3分でわかる！二次関数の最大値・最小値の求め方｜定義域がない場合を平方完成で解説
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。公園が、癒し
高校数学Iでは、二次関数の最大値や最小値を求める問題、出てきちゃうよな。
例えば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+11
$$の最大値・最小値を求めてみよう。
このタイプの問題は業界では、
定義域がない場合の二次関数の最大値・最小値の問題
と呼ばれているぞ（たぶん）。
なぜなら、二次関数の最大値・最小値を求めないといけないんだけど、定義域が全く指定されていないからだな。
今日はこの二次関数の最大値・最小値を求める問題をわかりやすく解説していくぞ。
二次関数の最大値・最小値を求めるやり方
定義域がない二次関数の最大値・最小値は、次の順番で求める。
- 二次関数を平方完成する
- 頂点の座標を読み取る
- 2乗の前の係数が正か負かを確認する
- 頂点のy座標を最大値または最小値と判断する
- もう一方は存在しないことを確認する
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+11
$$の最大値・最小値を求めてみよう。
二次関数を平方完成する
まず、右辺を平方完成する。
$$
y=x^2-6x+11
$$
$$
x^2-6x
$$
を、
$$
(x-3)^2
$$
の形にする。
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+11
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2+2
$$
である。
頂点を確認する
$$
y=(x-3)^2+2
$$
より、頂点は、
$$
(3,\ 2)
$$
である。
また、2乗の前の係数は、
$$
1
$$
であり、正である。
したがって、放物線は下に凸である。
$$
(x-3)^2\geqq0
$$
なので、
$$
y=(x-3)^2+2\geqq2
$$
となる。
よって、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
2
$$
をとる。
また、上方向へはどこまでも大きくなるので、最大値はない。
したがって、答えは、
$$
x=3のとき、最小値2
$$
であり、最大値はない。
平方完成すると、頂点は（3，2）だ。上へ開くので、頂点のy座標2が最小値になるぞ。
最大値を求める問題も解いてみよう
よし、もう1問解いてみようか。
$$
y=-2x^2+8x-5
$$
の最大値・最小値を求めてみよう。
平方完成
まず、平方完成する。
$$
y=-2x^2+8x-5
$$
最初の2項から、
$$
-2
$$
をくくり出す。
$$
y=-2(x^2-4x)-5
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-4x
$$
を平方完成する。
$$
(x-2)^2=x^2-4x+4
$$
なので、
$$
x^2-4x=(x-2)^2-4
$$
である。
したがって、
$$
y=-2\{(x-2)^2-4\}-5
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
y=-2(x-2)^2+8-5
$$
である。
よって、
$$
y=-2(x-2)^2+3
$$
となる。
頂点を確認する
$$
y=-2(x-2)^2+3
$$
より、頂点は、
$$
(2,\ 3)
$$
である。
また、2乗の前の係数は、
$$
-2
$$
であり、負である。
したがって、放物線は上に凸である。
$$
(x-2)^2\geqq0
$$
なので、
$$
-2(x-2)^2\leqq0
$$
である。
よって、
$$
y=-2(x-2)^2+3\leqq3
$$
となる。
したがって、
$$
x=2
$$
のとき、最大値、
$$
3
$$
をとる。
また、下方向へはどこまでも小さくなるので、最小値はない。
答えは、
$$
x=2のとき、最大値3
$$
であり、最小値はない。
まとめ
おし、以上だ。
今回は、定義域がない場合の二次関数の最大値・最小値について確認した。
二次関数を平方完成して、
$$
y=a(x-p)^2+q
$$
の形にする。
頂点は、
$$
(p,\ q)
$$
である。んで、グラフを想像して、最大値か最小値を求めてやりゃいいってことよ。
定義域がない二次関数では、平方完成して頂点を見つける。これで突破できる。
次は、定義域が指定されている場合の最大値・最小値を確認していこう。
それじゃあな。
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