三角形の決定とは？正弦定理・余弦定理で残りの辺と角を求める方法
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角形の決定」をやるぞ。与えられた辺と角から、残りの辺や角を順番に求めていく。
三角形では、いくつかの辺や角の大きさがわかると、残りの辺や角を求められることがあるんだ。
たとえば、
- 2辺とその間の角
- 1辺と2つの角
- 3辺
などが与えられた場合だな。
このように、与えられた条件から三角形の残りの辺や角を求めることを、
三角形の決定
というぞ。
で、三角形を決定するときに使うのが、正弦定理と余弦定理ってわけよ。
三角形は、いくつかの辺と角がわかれば、残りも順番に求められる。最初にどの公式を使うかを見抜くのがポイントだ。
三角形の決定の問題の解き方
三角形を決定するときは、まず何が与えられているかを確認する。
特に重要なのは、
2辺とその間の角がわかっているか
ということだ。
たとえば、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
C
$$
が与えられている場合を考える。
角Cをはさんでいる2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
このように、2辺とその間の角がわかっているときは、余弦定理を使って残りの辺を求めることができる。
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
2辺とその間の角が見えたら、まず余弦定理だ。残りの辺を求めるところから始めよう。
三角形の決定の例題を解いてみよう
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
C=30^\circ
$$
のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めてみよう。
今回わかっているのは、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
C
$$
である。
つまり、2辺
$$
a,\ b
$$
と、その間の角
$$
C
$$
がわかっている。
したがって、最初に余弦定理を使って、残りの辺
$$
c
$$
を求める。
余弦定理で残りの辺cを求める
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
ここに、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
C=30^\circ
$$
を代入する。
$$
c^2
=
2^2
+
(\sqrt{3}-1)^2
–
2\cdot2(\sqrt{3}-1)\cos30^\circ
$$
ここで、
$$
(\sqrt{3}-1)^2
$$
を展開する。
$$
(\sqrt{3}-1)^2
=
3-2\sqrt{3}+1
$$
$$
=
4-2\sqrt{3}
$$
である。
また、
$$
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
c^2
=
4+(4-2\sqrt{3})
–
4(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
最後の項を計算すると、
$$
4(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
=
2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)
$$
$$
=
6-2\sqrt{3}
$$
である。
したがって、
$$
c^2
=
4+4-2\sqrt{3}-(6-2\sqrt{3})
$$
$$
c^2
=
8-2\sqrt{3}-6+2\sqrt{3}
$$
$$
c^2=2
$$
となる。
よって、
$$
c=\pm\sqrt{2}
$$
となるが、辺の長さは正である。
したがって、
$$
c=\sqrt{2}
$$
である。
c²=2だから、計算上はプラスとマイナスが考えられる。ただし辺の長さは正なので、c=√2だ。
余弦定理で角Aを求める
これで、三角形ABCの3辺がすべてわかった。
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
c=\sqrt{2}
$$
である。
次に、角Aを求めよう。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これを、
$$
\cos A
$$
について整理すると、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
ここに、
$$
a=2
$$
$$
b=\sqrt{3}-1
$$
$$
c=\sqrt{2}
$$
を代入する。
$$
\cos A
=
\frac{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{2})^2-2^2}
{2(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}
$$
それぞれ計算すると、
$$
(\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}
$$
$$
(\sqrt{2})^2=2
$$
$$
2^2=4
$$
なので、
$$
\cos A
=
\frac{4-2\sqrt{3}+2-4}
{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}
$$
となる。
分子を整理すると、
$$
4-2\sqrt{3}+2-4
=
2-2\sqrt{3}
$$
である。
これは、
$$
-2(\sqrt{3}-1)
$$
と表せる。
したがって、
$$
\cos A
=
\frac{-2(\sqrt{3}-1)}
{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}
$$
となる。
分子と分母の
$$
\sqrt{3}-1
$$
を約分すると、
$$
\cos A
=
-\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
である。
分母を有理化すると、
$$
\cos A
=
-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
となる。
ここで、
$$
\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
なので、
$$
A=135^\circ
$$
である。
3辺がわかったので、もう一度余弦定理を使える。今度は式を変形して、cosAを求めるんだ。
内角の和で最後の角Bを求める
最後に、角Bを求めよう。
三角形の内角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
A+B+C=180^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
A=135^\circ
$$
$$
C=30^\circ
$$
なので、
$$
135^\circ+B+30^\circ=180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
B
=
180^\circ-(135^\circ+30^\circ)
$$
$$
B
=
180^\circ-165^\circ
$$
$$
B=15^\circ
$$
となる。
よって、
$$
B=15^\circ
$$
である。
答えをまとめる
以上より、残りの辺と角は、
$$
c=\sqrt{2}
$$
$$
A=135^\circ
$$
$$
B=15^\circ
$$
である。
したがって、答えは、
$$
c=\sqrt{2},\quad A=135^\circ,\quad B=15^\circ
$$
となる。
余弦定理で辺を出す。余弦定理で角を出す。最後は内角の和で仕上げる。これで三角形が全部決まったぞ。
正弦定理を使って残りの辺を求める例題
今回は余弦定理を使いまくったが、
正弦定理を使うこともある。
次の例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$$$
A=30^\circ
$$$$
B=60^\circ
$$のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めてみよう。
まず、三角形の内角の和より、
$$
A+B+C=180^\circ
$$
である。
ここに、
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
を代入すると、
$$
30^\circ+60^\circ+C=180^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
C=90^\circ
$$
である。
これで、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
$$
C=90^\circ
$$
がわかった。
1辺と2つの角がわかっている問題では、まず内角の和で最後の角を求める。そのあと正弦定理だ。
正弦定理で辺bを求める
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=60^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{5}{\sin30^\circ}
=
\frac{b}{\sin60^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{5}{\frac{1}{2}}
=
\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
$$
となる。
左辺を計算すると、
$$
10
=
\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
$$
である。
したがって、
$$
b
=
10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
b=5\sqrt{3}
$$
となる。
正弦定理で辺cを求める
次に、辺
$$
c
$$
を求める。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
C=90^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{5}{\sin30^\circ}
=
\frac{c}{\sin90^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin90^\circ=1
$$
なので、
$$
\frac{5}{\frac{1}{2}}
=
\frac{c}{1}
$$
となる。
したがって、
$$
10=c
$$
より、
$$
c=10
$$
である。
答えをまとめる
以上より、
$$
C=90^\circ
$$
$$
b=5\sqrt{3}
$$
$$
c=10
$$
である。
したがって、答えは、
$$
b=5\sqrt{3},\quad c=10,\quad C=90^\circ
$$
となる。
向かい合う辺と角のペアが1組わかっている。こんなときは正弦定理が使いやすいぞ。
まとめ
以上が、三角形の決定の問題の解き方だ。
最後に復習しておくと、三角形の決定とは、
与えられた辺や角の条件から、残りの辺や角を求めること
だったな。
問題のタイプに応じて、正弦定理、余弦定理を使い倒していく。
それだけさ。
与えられた条件を確認し、使える定理を順番に当てていく。それが三角形の決定だ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
