三角比の相互関係の証明 その2｜sin²A + cos²A = 1 はなぜ成り立つ？
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角比の相互関係の中でも超重要な公式をやるぞ。
高校数学Iの三角比では、次の公式が出てくる。
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
この公式を見ると、
「sinを2乗して、cosを2乗して、足したら1……？」
と、少し不思議に見えるかもしれない。
しかし、この公式も丸暗記するだけのものではない。
実は、
三平方の定理から出てくる式
なのだ。
sin²A + cos²A = 1 は、急に出てきた謎の公式じゃない。直角三角形に戻せば、ちゃんと正体が見えるぞ。
この記事では、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
がなぜ成り立つのかを、直角三角形と三平方の定理を使ってわかりやすく解説する。
直角三角形で考える
直角三角形ABCを考える。
角Aに注目しよう。
このとき、辺の長さを次のようにおく。
- 斜辺：c
- 角Aの対辺：a
- 角Aの隣辺：b
三角比の定義より、
$$
\sin A = \frac{a}{c}
$$
$$
\cos A = \frac{b}{c}
$$
となる。
ここで大事なのは、
- sinA は「対辺 ÷ 斜辺」
- cosA は「隣辺 ÷ 斜辺」
ということだ。
sinAとcosAは、どちらも斜辺cで割っている。ここがあとで効いてくるぞ。
sin²A と cos²A を作る
まず、
$$
\sin A = \frac{a}{c}
$$
なので、両方を2乗すると、
$$
\sin^2 A = \left(\frac{a}{c}\right)^2
$$
つまり、
$$
\sin^2 A = \frac{a^2}{c^2}
$$
となる。
同じように、
$$
\cos A = \frac{b}{c}
$$
なので、
$$
\cos^2 A = \left(\frac{b}{c}\right)^2
$$
つまり、
$$
\cos^2 A = \frac{b^2}{c^2}
$$
となる。
sin²Aは、sinAを2乗するという意味だ。sinAの右上に2がついているから、sinA全体を2乗するんだな。
sin²A + cos²A を計算する
では、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A
$$
を計算してみよう。
さきほどの式を代入すると、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A
=
\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}
$$
となる。
分母が同じなので、分子を足す。
$$
\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}
=
\frac{a^2 + b^2}{c^2}
$$
ここで、直角三角形なので、三平方の定理より、
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
である。
したがって、
$$
\frac{a^2 + b^2}{c^2}
=
\frac{c^2}{c^2}
$$
となる。
そして、
$$
\frac{c^2}{c^2} = 1
$$
だから、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
となる。
証明完了だ。
最後は三平方の定理だ。a² + b² が c² になるから、分子と分母が同じになって1になるんだ。
例題：sinAからcosAを求める
では、実際にこの公式を使ってみよう。
たとえば、
$$
\sin A = \frac{3}{5}
$$のとき、
$$
\cos A
$$を求めなさい。
という問題だ。
三角比の相互関係の公式より、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
だから、
$$
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1
$$
となる。
まず、
$$
\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
$$
なので、
$$
\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1
$$
移項して、
$$
\cos^2 A = 1 – \frac{9}{25}
$$
$$
\cos^2 A = \frac{25}{25} – \frac{9}{25}
$$
$$
\cos^2 A = \frac{16}{25}
$$
よって、
$$
\cos A = \frac{4}{5}
$$
となる。
※高校数学Iの三角比で、角Aが鋭角の場合は、cosAは正の値として考える。
sinがわかれば、sin² + cos² = 1 を使ってcosを出せる。逆に、cosがわかっているときはsinを出せるぞ。
この公式を使う場面
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
は、主に次のような場面で使う。
- sinAがわかっていて、cosAを求めたいとき
- cosAがわかっていて、sinAを求めたいとき
- sinとcosだけが出てくる式を整理したいとき
- 三角比の相互関係を使って式変形したいとき
特に高校数学では、
sinとcosをつなぐ公式
としてよく使う。
まとめ
今回は、
$$
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
$$
がなぜ成り立つのかを確認した。
ポイントは、三角比の定義と三平方の定理だ。
公式は暗記してもいい。でも、正体までわかっていると強い。sin² + cos² = 1 は、三平方の定理から来ているんだ。
次は、
$$
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}
$$
を見ていこう。
それじゃあな。
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