高校数学Iの三角比では、次のような問題が出てくる。

高さ18mの校舎の屋上の地点Pから、運動場の端Aを見下ろしたところ、俯角は28°であった。
校舎の真下の地点をQとするとき、校舎から運動場の端までの距離AQは何mか。
四捨五入して、小数第1位まで求めよ。
ただし、$$\tan 28^\circ = 0.5317$$ とする。

この問題では、

• 校舎の高さ
• 運動場の端を見下ろす角度
• 三角比の値

が与えられている。

そして、求めたいのは、

校舎から運動場の端までの距離AQ

だ。

ポイントは、

俯角を、地面側の角度として使う

ことだ。

俯角（ふかく）とは何者？？

俯角とは、水平な線から下を見下ろしたときの角度のことだ。

校舎の屋上から運動場を見る。

ビルの上から地面を見る。

崖の上から海を見る。

こういうときに出てくる角度が俯角だ。

今回の問題では、校舎の屋上Pから運動場の端Aを見下ろした角度が28°なので、

$$28^\circ$$

が俯角になる。

図の見方

校舎の屋上の点をP、校舎の真下の点をQとする。

運動場の端をAとする。

このとき、校舎の高さは、

$$PQ = 18$$

だ。

求めたいのは、地面の距離である

$$AQ$$

だ。

つまり、直角三角形APQにおいて、

• 高さPQが18m
• 底辺AQを求めたい

という問題になる。

俯角28°はどこで使うのか

ここで少し注意が必要だ。

問題文には、

$$俯角28^\circ$$

と書かれている。

俯角は、屋上Pを通る水平な線と、PからAへ向かう視線との間の角度だ。

しかし、直角三角形APQで使いたい角度は、地面側の角Aだ。

実は、この2つの角度は等しくなる。

なぜなら、屋上Pを通る水平な線と、地面の線AQは平行だからだ。

そのため、錯角の関係で、

$$\angle A = 28^\circ$$

となる。

 

 

なぜtanを使うのか

直角三角形APQで考える。

角Aは28°。

向かい側の辺はPQで、長さは18m。

となりの辺はAQで、これを求めたい。

tanは、

$$\tan A = \frac{対辺}{隣辺}$$

だった。

今回の図では、

$$\tan 28^\circ = \frac{PQ}{AQ}$$

となる。

PQは18mなので、

$$\tan 28^\circ = \frac{18}{AQ}$$

だ。

 

 

AQを計算する

では、AQを求めよう。

$$\tan 28^\circ = \frac{18}{AQ}$$

問題より、

$$\tan 28^\circ = 0.5317$$

なので、

$$0.5317 = \frac{18}{AQ}$$

したがって、

$$AQ = \frac{18}{0.5317}$$

となる。

計算すると、

$$AQ = 33.8536\cdots$$

だ。

四捨五入して、小数第1位まで求めるので、

$$AQ \fallingdotseq 33.9$$

したがって、校舎から運動場の端までの距離は、

33.9m

となる。

まとめ

三角比を使って、校舎から運動場までの距離を求めるときは、俯角とtanを使う。

今回の問題では、俯角が28°なので、地面側の角Aも28°として考えるぞ。