【高校数学I】条件の否定とは？『かつ・または』の否定とド・モルガンの法則をわかりやすく解説
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よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。ストリートに、イン
命題や条件を勉強していると、
条件の否定
というものが出てくるよな。
今日はここを掘り下げていくぞ。
条件の「否定」とは？？
条件の否定とは、
その条件が成り立たない場合をすべて表した条件
のことだ。
たとえば、
$$
x>3
$$
という条件を考える。
この条件が成り立たないのは、
$$
x=3
$$
の場合と、
$$
x<3 $$ の場合だ。 つまり、 $$ x\leq3 $$ となる。 したがって、 $$ \boxed{ x>3
\text{ の否定は }
x\leq3
}
$$
である。
否定は「逆っぽい条件」じゃないぞ。「元の条件じゃない場合を全部集めたもの」だ。
数についても同じだ。
条件、
「xは有理数である」
の否定は、
「xは有理数ではない」
である。
実数の範囲で考えているなら、
「xは無理数である」
と言い換えることができる。
つまり、
$$
\boxed{
xは有理数
\text{ の否定は }
xは無理数
}
$$
となる。
「pかつq」の否定はどうなる？
では、
「pかつq」
の否定を考えてみよう。
「pもqも両方成り立つ」
ことの否定は、
少なくともどちらか一方が成り立たない
ということになる。
つまり、
pではない、またはqではない
だ。
したがって、
$$
\boxed{
\overline{p\text{ かつ }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ または }\bar q
}
$$
となる。
「pまたはq」の否定はどうなる？
次に
「pまたはq」
の否定は、
pもqもどちらも成り立たない
ということだ。
つまり、
pではない、かつqではない
になる。
したがって、
$$
\boxed{
\overline{p\text{ または }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ かつ }\bar q
}
$$
となる。
「かつ・または」の否定をまとめよう
ここまでを整理すると、
$$
\boxed{
\overline{p\text{ かつ }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ または }\bar q
}
$$
そして、
$$
\boxed{
\overline{p\text{ または }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ かつ }\bar q
}
$$
となる。
つまり、
否定すると、「かつ」と「または」が入れ替わる
んだ。
これはド・モルガンの法則そのもの
ここで、
どこかで見たことあるな
と思ったかもしれない。
そう。
これは、集合で勉強した、
と同じ考え方なんだ。
集合では、
$$
\overline{P\cap Q}
=
\overline{P}\cup\overline{Q}
$$
そして、
$$
\overline{P\cup Q}
=
\overline{P}\cap\overline{Q}
$$
だった。
条件では、
$$
\boxed{
\overline{p\text{ かつ }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ または }\bar q
}
$$
$$
\boxed{
\overline{p\text{ または }q}
\Leftrightarrow
\bar p\text{ かつ }\bar q
}
$$
となる。
つまり、
集合のド・モルガンの法則と、条件の否定は同じ構造
なんだ。
集合でやったド・モルガンが、今度は条件の世界に出てきたってわけだ。
否定と補集合の違い
ここまで勉強してくると、
否定
と、
補集合
がかなり似て見えてくる。
実際、考え方はよく似ているんだ。
でも、
何に対して使う言葉なのか
が違う。
否定
は、
命題や条件
に対して使う。
たとえば、
$$
p:x>3
$$
という条件があるとする。
この否定は、
$$
\bar p:x\leq3
$$
である。
つまり、
$$
\boxed{
否定=\text{「その条件ではない」}
}
$$
ということだ。
一方、
補集合
は、
集合
に対して使う。
たとえば、全体集合Uの中で、
$$
A=\{x\mid x>3\}
$$
という集合を考える。
このとき、Aの補集合は、
$$
\overline{A}
=
\{x\mid x\leq3\}
$$
となる。
つまり、
$$
\boxed{
補集合=\text{「その集合に入っていない要素の集合」}
}
$$
ということだ。
したがって、
$$
\boxed{
否定
\longrightarrow
命題・条件
}
$$
$$
\boxed{
補集合
\longrightarrow
集合
}
$$
と整理できる。
否定は文をひっくり返す。補集合は集合をひっくり返す。対象が違うんだ。
それじゃあな。
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