中学1年生の「正の数・負の数」の単元に、
という意味のわからない数学用語が2つ登場します。数学を勉強したての中学1年生にとって、
はあア？整数の集合？？え？どこのゲーセンに集合するんだって？？
自然数の集合？？ あ、おれの地元は自然の集合だからね、なんちゃって
という感じで「整数の集合」や「自然数の集合」の意味がわからなすぎて数学が嫌いになってしまいそうです。これでは日本の数学勉強人口がぐんぐん減ってしまいます。これはいけすかない！
そこで今日は「整数の集合」と「自然数の集合」という数学用語を理解できる記事を書いてみました。その名も、
3分でわかる！「整数の集合」と「自然数の集合」の違い
数学が好きでない中学生の方でも3分でわかるように書いてみました。「正の数・負の数」の単元でつまづきそうになった中学生の方は参考にしてみてください。
「整数の集合」と「自然数の集合の違い」を確認する前に、
集合とは何者か？！？
ということを解説しましょう。
オンライン大百科Wikipediaで「集合（set）」の意味を調べてみると、
「もの」からなる「集まり」である
とあります。ものの集まり？？ なんじゃそりゃ！ってなりますよね。
ぼくは個人的に「集合」の意味をつぎのように捉えています。
集合とはグループのようなもの
です。えっ。Wikipediaよりわかりづらいですって？！？ そうですね、理解をふかめるために具体例をだしてみます。
たとえば、「自分」という1人の人間を考えてみてください。ぼくは日本人で埼玉県に住んでいるおにいさんです。この「ぼく」という人間は以下の3つのグループ（集合）に属していることがわかります。
これらが集合の良い例です。
つまり、集合に属する「もの」は集合内で似たような性質を持っているのです。
先の「日本人」という集合では「日本に住んでいる、もしくは生まれ育った人間」だけが「日本人」という集合に属することができるのです。なんか人種問題に発展しそうなのでここら辺に言及をとどめておきましょう。
集合には大小関係があります。小さい集合もあれば巨大な集合もあるというわけです。
それじゃあ、
という3つの集合で一番大きなものはどれでしょうか？？ こ、答えは、CMのあとで・・・・・
＜＜CM＞＞
答えは、
人間という集合
です。人間には日本人もアメリカ人も含まれます。さらに、埼玉県人や神奈川県人は日本人に含まれます。つまり図で表すと次のようになります。
数学で集合が登場したときにはこのように、
どの集合がどの集合に属するのか？？
ということを見極めることが大切です。人間というグループの中に日本人がいる。日本人というグループの中に埼玉県人がいる。といった具合にです。
集合の意味を何となく理解できましたか！？
つぎは中学1年生の数学教科書で登場した「整数の集合」と「自然数の集合」について考えてみましょう。
集合とはグループのことでしたね？？
つまり整数の集合とは
整数の数のグループのこと
です。自然数の集合も同様に、
自然数の数のグループのこと
です。
人間、日本人、埼玉県人、という集合のときと同様に、
「整数の集合」と「自然数の集合」のどちらが大きいか考えてみましょう！！
整数とは…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…..でしたね？ 自然数とは指で数えられる数1, 2, 3, 4, 5…..です！
数直線で考えてみると次のようになります。
この数直線から視覚的にわかるのは、
「自然数の集合」が「整数の集合」に含まれている
ということです。1という数は自然数でもあり整数でもあります。2も3も同様。
がしかし、-1や0といった数はどうでしょう？？これらは整数ですが自然数ではありません。つまり、整数の集合のほうが自然数の集合より守備範囲が広いんです。
この2つの集合の関係を図にあらわすと次のようになります。
数学の集合では、
どっちの集合がデカいのか！？
という疑問をなげかけることが大切。頭でじっと考えてもわからないときは上のような絵を描いてみましょう！
じつは整数の集合よりも大きな数の集合があります。
それは「数全体の集合」というヤツです。これはいったいどういうことなんでしょうか！？？？
ご存知の通り、整数には分数、小数・・・といった中学数学で登場する数が含まれません。たとえば0.2、
これらは中学数学では「数全体」という集合で表現されます。なぜなら、数字なら何でも「数全体」という集合に属することができるからです。
「数全体」「整数」「自然数」という3つの数の集合の関係をさきほどのように図で表現すると、
という感じになります。
「整数の集合」「自然数の集合」よりも大きな「数全体の集合」を忘れないであげてくださいね！。
もしかしたらテストにひょっこり出題されるかもしれません。
ここまでスピーディーに「整数の集合」と「自然数の集合」の違いを確認してきました。
中学数学で「数の集合」の問題が出題されたら、
どちらの集合がより大きいのか
ということを確認してみましょう。どんな難しい問題でも瞬殺できるはずです。
それでは、また今度です！
Ken
中学校で勉強する数学には「指数の計算」が山のように出没します。
もうその指数の数は多すぎて数えられないほど。中学校の数学が指数で成り立っているといっても過言ではありません。
ところが、です。
中学数学で登場する「指数の計算」にはたくさんの落とし穴が潜んでいます。
はあ？指数の計算！？ラクショーだよそんなの
となめてかかるとゼッタイに痛い目に合います。中間・期末テストでとれたはずの点数が指数計算のケアレスミスによって台無しに。それじゃあモッタイナイですよね？？
そこで今日は、
中学数学の「指数の計算」で注意すべき3つのポイント
をお伝えします。指数の計算が苦手な中学生の方や、これから指数を勉強する数学初心者の方までが参考にしてくださるとうれしいです。
それじゃあさっそく、指数計算で注意すべき点を3つ紹介していきます。ポイントをしっかり押さえて数学テストでのケアレスミスを少なくしましょう。
指数の計算で多くの人が陥りやすい落とし穴は「指数と()」の位置関係の誤解です。これは負の数の指数計算で間違える方が多発するケース。えっ、いったいどんな指数計算の落とし穴なのかですって？？
それは、
負の数の()の外に指数があるか、内に指数があるか計算結果が異なる
ということです。()の外に指数があると、負の数自体を繰り返し掛けていることを意味します。逆に、()の内に指数があると指数がついた数字（低）を繰り返しかけた数に「マイナス記号」をつけていることになります。
ちょっと言葉では言い表しづらいので、実例をもとに確認していきましょう。
たとえば、
このケースは「()の外側に指数がある」場合です。つまり、（-3）という負の数自体を2回繰り返し掛け合わせた数なので答えは、
それでは
これは先ほどの
そのため、この計算は「3を2回繰り返しかけた数にマイナスの符号をつける」ことを意味します。よって、指数計算の結果は、
以上の2つの指数計算はかなり似ています。もうリリとララぐらい似ています。だって、指数の位置が()の「内」か「外」だけの違いですからね。
負の数の計算で「()と指数の位置」が異なると「計算結果の符号」が異なることを肝に命じておきましょう。
2つ目に気をつけるべきことは「指数の数」です。
えっ。指数の数に気をつけるのは当たり前ですって？？た、たしかに。指数は「同じ数を繰り返しかけあわせる数」です。注意しないわけにもいきません。
ぼくがここで言いたかったのは、
（負の数の指数計算の場合に）指数が「奇数か偶数か」に注意して計算する
ということです。ここで言う「負の数」とは先ほど解説した()の外側に指数が置いてあるケースです。たとえば
となります。説明だけではちょいとわかりづらいので具体例をみていきましょう。
たとえば、
よって、2つの指数の計算結果は、
となります。
この指数の計算例をみても、
となっていることがわかります。ただ、このれは「()の外側に指数があるときのみ」有効になります。指数の計算をする前にはよーーく目をこすっておきましょう。
最後に指数の計算で注意すること。それは
絶対値が1より小さく0より大きい数（0<a<1）の指数計算
です。1よりも小さい数とはたとえば、
ここで覚えて欲しいことは一点だけ。
「1より小さく0より大きい数字」の指数計算をすると、もとの数より小さくなる
ということです。
く、繰り返し同じ数を掛けたんだから大きくなるはず！！
といいたい気持ちは十分にわかります。ただ、「絶対値が1より小さく0より大きい数」にだけは気をつけておきましょう。
たとえば次のような指数の問題があったとします。
つぎの数の大小を比較しなさい。間違えたらビンタします。
と
このとき「2乗したほうが大きくなるはずやろ？？」という固定概念をもっていると、
と思わず答えてしまいそうです。これだと手痛いビンタを頬に食らうことになります。
ここは冷静沈着になって試しに指数の計算をしてみましょう。すると、
となります。これは明からに元の数「0.3」より小さいですよね？？？
よって答えは「
以上で指数の計算で気をつけるポイントは終了です。
たった3つのことを頭にいれておくだけで、指数の計算のケアレスミスを避けることができるのです。中学数学では指数の計算が死ぬほど登場します。指数という言葉で耳鳴りがするほど。
そんだけ頻繁に登場する指数の計算でミスをなくせば、数学テストの点数がグングンと昇っていくでしょう。
それでは、また今度です。
Ken
小学校の算数になかった用語に「指数（power）」があります。
ぼくが中学生になりたての頃、「指数」の意味を理解するのにだいぶ苦戦してました。いやあー辛かったなあ・・・・
指数を理解するのは時間の問題
いや、だけれども、です。
一度、数学の「指数」の意味を理解してしまえばもう怖いものなしです。
中学3年間の数学で、指数がたぶん、10000回ぐらい登場すると思います。 それだけ頻繁に登場する数学用語です。中学1年生の初期から理解しておくことに越したことはありません。が、逆に言えば、別に最初で理解できなくても後々わかっていきます。ご安心を。
この記事では中学数学用語の「指数（しすう）」を5分でわかるように説明していきます。指数を理解できずに苦しんでいる中学生の方なんかが参考にしてくださるとうれしいです。
それでは、さっそく中学数学で勉強する「指数」の意味を確認していきましょう。
指数を理解しやすいようにステップバイステップで解説していきます。
同じ数字を掛ける式って長くてメンドクサイですよね？！
美女に「3を300回かけた計算式を明日までにレポート用紙に書いてきて。約束よ」
と言われてもなかなか厳しいものがあります。なぜなら、300回も3という数字を書きたくないし、×という掛け算の記号も300回はさすがに見たくないからです。数学に詳しくないと素直に、
と苦しく書き写しをせねばなりません。これでは腕力に自信があってもいつか疲れはててしまいます。最悪の場合、腱鞘炎を引き起こしてしまう可能性があります。これはいくらなんでも辛すぎますね。
そこで登場するのが「べき乗 (exponentiation)」という概念です。これはカンタンに言ってしまうと、
同じ数を繰り返し掛ける計算を省略できる
というものです。たとえば、さきほどの「3を300回かけるケース」を例にとりましょう。3を300個、「掛け算の記号」を299回書かなくてもいいんです。「3を300回かける」計算式はつぎのように表すことができます。
繰り返しかける数の右上に「掛け算を繰り返す回数」を付け足します。「3を300回掛ける計算式」を書いて？と命令されても大丈夫。A4のレポート用紙の半分のスペースがあれば十分です。こいつは楽チン！
ここで登場した「掛け算を繰り返す回数」を「指数」といいます。この例でいえば「300」が指数ですね。ちなみに、これは高校数学で勉強することですが、この指数がついた数字を「底（てい）」といいます。
さて、これで「指数」の正体がわかりましたね！？？
一言で言うと、
同じ数を掛け合わせる回数
ということになります。
それではいったい、新しく登場した「べき乗」の数はどうやって読めばいいのでしょうか？？ 意味はわかったけど、読み方がわからない。
これでは、好きな子ができたけど名前がわからない状態と一緒です。歯がゆすぎます。
いや、しかし、べき乗の読み方はいたってカンタンです。
「AのB乗（じょう）」
と読めば良いのです。ここではAに底（てい）、Bには指数を当てはめます。たとえば先ほどの例で言えば、
「3の300乗（サンノサンビャクジョウ）」と読むわけですね！！なるほど。
でもでも、
いきなりこれが「指数」だい！よろしこ！
なんていわれてもピンと来ませんよね？？ ある日、突然やってきた転校生にいきなり馴染めないと同じ。何か「指数」という転校生を印象づけて覚えなくては・・・・・
今日はせっかくですので、ぼくが中学生のときに指数の意味を覚えた方法を紹介します。よかったら参考にしてください。
ぼくは
「~~~~を~~~~~回かけた数」という念仏をとなえて指数の意味を理解していました。
たとえば、先ほどの「3の300乗」でいえば、
という感じです。独り言を言うのが恥ずかしいという方は、底と指数の間に「ことば」を書き込んでみましょう。ちょうど上のような感じです↑↑
教科書とかプリントが汚くなりそうですけどw
ふう、ここまで中学数学で勉強する「指数」の意味を振り返ってきました。
冒頭で申した通り、中学校の数学には「指数」が頻繁に登場します。そうですねえ、週3日とかの頻度じゃないですかね。
ただ、この記事を読んで指数の意味がわからなくても大丈夫。数学を勉強するにつれて指数の意味をカラダで感じとることができるはずです。焦らずに勉強していきましょう！
それでは、また今度です。
Ken Sawai
中学数学で登場する「逆数」の使い方をマスターしたい。
逆数の計算をものの2秒で終了させたい。
そんな願いを抱えていませんか？？ 逆数の計算をぱぱっと片付けると断然クールですし、何やら異性にモテそうな気がしてきます。
今日は逆数の計算を瞬殺したいと願うすべての中学生の方のために、
【意味から考える】逆数の計算を2秒で片付ける3つの方法
という数学学習の記事を書いてみました。逆数の計算問題をクリアするために、まずは逆数の意味を振り返ります。その後に逆数を計算するおすすめの方法を3つ紹介していきますね。
＜もくじ＞
それではさっそく見て行きましょう。
中学1年生の数学で登場する「逆数（reciprocal）」の意味はいったい何なのでしょうか？？
とりあえず中学校の数学教科書をのぞいてみましょう！
教科書には逆数の説明が以下のように記載されています。
2つの数の積が1になるとき、一方の数を、他方の数の逆数といいます。
なるほど。たとえばAという数字くんがいたとしましょう。そこにBという「たまたま通りがかった数字くん」を掛けてみます。ぐ、偶然にも答えが1となった場合、
BはAの逆数である
といえるわけですね！なるほど！
逆数の意味をなんとなく理解できましたか？？
次は逆数の計算を２秒で片付けるために身につけたい3つの逆数の計算方法を紹介していきます。これから紹介する計算方法はそれぞれ、
の3つです。逆数を計算したい対象によって場合わけしてみました。
よかったら参考にしてみてください。
一番カンタンな逆数の計算は「分数の逆数」です。なぜなら、
分母と分子をひっくり返せばいいだけだから
です。分数の逆数は視覚的にもわかりやすいですし、なによりケアレスミスを防ぐことができます。それでは例題と一緒に逆数の計算方法をみていきましょう。
たとえば、
の逆数を5秒以内に計算せよ。
という計算問題があったとしましょう。このような分数の逆数計算の問題が出題されたら超ラッキーです。なぜなら、
分母と分子をひっくりかえせばよいから
です。この場合ですと、分母の4と分子の3の場所をとっかえっこした、
が答えとなります。ふたつの数字の場所を取っ替えっこするだけなので5秒もかかりませんね。
ただ、分数の逆数計算で注意すべき点が1つあります。それは、
帯分数の逆数計算
です。たとえば、
の逆数を4秒で計算せよ。
という問題があったとしましょう。このとき、先ほどの解き方の通りに分子と分母を逆にした数、
と答えては間違いです。なぜなら、この数はもとの
こういうときは、
帯分数を「帯分数なしの分数」になおす
という作業が必要です。先の例で、
帯分数の逆数の計算には十分に注意しましょう！
つぎに小数の逆数計算方法です。小数の逆数計算方法は以下の手順をふみます。
先ほどの分数の逆数計算方法にワンステップ増えただけですね！とりあえず、小数を分数に直してから分数の逆数計算方法を適用してやればいいのです。
たとえば、
という数学問題が出現したとしましょう。先ほど紹介した小数の逆数計算方法にしたがうと、まずは小数を分数に直さねばなりません。すると、
となります。そのつぎに、分数（もと小数）の逆数を計算してやればよいことになります。すると、0.2の逆数は、
であることがわかります。少々めんどくさいですが、この方法ならば逆数の計算ミスを防ぐことができます！
最後に整数の逆数の計算方法を紹介します。整数の場合、
逆数を計算する整数を分母にし、1を分子にする
という計算方法を利用しましょう。ちょっと文章にするとわかりづらいので実際の例題をみています。
たとえば、
7の逆数を0.1秒で求めよ。
という逆数の計算問題があったとしましょう。このとき、逆数の計算をする数「7」を分母に、1を分子にした分数が逆数になるので、
7の逆数は
ちょっと複雑ですが、コツを掴んで急いでペンを握れば0.1秒ぐらいで逆数を計算できそうですね。
整数の逆数を計算する際、気をつけるポイントが1つだけあります。それは、
負の整数の逆数の計算です。
逆数の意味は、
2つの数の積が1になるとき、一方の数を、他方の数の逆数といいます。
でしたね？？ よって、負の数の逆数は「負の数」にならねばいけません。なぜなら、もとの数に逆数をかけたら正の数1になるようにしたいからです。負の数に負の数をかけたら正の数になりますよね？？ これを忘れずに覚えておきましょう！
以上で逆数の計算のコツの紹介は終了です。この記事では分数、小数、整数の3つの場合に使える逆数の計算方法を書いてきました。
あれ？ 逆数の計算の方法わすれちゃった・・・・
というときは逆数の意味を思い出しましょう。
掛けたら1になる数が逆数！
このことだけを暗記しておけば超十分です。
それでは、また今度です。
Ken
中学数学の単元「正の数・負の数」では、「項 (こう)」という言葉が登場します。
「項」なんて小学校で勉強しなかった数学用語ですよね？
数学が苦手な中学生の方はきっと、ぜんぜん、ピンときてないはず。
そこで今日は、中学数学で登場する「項」の意味を復習していきます。
さっそく、中学数学で勉強する「項の意味」を復習してみましょう。
中学1年生の数学の教科書には「項」の意味がつぎのように紹介されています。
加法だけの式、
$$(+7)+(-8)+(-5)+(+9)$$
で、
$$+7, -8, -5, +9$$
を、この式の項（こう）といいます。
つまり、
ある式を「足し算だけ」の式に直したとき、＋記号に挟まれてる奴らが項なのです。
たとえば、
$$2-8+7$$
という式があったとしましょう。
このとき、この式を加法（足し算）だけの式に直してみると、
$$2+(-8)+7$$
になりますね。
そのため、この式の項は、＋記号にはさまれている３つの塊である、
になるわけです。
だいたい項の意味もわかってきましたが、あと注意することが一点。
それは、掛け算・割り算が混じっている場合の項の見つけ方です。
掛け算・割り算が混じっている式の場合は、
掛け算や割り算を一度計算してしまってから、項を探すようにしましょう。
たとえば、
$$2 × 3 -3 ÷ 6 × 2 – 7$$
という式があったとしましょう。
こんな感じで、掛け算と割り算が入り乱れている式の場合は、
まずは掛け算割り算を計算します。
すると、
$$2 × 3 -3 ÷ 6 × 2 – 7$$
$$= 6 -1 -7$$
となりますね。
ここまでくれば、先ほど同様に、式を足し算だけの式に直してあげればいいので、
$$6 -1 -7$$
$$= 6 +(-1)+( -7)$$
となります。
結論、この式における項は、＋に挟まれている、
の3つということになります。
以上が、項の意味でした。
最後に復習しておきましょう。
項とは、
足し算だけの式に直した時に、＋記号に挟まれている塊のこと
でしたね。
だから、とある式で項を探したいときは、まずはその式を足し算だけの式に書き換えてみればいいのです。
項はこれから３年間活躍する重要な数学用語なのでしっかりここら辺でマスターしておきましょう。
それでは！
Ken
中学数学を勉強し始めて最初にぶつかる壁があります。それは、
マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか？？
ということです。ゼロより小さいマイナスの数をかけたら、なぜ計算の答えがもとの数より大きくなってしまうのか？？ 不思議すぎます。
こんなことが許されるなら、借金（マイナスのお金）に借金をかけ合わせればプラス、つまりお小遣いになりそうです。
そんなのゼッタイおかしいですよね？？
そこで今日は「マイナスかけるマイナスがなぜプラスになるのか？？」という全国の中学生の疑問に答えるために解説してみました。
答えが気になって夜も眠れない中学生の方！！ぜひ参考にしてみてくださいね。
まずは正の数と正の数のかけ算の場合を考えてみましょう。小学校で勉強した算数の延長ですね。たとえば、
という計算式があっとしましょう。小学二年生で勉強した九九で瞬殺すると、2秒でこの答えが6であることがわかります。だって、「サンニガロク！」ですからね。
で、でもちょっと待ってください。
そもそも「掛け算」って何でしょうか？？ うまく説明できるでしょうか？？
ぼくは「掛け算」は次のような計算のことだと思っています。それは、
「ある数のセット」を「ある方向」に「掛ける数ぶん」だけ0から増やす行為
です。えっ。ぜんぜんわかりませんですって？？！ そんな方のために先ほどの「
この計算式では「3という数字セット」を「そのままの方向」に「2つ」増やしています。もうお分かりですよね？ 赤字の文章と対照させて考えると、
「3という数字セット」=> 「ある数のセット」
「ある方向」=>「そのままの方向」
「2つ」=>「掛ける数ぶん」
となります。数直線を使って視覚的に考えてみるとこうなります。
3という数のセットを正の数に2つぶん増やした数。それが答えの6になります。
これが「正の数」×「正の数」の掛け算の場合ですね。
つづいては正の数に負の数（マイナス）をかけた場合です。プラスとマイナスの掛け算はどういう結果になるでしょうか？？
今度は
「ある数のセット」を「ある方向」に「掛ける数ぶん」だけ増やす行為
を掛け算だとすると、この計算式は、
「3という数のセット」を「逆の方向」に「2つ」増やす
と答えが算出されることになります。なぜここでは「ある方向」が「逆の方向」なのでしょうか？？
それは、
掛ける数がマイナス（負の数）だからです。
×の前の数字にマイナスがついていたら逆の方向に数のセットを増やさなければいけません。よって、この掛け算の結果は負の数の「-6」になります。
ここで大切なのは、
マイナスを掛けると逆方向に数字セットを増やさなければならない
ということです。ここをしっかり押さえておけばどんなマイナスの掛け算にも対処することができますよ。
さて、お待ちかねの「マイナスかけるマイナスはなぜプラスになるのか」ということを見て行きましょう。ちょっと難しく見えますが、基本は上であげた2つの例と変わりません。
「ある数のセット」を「ある方向」に「掛ける数ぶん」だけ増やす行為
が掛け算ということを押さえておけば十分です。それではマイナスの掛け算の例題を見て行きましょう。たとえば、「
これは-3というマイナスの数に-2というマイナスの数を掛けています。掛ける数の符号がマイナスであること注意すると、
「-3という数字セット」を「逆の方向」に「2つ」だけ増やす
とこの計算式の答えをゲットできます。やりましたね！数直線で考えてみると、
このようになります。マイナスの数字セットである(-3)を「負とは逆方向」に2つ増やします。
したがって、計算の答えはプラスの「6」ということになります。
えっ。いちいち数直線を考えるのがメンドクサイですって？！？ そういう横着な中学生の方は「マイナスとマイナスをかけるとプラスになる！」という事実を暗記しておきましょう。そうすれば一瞬でマイナス同士の掛け算を計算できますね！いやあー便利便利。
ここまで「プラス×プラス」、「プラス×マイナス」、「マイナス×マイナス」という3つのパターンの掛け算をみてきました。ただ、これらすべてのパターンを暗記するだけだと計算の限界があります。
なぜなら、
項が3つ以上の掛け算（乗法）に対応できないから
です。たとえば、
あれ？ マイナスかけるマイナスかけるマイナス？？？ ちょ・・・ちょっと待ってよお・・・
なんて事態になりかねません。そこで登場するのが、
乗法の計算式に含まれる「マイナスの項」を数える裏技
です。マイナスの数が「偶数」と「奇数」の2つの場合で計算結果の符号が変わるとおぼえておきましょう。
という具合にです。たとえば、
また、
えっ。この裏技が使える理由を知りたいですって？！？
そうですね。これは負の数を掛けると「逆の方向に数のセットを増やす」という掛け算の性質のためです。つまり、負の数がひとつ増えるごとに逆の方向に増やさなくてはなりません。
そうですね、電車の線路の方向を切り替えるようなイメージです。もしくは、ネッシーの首を交互にひねるような感覚です。も、もしくは、好き・嫌い・好き・嫌い・・・のような花占いのものです。
これは中学数学を通して頻繁に出題される問題です。しっかりと頭にたたき込んでおきましょう。
それでは、また今度です。
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenです。昼飯に焼き肉を食べました。
分配法則 (distributive property) という計算法則をご存知ですか？！ 名前が超カッコイイこの法則は、中学1年生の数学でで登場します。
はじめてこの数学用語をみかけた中学生の方は、
は？？ 分配？？？ お、おれの財産は渡せねえよう！
とぶっきらぼうになってしまうかもしれません。そんな一見、超うさん臭い「分配法則」くんですが、じつは中学校の数学の中で、かなりかなりの重要度を誇っています。
分配法則さえマスターすれば中学1年生の数学の大半を倒せます。中学1年生から数学の問題を倒せる武器を所持できるなんてうらやましいですね、まったく！
分配法則という武器を使いこなせ！！
今日はせっかくなので、
分配法則という最終兵器の概要を説明しながら、あまり知られていない便利な使い方まで紹介していきます。
分配法則の使い方がわからなくて悩んでいる方は参考にしてみてくださいね。
分配法則をわかりやすく説明してくれたら欲しいものあ・げ・る
と美女に迫られたとしましょう。なんとしても欲しいものを手に入れたいぼくは、分配法則を次のように説明するかもしれません。それは、
分配法則とは、たし算とかけ算の橋渡しの法則のことだね。
と。たぶん、こんなきざな台詞を使えば、美女も・・・・・
なんて妄想はさておき。なぜ分配法則が「たし算とかけ算の橋渡しの法則」になるのか確認していきましょう！
分配法則は中学数学の教科書で以下のように説明されています。
a, b, cという3つの数字による計算式
$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$
です。えっ。文字ばっかりで分かりづらいですって？！？ そんな方のために実際の数字で分配法則を考えてみましょう。上のa, b, cを４、５、６という数字で置き換えてみると、
となります。
左の計算式を右のようにべつの形で書き換えられるわけです。このように左辺から右辺に式を変更することを分配法則を使っちゃる、といい、ちまたでは「カッコをはずす」なんて異名で呼ばれています。
まとめると、
計算式の()をなくせる法則を「分配法則」と呼んでいるわけです。
分配法則が便利なケースっていったいどんな場合でしょう？？
さっきの説明では全然分配法則が役に立つ気配ありませんよね？？？ むしろ足を引っ張っているような気がします。
たとえば、先ほどの例である
そこで、読者の方が分配法則に惚れ直すことを願い、分配法則がむちゃくちゃ効力を発揮しているケースを紹介していきます。
分配法則が役に立つケースの1つとして挙げられるのは、
「桁数の大きい数字」×「1ケタの小さい数字」という計算
です。たとえば、
のような計算式。この2ケタ×1ケタ数字のかけ算は、そろばんを習っていないと瞬殺できません。ぼくはそろばんを習っていないので、この計算を終了させるのに5分ぐらいかかりそうです。えっとお、小学校で勉強した筆算の方法を利用して、
なんて感じです。じつは小学校で勉強した通りに筆算の公式を利用せずとも、この計算を瞬殺する方法があるんです。それは、
分配法則をつかって桁数の大きい数字をばらしてあげる
という方法です。えっ？ どういうことなのか意味不明ですって！？？
それでは詳しくわかりやすく説明していきましょう。
まずは桁数の大きい数に注目します。
このときのポイントは、
きりのいい桁数でわけわけする
ことです。つまり、14の場合ですと、10がきりのよい桁数です。14を「10と4が足された数字」と捉え直してやるわけですね。
すると、
という()を含む計算式に変化させることができます。
桁数の大きい数字をたし算の計算式に変換したら、分配法則の出番です。記事の初めで学んだ「分配法則」をつかって式中の()をはずしてやると、
となります。え？余計に計算過程が増えてしまったですって！？？ た、たしかにその感は否めません。だがしかし、
と答えを導くことができます。14を(10+4)に変形して分配法則で()をはずす。これだけで難しい桁数の大きいかけ算もとけることになります。
この分配法則の活かし方は桁数が増えても同じです。たとえば、
それじゃあ、なぜぼくは分配法則を「橋渡し法則」と呼んでしまったのでしょうか！？ さっきまでの説明に橋なんて1個も登場しませんでしたね。これじゃあ、嘘をついた罪で逮捕されそうです。
先ほどの計算式をよーーく見つめてみてください。
これです。これ。
この数式を長いこと見つめていると、
分配法則により、かけ算が足し算になったり、足し算がかけ算になったりしている、
ということが分かります。
14という数字を(10+4)というたし算の形にしたり、
それでは、また今度です！
Ken
中学数学の最初の単元「正の数・負の数」で2つの計算法則が登場します。
それは、
交換法則 (commutative property)と結合法則(associative property)
です。数学を勉強しはじめた中学生のたちは、
交換？ 結合？？ 法則とかうさんくせえー
なんて不平をもらし、数学を嫌いになってしまうかもしれません。
数学が嫌いになりそうになったので、Wikipediaで結合法則の意味を調べてみると、
数学、殊に代数学における結合法則（けつごうほうそく、英: associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性（けつごうせい、英:associativity）は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式中で演算が一度よりも多く行われるとき、その演算を評価する順番に関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (英: associative) であるといわれる。
と書いてあります。余計に意味不明で泣きそうになりますよね、コレ。
そこで今日は数学を勉強し始めた中学生の方でもよくわかるように、
交換法則と結合法則の使い方
を説明します。交換法則とか結合法則の意味がわからなすぎて泣きそうになっている！？？
そんなときに参考にしてくださると嬉しいです。
まずは最初に「交換法則」の正体を暴いていきます。交換法則とはずばり、
計算式に含まれる項の順序を入れ替えていいよ！
という法則です。したがって、項の数が2つ以上の計算式から「交換法則」を適用できるわけです。たし算（加法）とかけ算（乗法）の2つの場合に適応できることが知られています。
たとえば、
という計算式があったとしましょう。この文字式に交換法則をあてがってやると、
という具合に計算順序をかえてもいいんです。これは加法の場合の交換法則です。教科書では俗に「加法の交換法則」と呼ばれています。
えっ。乗法の交換法則の例もみてみたいですって！？？
そうですね、先ほどの足し算の記号＋を×に直して、
という計算式をつくってやれば、乗法の交換法則の出来上がりです。
計算式の項の順序をいれかえても加法・乗法の計算結果は変わらない
という法則が交換法則です。わかりやすいですよね！？？
それでは、もう一つの計算法則である「結合法則」とはいったい何者なのでしょうか。
先ほどWikipediaでの結合法則の意味を確認してみましたね。ただ、あの定義は難しすぎて数学を猛烈に勉強した人にしかわかりません。
そこで改めてここで「結合法則」を再定義してやると、
3つ以上項がある計算式で、どのペアーから計算しても構わないYO!!
というものです。この「結合法則」は「交換法則」と同様に「たし算とかけ算」の2つの場合に適応することができます。
し、しかも項の数が3つ以上？？ なんだかうさんくさい数学の法則ですね。具体例といっしょに理解を深めてみましょう。
たとえば、
という計算式があったとします。3つも項があるので厄介な計算式です。
ふつうに何も考えずに計算すると、まず
つまり、
ただ、
そこで登場するのが「結合法則」です。結合法則を適応してやると、
この計算をすると、
そして、この20という数値に第一項の9をかけて、
と導くことができます。一見、複雑な計算式をカンタンにできる。これこそが結合法則の武器です。
先ほど紹介したのは「乗法の交換法則」です。かけ算の場合ですね。この結合法則は足し算（加法）の場合にも適応できます。足し算の計算式でも臆せずじゃんじゃん使って行きましょう。
それじゃあ、ここまで勉強した「交換法則」と「結合法則」を抱き合わせるとどんなことが分かるのでしょうか？？
じつは交換法則と結合法則から、
加法・乗法の計算式では、どの項から計算してもいいし、どの項同士をくっつけてもいい
ということが言えます。つまり、自分が計算しやすいように項を自由に動かしていいのです。かつてフランス革命によりフランス国民に自由が与えられたように、「交換法則と結合法則」によって中学生に計算の自由が与えられたわけです。
ただし、ここで1つ注意点があります。
加法と乗法（たし算とかけ算）が混じった計算式では、
カッコ内の計算→乗法→加法
という計算順序があります。十分に注意して取り組みましょう。
最後に実際に「交換法則」と「結合法則」を利用して計算問題をといてみましょう。
見た目がかなりごっつく厳つい顔をしています。交換法則と結合法則を使わなかったら返り討ちをくらいそうな勢いです。
このモンスターを退治するために、さっそくモンスターを倒してみましょう。
どうやらこの式を眺めていると、
という具合に計算順序を入れ替えます。次に、結合法則により、 前後の2つの項のカップルをくっつけ合わせると、
という計算式になります。シンプルになった計算式を根性で計算してみると、
という解が得られます。これは前から順番通りに計算していた頃よりかなり計算過程が楽でしたよね？？ その理由としては端数が消えるように「交換法則」と「結合法則」を使ったからです。
この計算式も見た目がかなりごっついですね。 光の速度でこの問題をとくために、交換法則と結合法則をつかってやりましょう。
まず、交換法則を使って計算の順番を入れ替えます。なぜなら、8134というモンスターを倒す前に
交換法則をつかうと、
という計算式に変化します。結合法則を利用して計算を進ませてやれば、
という答えを抽出できます。ね？カンタンになりましたよね！？
ここまで紹介してきた「交換法則」と「結合法則」はいかがだったでしょうか？！？数学の教科書ではちらりと一瞬しか2つの法則を紹介していません。ただ、例題で分かる通り、
交換法則と結合法則を使えば計算問題がカンタンになります。
まるでその様子はドラえもんのスモールライトのごとく。交換法則と結合法則という2つの道具を難しい計算式にあててやれば、小さくなってしまいます。しかも交換法則と結合法則はドラえもんがいなくても使えちゃいます。 22世紀まで待たなくて済みそうですね。
それでは、また今度です。
Ken
正の数・負の数の基礎をみっちり学びましたか！？？ マイナスという新しい数学の概念。絶対値という想像しにくいアイデア。さらには数直線の使い方などを学習してきました。
これで中学数学の勉強でスタートダッシュを切れたも同然です。バナナにひっかからないように、中学数学の勉強をつづけてテストでいい点数をとってしまいましょう・・・・
ところが、です。
正の数・負の数の山場は「正負の数の計算」です。ここまで丁寧に基礎を固めまくってきましたが、それを使わねば話になりません。いわゆる宝の持ち腐れというやつです。
正の数・負の数の四則演算、つまり、たし算・ひき算・かけ算・わり算をマスターしなければ、中間テストで良い得点をたたき出すことはできません。
そこで今日は、正負の数の四則演算で使える問題解法のコツを、
加法（たし算）・減法（ひき算）・乗法（かけ算）・除法（わり算）
の4つの場合にわけて解説していきます。これから中間テストをむかえる中学生の方や、正の数・負の数の四則演算に苦手意識をもった方なんかが参考にしてくださると嬉しいです。
せっかくなので、加法・減法・乗法・除法の順番に計算のコツを紹介していきます。
正負の数の「加法（たし算）」で使える計算のコツは大きく分けて2つあります。これらのコツは、
正負の数の計算が「同符号」のものか「異符号」のものか分類する
ことがベースになっています。
1つ目の場合は、
同符号の正負の数の計算です。正の数・負の数の計算の中でもっともベーシックなタイプの問題です。
えっ。ちょうよくわからないですって！？ 具体的な正の数と負の数の計算問題を確認してみましょう。たとえば、
正の数＋正の数
負の数＋負の数
という計算があったとします。これは加法を行う項が同じ符号なので「同符号」の正負の計算と呼びましょう。この場合、
絶対値の足し算をしてから符号をつけたす
という計算手段をとります。たとえば、
という計算問題があったとしましょう。これは負の数同士の「同符号」の足し算ですので、「符号は無視して絶対値の足し算」をします。(-2)と(-3)の絶対値の和は5ですので、そのあとに負の符号である-をつけたしてやると、
という計算結果がえられます。これで同符号の正負の数「加法」はマスターしましたね！
それでは、「異符号」の正の数・負の数の足し算はどう計算するのでしょうか？？ 異符号同士の計算といえば、ちょうど次のようなものです。
正の数＋負の数
負の数＋正の数
これは先ほどの「同符号」の場合の計算よりも少々やっかいです。なぜなら、
という3ステップを踏まなければいけないからです。
ちょっとこれではよく分かりませんね？？ 足し算なのに引き算？？ ふざけんなああ！
なんて罵声が聞こえてきそうです。
わかりやすい計算例を出しましょう。たとえば、
という計算問題があったとします。先ほど説明した手順に沿って計算しようとしてみると、
という感じで答えが算出されました。手順を書き出してみるとかなり複雑ですね。 頭がこんがらがってはげてしまいそうです。こんなもやもやとして頭をスッキリさせてくれるのが、
数直線
というアイテムです。数直線を使えば、絶対値がどうとか符号がああーとか関係ありません。ものの3秒で「異符号」の加法問題をとけます。よかったですね！
数直線をつかった解法が気になる方は「【数の大小】数直線を使いこなす3つメリット」という記事を参考にしてみてくださいね。
つづいては正の数・負の数の「減法（ひき算）」の計算問題のコツの紹介です。
減法で使える計算のコツはただ1つ。
それは、
負の符号（マイナス）の後ろの符号が変化する！！
ということです。具体的には以下の2ステップを踏むことになります。
このコツに加えて先ほど紹介した「加法」の計算問題をとくコツを混ぜ合わせてやればもう怖い者なしです。例題をまじえて確認してみましょう。
たとえば、
という正負の数の計算問題があったとしましょう。ここで気をつけたいのは、真ん中の「マイナス記号」の後の（-29）の符号が変化することです。そして、後ろの数の符号を変化させたマイナス記号は＋記号に変化します。
したがって、
という計算結果になるわけですね！なるほどなるほど、後ろの数に符号の変化を与えた「マイナス記号」は効力を失い、＋の符号にもどってしまうという訳ですね。
これで正の数・負の数の減法の計算をマスターしました！
つづいては「かけ算（乗法）」の計算問題のコツです。ここでも先ほど同様に一つしか計算問題のコツがありません。それは、
乗法の中に含まれる「負の数」の数に注意する
ということです。えっ。負の数の数の何に注意すればいいのか分からないですって？！？
じつは、乗法の中の負の数の数が「奇数」なのか「偶数」なのかの2つ場合によって、計算結果の符号が異なるのです。
ということになります。理解を深めるために実際の例題を確認しましょう。たとえば、
という計算問題があったとします。この乗法の計算式の中に含まれる「負の数」を数えてみると、
2つ！！
であることがわかります。
2という数は「偶数」です。
よって、計算結果は「正の数」になりますので、プラスの符号を計算結果につけてやればいいいのです。
すると、
という答えを導くことができます。正の数と負の数が入り交じった乗法の計算式をみかけたら、まっさきに式の中に含まれる「負の数」の数を数えてくださいね。
お次は「除法」、つまり正の数・負の数の「わり算」です。
基本的には先ほど取りあげた「乗法」と同様に、
式に含まれる「負の数」の数をカウントすること
が大事です。それによって計算結果の正負の符号が決定します。ただ、除法をふくむ計算で気をつけなければならないこともあります。それは、
ある数の除法は、その数の逆数の乗法であること
です。つまり、逆数を用いてやれば除法は乗法と同じことなのです。もう小学校のときのように「かけ算はかけ算、わり算はわり算」というように分け隔てる必要はありません。一緒くたに考えることができます。
たとえば次のような正負の数の計算問題があったとしましょう。
ある数の除法はその数の逆数の乗法に等しい、
ということを利用してこの計算式を書き直してみると、
となります。わり算の計算記号が消えてかけ算になりました。これは超らくちんですね！
除法の場合も乗法の計算の符号ルールが適応されます。この計算式に含まれるマイナスの符号は偶数であるため、計算結果は「正の数」ということになります。よって、この計算問題の答えは、
となります。逆数をつかってやれば割り算がいらなくなります。いいですね、これ！
さて、それでは「たし算」「ひき算」「かけ算」「わり算」の4つを混ぜっこにした計算問題はどうすればいいのでしょうか！？？
このまぜまぜになって計算問題を数学の世界では「四則演算」と呼んでいます。なぜなら、「加法・減法・乗法・除法」の4つを合わせて「四則」と呼んでいるからです。ちょっとかっちょいいですね。
じつは、正の数・負の数の計算問題で気をつける「四則演算」の計算のコツは次の1つしかありません。
それは、
乗除を計算してから加減を計算する
というものです。つまり、「かけ算・わり算」を先に計算してから「たし算・ひき算」を計算すればよいのです。たとえば、
という計算式があったとしましょう。先ほどの計算のルールに従い、まずはかけ算である、
すると、
と答えを算出できます。どうです？？シンプルでしょ？？？
ただし一つだけ注意点があります。それは、
()をふくむ四則演算
です。カッコを含む四則演算では【】内の計算を優先させなければなりません。ゆったら、カラオケで割り込みで曲を入れるようなものです。たとえば先ほどの例の式に{}がはさまり、
という計算式を考えてみましょう。すると、{}内を先に計算せねばならないので、
となります。{}がひとつ入るだけで計算結果がぐいぐい違うので注意が必要です！
ここまで紹介した正負の数の計算問題のコツはいかがだったでしょうか？？ どれも基本的な学習事項ですので、しっかり押さえて正の数・負の数のテストに臨みたいですね。
何か質問とか不平がありましたらご連絡ください。お待ちしております。
それでは、また今度です。
Ken
中学1年生の数学で、
自然数
がでてきますね？
教科書の自然数の説明をみてみると、
正の整数1, 2, 3, …..を、自然数ともいいます
と書かれています。
ちょっとしっくりこないのでWikipediaをのぞいてみると、
自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番（これは正確には有限順序数）を表す一群の数のことである。
とあります。
難しすぎて余計に混乱しますね。
そこで、自然数をシンプルに理解するためにこんな記事を書いてみました。
その名も、
自然数に整数0が含まれないの？？
です。
自然数でモヤモヤしている方は読んでみてくださいね。
=もくじ=
まずは自然数とは何か？？
ということをみてみましょう。
中学数学のレベルでは、
0を含まない正の整数
と覚えておけばいいです。
たとえば、
1とか、
2とか、
50とか、
100000とかです。
です。
0やマイナスがつく負の数は自然数じゃないってことを頭に刻んでおきましょう。
理由はともあれ、
自然数に整数0が含まれない
って勉強しましたね。
このことを直感的に覚える方法が1つあります。
それは、
指を使って数えられる数が自然数
と覚える方法です。
何人の人間の指を使ったって構いません。
とにかく、人間の手の指で数えられるかどうか？？です。
もし、数えられたら自然数、
数えられなかったら自然数じゃない、
って覚えておくといいですよ。
ただ、
指で数える数 = 自然数
ではないことに注意。
あくまでも覚え方ですからね！
それでは、整数の0は自然数なのでしょうか？？
さっきの覚え方で試してみると、
ん？
手で数えられない！
数えたいけど、どうしよう・・・
ってなると思います。
もし、テストで、
自然数に0は含まれますか？
ときかれたら、手を広げてみましょう。
もし、指で0を数えられたら自然数、そうじゃないなら自然数ではない、
って覚えておけばいいんです。
せっかくなので、「0」以外の数字で自然数に含まれない数を紹介します。
負の整数は自然数ではありません。
-9や-839や-32といった負の数のことです。
すべての整数が自然数に含まれるという誤解に気をつけましょう。
これも先ほどの覚え方を使えば大丈夫。
マイナスの負の数は指で数えられないですよね？？
指を降り立たんでもバンドエイドを貼っても、負の整数を表現できそうにありません。
小学校で勉強した「分数・小数」は自然数でしょうか？？
答えは、NO!!
自然数ではありません。
ここでも同じように、
指で数えられるか？
ってことを試してみてください。
どうですか？
指ではどう頑張っても分数・小数を表現することができませんよね？
この自然数の覚え方を使えば、うすうす分数や小数が自然数じゃないってことに気づくと思います。
以上で自然数を見分けるコツは終了です。
覚え方は、
指で数えられるかどうか？？
でしたね。
テストで迷ったら手で数えようとしてみてください。
数えられたら自然数、数えられなかったら自然数じゃないはずです。
最後に、つぎの練習問題にチャレンジしてみてください。
練習問題
次の数の中で、自然数はどれですか。3秒で選びなさい
+90, 0.2, -1/4, 5, -0.1, 0, 1556
それでは、また今度です！
Ken
絶対値の意味を理解したけど、問題がイマイチ苦手だ・・・・
絶対値の問題を2秒か3秒ぐらいで解いて女子にモテたい・・・
そんな悩みを抱えていませんか？？
絶対値の問題は必ず中学1年生の最初の中間テストで出題されます。絶対値の数学問題をスラスラとけないと他の問題に時間をさけなくなります。ひとによっては、絶対値の問題で頭をひねりすぎて試験時間いっぱいになってしまうかもしれません。
そんな苦しい状況にはまらないためには、絶対値問題の出題パターンをおさえることが大切です。中間テストでいい点数をとって悠々自適に暮らしましょう！
はい。
今日はそんな流れで、中間テストで使える「絶対値の問題を2秒でとくコツ」について記事をかいてみました。テスト勉強で絶対値の問題に苦手意識を持っている方は参考にしてみてくださいね。
中学数学テストで現れる絶対値の問題は2種類しかありません。
ポケモンの数である719種類と比較すると小さい数であることがわかります。
テスト問題をつくる数学の先生ごとに問題の詳細は異なります。厳しい先生は生徒を泣かすような数学問題を練り上げ、いつもニコニコしている優しい先生は思わず。顔になってしまう問題を出題しますよね。？？
ただ、絶対値の問題の本質を追い求めると、次の2種類の問題が浮かびあがってきます。
つまり、図で表現するとこうなります。
中学数学で出題される絶対値の問題は以上の2つしかないのです。種類が少ないと考えれば、テスト対策も簡単にできますよね。
絶対値の問題をクリアするために、絶対値の問題タイプについて詳しく見ていきましょう！
まずは整数を絶対値になおす問題です。たとえば、-90や-37や+2の絶対値を答えろこらお！といった問題です。ここでの問題解法のコツは、
整数の符号を100％無視する！
ということです。超シンプルですね。
数字の前についてる符号（＋か−）をなかったことにすればいいのです。現実世界で人の存在を無視することはイジメになります。だが、しかし、絶対値の問題ではとことん符号くんを無視しましょう。
「整数を絶対値に変換する問題」の具体例として、以下の2つの問題があげられます。
ひとつめの典型的な絶対値の問題は、「○○の絶対値を教えて？ねえ？」という問題。これはむちゃくちゃシンプルな問題です。筆をにぎる瞬発力があればものの2秒で解法できます。
たとえば次のような絶対値の問題があったとしましょう。
次の数の絶対値をいいなさい。
(a) -9
(b) +16
(c)-0.0008
(d) 3/8
ここでぼくらがすべきことは「数字の符号」を無視すること。これだけです。たとえば、(a)の-9でしたら、
数字の前のマイナスの符号を無視して、答えは「9」ということになります。
もし(d)の問題のように「＋も−も数字についていないパターン」の場合はどうすればいいのでしょうか？？
こういう場合は、問題の数字をそのまま答えてやりましょう！符号がついていない整数は「正の数」ですので、絶対値と実際の整数の値は一致しています。
ちなみに各問題の答えは、
(a) 9
(b) 16
(c)0.0008
(d) 3/8
です。数字の符号を無視するだけ？？ とてもシンプルでしょう！？
お次は、無造作に並べられた数字を「絶対値の大小」によって並べかえる問題です。さきほどの問題より複雑そうにみえます。がしかし、やることは(1)の場合と一緒です。冷静に符号を無視しましょう！
例題としてたとえば、
次の数を、小さい方から順に並べなさい。
また、絶対値の小さい方から順に並べなさい。
-0.0008, 0.3, 98, 0, 24, -80
なんて問題があったとしましょう。まずぼくらがやることは「マイナスの符号を無視すること」です。すると先ほどの問題の数たちは次のようになります。
0.0008, 0.3, 98, 0, 24, 80
です。その次は、これらの数字を小さい順に並べ替えてやるだけ、です。すると答えは次のようになります。（左から小さい数字）
0, 0.0008, 0.3、24, 80, 98
となります。やっていることは結構シンプルですね！
これら2つの絶対値の問題のタイプをおさえておけば大抵の絶対値問題をゼッタイにクリアできます。よかったよかった。
2つ目の問題のタイプは「絶対値から整数になおす」問題です。ある絶対値をもちうる整数を答えろごらあ！という問題です。ここでの問題解法のポイントはただ一つ。それは、
ある絶対値をもつ整数は正・負の2つ存在している（0をのぞく）
ということです。
理解を深めるために以下の例題を覗いてみましょう。
絶対値が7以下の整数をすべていいなさい。
この問題でまずはじめにぼくらがすることは、「絶対値が7である整数」を考えることです。「ある絶対値をもつ整数は正・負の2つ存在している」ということに気をつけると、
絶対値7をもつ整数 = -7と7
ということがわかります。これがわかればこの絶対値の問題がとけたも同然。問題が求めていることは「絶対値が7以下の整数」です。7の場合と同様に6以下のケースを考えてみます。すると、
絶対値6をもつ整数 = -6と6
絶対値5をもつ整数 = -5 と5
絶対値4をもつ整数 = -4と4
絶対値3をもつ整数 = -3と3
絶対値2をもつ整数 = -2と2
絶対値1をもつ整数 = -1と1
絶対値0をもつ整数 = 0
となります。ここで注意が必要なのは最後の「整数0」の場合です。整数ゼロは例外で「正負」の2つの整数が存在していません。絶対値0をもつ整数は0しかないという点に気をつけましょう。
すると、この問題の答えはつぎのようになります。
-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
の合計15個ですね！
中学数学には大きくわけると以上の2種類しかありません！ たった2種類ですよ？？ 割り箸を1つ使えば数えられちゃいます。わ、割り箸ですよ？？ ものすごくシンプルですね。
中間・期末テストで「絶対値の問題」が出題されそうになったら、この数学の記事を読み返してみてください。きっと、いま取り組もうしている問題が上の2種類のどちらかであるはずです。
それでは、また今度です！
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenです。久しぶりに天気が晴れて僕の心も晴れています。
中学数学で最初にぶつかる壁。
それは「負の数」という新しい数学用語です。小学校で学習していた算数には決して登場してこなかった数字の種類。
正の数？ 負の数？？ なんじゃそりゃ？
こんな感じで新しい数学用語に困った顔を浮かべている方もいることでしょう！！
しかしながら、です。
「負の数」は身近な例でたとえると分かりやすくなります。
数学の教科書でイヤイヤ勉強していては、「負の数」を上手に理解できません。中学校の数学の教科書はかなりお固く、具体例に乏しいですからね。中学校で勉強しはじめた数学を嫌いになってしまいそうです。
そこで、今日は思い切って「負の数」に関する記事を書いてみました。「負の数」を100%、イヤ、2000%ぐらい理解できる3つのストーリーを紹介します。
「正の数・負の数」の単元で泣きそうになっている方！よかったら参考にしてみてくださいね。
負の数とはいったい何者なのでしょうか？！？ 数学の教科書にはこのように記載されています。
0より小さい数を負の数といいます。
うん、ものすごく分かりやすい「負の数」の意味ですね。ゼロよりも小さい数字を表現するために「負の数」、つまりマイナスという概念が生まれたのです。ふむふむ・・・・・
だけれどもだけれども！
なんだかしっくりこない。なんだ？ 「ゼロより小さい」数だって？？ わ、。わせるな！
ぜったいにそんな負の数なんて指じゃ数えられないし、目にも見えません。これじゃあ、中学数学で初めて「負の数」を目撃した中学生たちは困惑するはずです。そんなんじゃ、のちの中学校生活の将来が危ぶまれます。残りの3年間、数学嫌いで終わってしまうのでしょうか？？
そんな事態を防ぐため、今日は、
なぜ「負の数」という概念が必要になったのか？？
そんな原点を振り返ることにしましょう。
むかしむかし、あるところにセルシウスという男がいました。1700年代の半ばの話です。彼は、
水が「沸騰して水蒸気になる温度」と「氷になりはじめる温度」を100等分することで、温度をはかる指標を創りだしました。
その新しい温度の指標とは、「セルシウス（℃）」という温度の単位です。ぼくらの日常生活で頻繁に利用されています。たとえば、美しい天気おねえさんが、
今日の気温は39℃となるでしょう。超真夏日ですね！
と叫んだとしましょう。これが意味することはただ暑いということはもちろんのこと、
水が気体になるための温度の40%ぐらいの暑さなんだなあ
ということがわかります。 温度の単位のセルシウス℃の意味をたどればそんなことが分かってしまうのです。
がしかしながら、です。
日本の西部や関東圏ではなく、北海道の温度をはかろうとすると問題が生じます。なぜなら、
北海道の冬の温度は、0℃（水が氷になりはじめる温度）よりも低いから
です。これはセルシウスも予想外のことだったでしょう。0よりも低い温度を表現しなければ、北海道の本当の寒さを理解することができません。青森県と北海道の寒さの違いを教えて？ なんて美女に迫られても即答することはできません。多いにチャンスを逃しています。
そんな由々しき事態に登場するのが「負の数（マイナス）」という数学の概念なのです。0よりも小さい数字。これがあることにより、
北海道と青森県の寒さの違い
を数値で表現することができます。たとえば、負の数、つまりマイナスの表現を使ってやれば、
1月の北海道の最低気温 -7.0℃
1月の青森県の最低気温 -3.9℃
と両者の気温を数値で表現することができます（気温と雨量の関係より）。さらに二つの温度差をも計算することができるので、
-7.0-(-3.9) = -3.1
つまり、二つの都道府県の1月の最低気温の差は「3.1℃」ということになります。
こんな感じで「負の数」という新しい数学の概念が活躍するわけですね！！
2つ目のお話は「借金」です。
毎月500円のお小遣いをもらっている小学生がいたとしましょう。彼は毎月、定価500円のコロコロコミックを買うことを生き甲斐にしています。来月は好きなマンガがどんな展開になるのか？ どんな新しいキャラクターが登場するのか。そんなことを励みにしながら辛抱強く小学校に通っています。
がしかし、です。
ある日、どうしても手にいれたいオモチャが発売されました。それは単なるベーゴマでしたが、手作りをすることは不可能。クラスの友達がみんな持っているし、買わないと仲間はずれにされる。
あろうことか、そのオモチャの定価は1000円。これではコロコロコミックの購入を2ヶ月は控えないといけないことになります。せっかくの楽しい小学校生活が水の泡に。もうお先真っ暗です。
そんなときに登場するのが「負の数」という数学の概念なのです。負の数をつかえば「人にお金を借りること」、つまり「借金」を数字で表現することができます。
先ほどの例でいえば、ベーゴマを買うために1000円の借金を親御さんにしてみる。そうすると、この小学生の財布の中身には、
1000円札
が入ります。しかし、1000円のベーゴマを買ってしまうと財布の中身は0になります。しかもしかも、ほんとうに少年がもっているお金は-1000円ということになります。なぜなら、1000円という前借りしたおこづかいを両親に返済しなければならないからです。
したがって、
この先2ヶ月、コロコロコミックを我慢して、1000円を貯金しないと少年の財布は0円に戻らず、負（マイナス）のお金が入った状態になってしまいます。 これはキツいですね。
まとめると、
人にお金を借りた状態をも「負の数」を使えば表現できる！
ということになります。
最後は恋のお話です。
ある日、好きな人ができたとしましょう。惚れた理由は「一目惚れ」。外見と雰囲気だけで人を好きになってしまいました。彼女をなんとかガールフレンドにしたい。そんな息苦しさを感じたとしましょう。
この彼女と何も接触を持たない状態
が０、です。彼女は自分のことは何も知らないのです。このまま現状を維持していてはいつまで経ってもガールフレンドにすることはできません。
つぎに、彼女に何らかのアプローチをした状態を表せるのが、
正の数
という表現。彼女に勇気を持って話しかけてみる。プレゼントをしてみる。傘を貸してみる、など様々なアプローチをしてみたとしましょう。
彼女のためをおもってした行動は、正の数、つまりプラスの出来事として彼女の脳内に蓄積されています。正の数のイベントを増やしていけばいくほどガールフレンドをものにできる可能性が高まるというわけです。
がしかし、しかしです。
もし、もしも、彼女がいやがる行動をとってしまったらどうなるでしょう？！
そうです。自分に対する評価が下がってしまうのです。お茶を彼女の服にこぼした？ 彼女に借金をした？？ 話がつまらない？？ ギャグがすべった？？？
そんな彼女の評価を下げる行動の「度合い」を表現することができるのが、
負の数
という数学の概念なのです。
先ほどの例をつかってみましょう。もともと彼女の評価ポイントが6あったとします。正の数です。
そこへ、
お茶をこぼした（-3）
借金をする（-4）
話がつまらない（-7）
ギャグがすべる（-90）
というイベントを積み重ねると、
彼女の評価ポイント= -98
という大きな「負の数」になってしまいます。これでは彼女に好かれるどころか嫌われてしまう、という事態に陥ってしまいます。これじゃあいつまで経ってもガールフレンドをゲットすることができません。
そんなモテナイ男の状態を数字で表現することができるのも「負の数」の魅力ですね。
負の数を理解するための3つのストーリーはいかがだったでしょうか！？？
なんだか少々話がずれってしまったような気がしますね。
中学数学で一番はじめに勉強する「正の数・負の数」で挫折しそう・・・・・
なんて悩みを抱えている方がこの記事を読んで、
ああーなんだ！負の数チョー身近じゃないか！hahah
という幸せな気分になってくれたら嬉しいです。
これから中学数学を根気づよく一緒に勉強していきましょう！
それでは、また今度です。
Ken
