である。
定義域の両端を調べる
次に、定義域の左端、
$$
x=1
$$
での値を求める。
$$
y=(1-3)^2+1
$$
$$
=4+1
$$
$$
=5
$$
である。
したがって、
$$
x=1
$$
のとき、
$$
y=5
$$
となる。
次に、定義域の右端、
$$
x=5
$$
での値を求める。
$$
y=(5-3)^2+1
$$
$$
=4+1
$$
$$
=5
$$
となる。
したがって、
$$
x=5
$$
のときも、
$$
y=5
$$
である。
最大値と最小値を決める
調べた値は、
$$
x=1のとき、y=5
$$
$$
x=3のとき、y=1
$$
$$
x=5のとき、y=5
$$
である。
したがって、
$$
x=1,\ 5
$$
のとき、最大値、
$$
5
$$
をとる。
また、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
1
$$
をとる。
よって、答えは、
$$
\boxed{x=1,\ 5のとき最大値5}
$$
$$
\boxed{x=3のとき最小値1}
$$
である。
頂点が定義域の中にあるので、頂点が最小値になる。最大値は左右の端を比べるが、今回は両方とも5だな。
二次関数の頂点が定義域外にある場合
よし、もう一問解いてみよう。
二次関数、
$$
y=-x^2+2x+3
$$について、定義域が、
$$
2\leqq x\leqq4
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
さっきの問題は頂点が定義域内にあったよな？
今回は定義域外にあるパターンだ。
平方完成する
まず、
$$
y=-x^2+2x+3
$$
を平方完成する。
最初の2項から、
$$
-1
$$
をくくり出す。
$$
y=-(x^2-2x)+3
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-2x
$$
を平方完成する。
$$
(x-1)^2=x^2-2x+1
$$
なので、
$$
x^2-2x=(x-1)^2-1
$$
である。
したがって、
$$
y=-\{(x-1)^2-1\}+3
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
y=-(x-1)^2+1+3
$$
である。
よって、
$$
y=-(x-1)^2+4
$$
となる。
頂点と軸を確認する
$$
y=-(x-1)^2+4
$$
より、頂点は、
$$
(1,\ 4)
$$
である。
また、軸は、
$$
x=1
$$
である。
しかし、定義域は、
$$
2\leqq x\leqq4
$$
である。
したがって、
$$
x=1
$$
は定義域内にない。
頂点は、定義域の左側にある。
定義域内では、頂点から右へ離れるほど、
$$
y
$$
の値が小さくなる。
つまり、定義域内でこの関数は減少している。
定義域の左端を調べる
定義域の左端は、
$$
x=2
$$
である。
$$
y=-(2-1)^2+4
$$
$$
=-1+4
$$
$$
=3
$$
となる。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、
$$
y=3
$$
である。
定義域の右端を調べる
定義域の右端は、
$$
x=4
$$
である。
$$
y=-(4-1)^2+4
$$
$$
=-9+4
$$
$$
=-5
$$
となる。
したがって、
$$
x=4
$$
のとき、
$$
y=-5
$$
である。
最大値と最小値を決める
定義域内では関数が減少している。
したがって、左端で最大値をとり、右端で最小値をとる。
よって、
$$
x=2
$$
のとき、最大値、
$$
3
$$
をとる。
また、
$$
x=4
$$
のとき、最小値、
$$
-5
$$
をとる。
答えは、
$$
\boxed{x=2のとき最大値3}
$$
$$
\boxed{x=4のとき最小値-5}
$$
である。
頂点はx=1だが、定義域は2から4までだ。頂点は使えないので、左右の端の値を比べればいいぞ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、定義域がある二次関数の最大値・最小値の求め方を確認した。
要は、
平方完成して二次関数の頂点を求めて、定義域の中にあるのか、外にあるのか確認すりゃいいってことさ。
定義域がある場合は、平方完成して終わりではない。そこがスタートラインだ
それじゃあな。
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