こんにちは！この記事をかいているKenだよ。アップルティーはいつ飲んでもうまいね。
中学数学ででてくる球の公式って次の2つあったよね？？
※球の半径をrとした場合
この2つの公式を覚えていないとテストで問題をとけないし、
クラスの人気ものにはなれない。
しかも、がんばって2つとも暗記したとしても・・・・
球の体積と表面積の公式がごっちゃまぜになっちまうかもしれないんだ。
たとえば、
4πrの二乗って数式は覚えてるんだけど・・
これって・・・体積・表面積のどっちだっけ？？
みたいな感じでね。
今日はそんな緊急事態を避けるため、
球の体積と表面積の公式を見分けるポイント
を2つ紹介するよ。
テスト本番で公式を忘れるのが怖いっていうときに参考にしてみて。
球の体積と表面積の公式をごっちゃまぜにしないためポイントはつぎの2つさ。
1つ目のポイントは、
rが何乗されているか？？
ということを確認する方法だ。
つまり、rの乗数をチラ見するってわけ！
rが何乗されているかによって、
次のように「体積」と「表面積」の公式を見分けることができるよ。
つまり、
4/3πrの三乗という公式は「rが三乗されている」から「球の体積の公式」ってこと！
また、
4πrの二乗は「rが二乗されている」から「球の表面積の公式」になるってことだね。
二次元の表面積を計算するときは「rを2回かける」、
三次元の立体の体積を計算するときは「rを3回かける」、
って感じでrをかける回数をおぼえておこう！
球の体積と表面積の公式がごちゃまぜになったときは、
rが何乗されているのか？？
ということを必ず確認してみてね。
2つめのポイントは、
1/3をかけているかどうか
だ。
もし、1/3が混じっている公式ならそいつは「球の体積の公式」ってことになるよ。
とくに理由はないんだけど、
1/3をかけるのは「錐体（先がとんがっている立体）」の体積の公式と同じでしょ？？
たとえば、四角錐の体積の求め方とかね。
だから、錐体の体積の求め方と同じように「1/3」をかけている計算式は「球の体積の公式」だよ
っておぼえておこう！！
これなら表面積の公式とごっちゃにならないはず。
上の2つのポイントを覚えておけば、
球の体積と表面積の公式をごちゃまぜにする
というミスはないはずだ！
本番前にはもう一度公式を確認してみてねー！
そんじゃねー
Ken
なぜ球の体積の公式がつかえるか気になったらみてみて↓
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。豚肉を今日もいためたね。
球の表面積の求め方には公式があるんだ。
球の半径をrとすると、その表面積は、
4πr^2
になるよ。
つまり、
4 × 円周率 × 半径 × 半径
ってわけだね。
たとえば、半径30cm のサッカーボールがあったとしよう。
このボールの皮の面積、つまり表面積は、
4 × π × 30 × 30
= 3600π [cm^2]
になるんだ。公式にいれて計算するだけでいいんだ。
チョー便利な公式じゃない？。
ただ、球の表面積には、
チョー覚えにくい
っていう欠点もある。
4をかけてπをかけて半径を2回かけるなんて覚えるのはむずかしすぎる！ってなるよね。
だって、4とかどっから出てきたのかよくわからないし。
そこで今日は、
球の表面積の求め方の公式を1発でおぼえる方法
をひそかに伝授しよう。公式をおぼえたいときに参考にしてみてね。
球の表面積の求め方の公式である、
4×π×半径の二乗
を一発で暗記してできちゃう語呂を紹介しよう。
このイメージさえ掴んじまえば、テストでも公式を忘れないはず！
球の表面積の公式を暗記するための語呂は、
9匹のヒョウの捕獲に失敗したあるじ
だ。
銃を持っているけど、弾切れでヒョウを捕獲できない「あるじ」を思い浮かべてみて！
えっ。なんでこれが球の表面積の公式になるのかって？！？
じつは、
になっているんだ。
つまり、
9匹（球）のヒョウ（表面積）の捕獲に失敗（4π）したあるじ（rの二乗）
っていう感じで球の表面積の公式が覚えられるってわけ！！
どう？球の表面積をおぼえるなんて簡単でしょ？？。
球の表面積の公式はおぼえられた？？
9匹（球）のヒョウ（表面積）の捕獲に失敗（4π）したあるじ（rの二乗）
という語呂さえおぼえておけば大丈夫。
表面積と体積の公式をごっちゃまぜにすることなんてないはずだよ。
がんばって暗記してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ビニール傘を買っちゃったね。
球の体積の求め方には公式があるんだ。
球の半径をrとすると、体積の求め方は、
$$\frac{4}{3}πr^3$$
になるよ。
つまり、
3分の4 × 円周率 × 半径 × 半径 × 半径
ってことだね。
この公式でどんなボールの体積も計算できちゃうんだ。
たとえば、半径30 [cm]のサッカーボールがあったとしよう。
こいつの体積は「4/3 × π × 半径の三乗」という公式をつかってやると、
$$\frac{4}{3} × π × 30 × 30 × 30= 36000π [cm³]$$
になるね。
これってサッカーボールの中にどれぐらい空気が入っているか？ってことなんだ。
ちょっとすごくない。？
ただ、この公式にも一つだけ欠点がある。
それは、
むちゃくちゃ暗記がむずかしい
ってことさ。
3分の4なんてどっから来た数字かわからないし、半径を何回かけたらいいのかわからない。
これじゃあ球の体積の問題をだされたらやばすぎる・・・・
そこで、今日は、
中学生でもおぼえられる「球の体積の求め方」を解説していくよ。
球の体積の公式を忘れちゃったときに参考にしてみて。
「球の体積の公式」を暗記する方法を伝授しよう。
3分の4 × 円周率 × 半径の三乗
という公式はつぎの語呂を使えばおぼえられちゃうよ。
さんしろう、おいしいパイを持ってある日参上
えっ。
あ、大事だからもう一度繰り返すよ。
さんしろう、おいしいパイを持ってある日参上
なぜこの語呂で「球の体積の公式」おぼえられるのか。
それは、
さんし（3分の4）ろう、美味しいパイ（π）を持ってある（r）日参上（三乗）
になるからさ。
つまり、
という感じで、それぞれの言葉が対応してるってわけ。
だから、
さんしろう、美味しいパイを持ってある日参上
という語呂を覚えてしまえば「球の体積の求め方」の公式も一生忘れないってことさ。
おめでとう！！
中学数学では「球の体積の公式」が使える理由がわからない。
完全に理解するためには「積分」という知識を使わなきゃいけないんだ。
だからこそ、中学生の間は、
さんしろう、美味しいパイを持ってある日参上
という語呂で「球の体積の公式（3分の4 × 円周率 × 半径の三乗）」をおぼえてしまおう。
テスト前にがんばって暗記してみてね。
そんじゃねー
Ken
なぜ球の公式がつかえるのか気になったらみてみて↓
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ライチティーうまいね。
正四角錐の側面積の求め方にも公式があるんだ。
底面の1辺の長さをa、側面の三角形の高さをbとすると、
2ab
で側面積を求めることができるよ。
つまり、
「正方形の1辺」×「側面の三角形の高さ」× 2
を計算すればいいってことだね。
今日はこの公式を使えるようにするために例題をといていこう！
つぎの例題をみてくれ↓↓
例題
底面の正方形の長さが「4cm」、側面の三角形の高さを「6 cm」の正四角錐の側面積を求めなさい。
この手の問題は2ステップでとけちゃうよ。
1つの側面の面積を計算してみよう。
正四角錐の側面は「三角形」だから、
底面×高さ×1/2
で求めることができるね。
例題の側面の三角形の底辺は「4 cm」、高さは「6 cm」 だったはず。
こいつの面積を公式通りに計算してやると、
4×6×1/2
= 12 [cm^2]
になるね！
ステップ1で求めた「1つの側面積」を4倍するよ！
えっ。なんで4倍なのかって？？
それは正四角錐の展開図をみるとわかるよ。
展開図をかいてみると、
同じ三角形が4つあることに気づくでしょ？？
ってことは、1つの側面の面積を4倍してやれば正四角錐の側面積になるわけ！
例題の1つの側面積は「12 cm^2」だったよね？？
ってことは、こいつを4倍した値が正四角錐の側面積ってことだ。
12×4
= 48[m^3]
になるね。
おめでとう！これで正四角錐の側面積を計算できちゃったね！。
正四角錐の側面積の求め方はどうだった？？
公式をつかったら一瞬で計算できちゃう。
だって、
「底面の1辺」と「側面の三角形の高さ」をかけて2倍すればいいんだからね。
公式を使わなくても、正四角錐の展開図をイメージできれば答えらるよ！
テストではミスをしないように気をつけてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。コーヒーは無糖に限るね。
直方体の体積の求め方には公式があるんだ。
直方体のタテの長さをa、ヨコの長さをb、高さをcとしよう。
このとき直方体の体積は、
abc
で計算できちゃうんだ。
つまり、
タテ×ヨコ×高さ
ってことだね。
今日は公式をマスターするために、例題を一緒にといてみよう！
つぎの例題をといてくよ↓↓
例題
ヨコの長さ3cm、タテの長さ6cm、高さを8cmの直方体の体積を求めなさい！
まずは直方体の「ヨコ」と「タテ」の長さをかけてみよう。
「ヨコ」と「タテ」をかけると直方体の底面積が計算できちゃうんだ。
例題でいうと、
タテの長さは「6cm」、ヨコの長さは「3cm」だったね。
こいつらを掛け合わせてやると、
6×3
= 18
になる。
これで直方体の底面積を求めることができたってことさ！
最後に直方体の「高さ」をかけてあげよう。
さっきは直方体の底面積を計算していたよね。これに高さをかけると、直方体の体積になるんだ。
例題の直方体の高さは「8 cm」だったよね？？
こいつを「タテ×ヨコ」にかけてやると、
3×6×8
= 144[cm^3]
になるよ。
これで直方体の体積を計算できたね。
おめでとう。
直方体の体積の求め方はどうだったかな？？
「タテ×ヨコ×高さ」
っていうシンプルな計算だけでいいんだ。
テスト前に復習してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。茶漬けを食べたいね。
立方体の体積の求め方には公式があるんだ。
立方体の1辺の長さをaとすると、その体積は、
aの三乗
で求めることができるよ。
つまり、立方体の体積は、
1辺×1辺×1辺
ってことになる。立方体の1辺の長さを3回かけてやればいいんだ。
これは立方体だから特別というわけじゃなくて、
ただ単に、
底面積×高さ
という立体の体積の求め方通りに計算しているだけなんだよ。
どう？？覚えやすくてむちゃくちゃ便利じゃない？？
今日はこの計算公式をつかって実際に例題をといてみよう！
つぎの例題をみてみて↓↓
例題
1辺の長さが5 [cm]の立方体の体積を求めなさい。
立方体の体積は2ステップで計算できちゃうんだ。
立方体の「1辺」と「1辺」をかけてみよう！
立方体の各辺の長さは同じ。
ってことは、底面積を計算していることになるね。
例題の立方体の1辺の長さは「5cm」だから、
5×5
= 25[cm^2]
になる！
最後に立方体の1辺をかけてあげよう！
えっ。もう飽きたって？？
耐えて！w
これで立方体の体積が計算できちゃうんだから！
なぜ、立方体の体積をもう一度かけるのか？？
それは、さっきのステップで計算した「底面積」に「高さ」をかけることになるからだ。
つまり、立体の体積の求め方の基本の計算をしてるってことだね。
例題をみてみよう。
ステップ1で計算した値にもう一度、立方体の1辺をかけてみると、
5×5×5
= 125[cm^3]
になるね！
おめでとう！！
立方体の体積の公式はとってもシンプル。
1辺×1辺×1辺
だったね。
つまり、立方体の1辺の長さを3回かけちまえばいいんだ。
ホップ・ステップ・ジャンプ、
ジャブ・ジャブ・ストレート、
とほとんど同じさ。
1辺、1辺、1辺
というフレーズを口ずさみながら計算してみてくれ！
そんじゃねー
Ken
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。鉛筆削りが好きだね。
四角柱の体積の求め方の公式って知ってる？？
四角柱の底面積をS、高さをhとしてあげると、
四角柱の体積は、
Sh
で計算できちゃうんだ。
つまり、
底面積×高さ
っていう掛け算だね。なんだかいけそうな気がするっしょ？？。
今日はこの公式をつかって実際に例題をといてみよう！
つぎの例題をときながらみていこう。
例題
つぎの四角柱の体積を求めてね。
まずは四角柱の底面積を求めよう。
四角柱の底面は「四角形」。公式とかをつかって計算してみてね。
例題の四角柱の底面はちょっと普通じゃない四角形だね。
台形でもないし、ひし形でもないし、もちろん正方形でもない。
こういう四角形は、
2つの三角形の面積を求めて足し合わせる
という作戦で計算してみよう！
例の底面は緑の「三角形 (1)」、赤の「三角形 (2)」に分割することができるね。
緑と赤の三角形の面積はそれぞれ、
だから、
この四角柱の底面積はその合計の32[cm^2]になるね。
さっき計算した「底面積」に「高さ」をかけてあげちゃおう。
そうすれば四角柱の体積が求まるはずだ。
例題の四角柱の高さは10[cm]。
これを底面積である32[cm^2]にかけてやると、
32×10
= 320[cm^3]
になるね。
おめでとう！これで四角柱の体積を計算できたね。
四角柱の体積の求め方はどうだった？？
底面の四角形の面積を計算して、それに高さをかけるだけだね。
テストに四角柱の体積がでてきたらバシバシといていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。青い空が好きだね。
正四角錐の体積の求め方には公式があるんだ。
正四角錐って底面が正方形で、先がとんがっている立体のことだったよね。
底面の1辺の長さをa、高さをhとすると、体積はつぎのようにあらわせるよ。
1/3 a²h
つまり、
（底辺の1辺）×（底辺の1辺）×（正四角錐の高さ）÷3
ってことだね。
今日は、この計算公式をどうやって使うのか？？
ということをわかりやすく解説していくよ。
正四角錐の体積は3つのステップで計算できちゃうんだ。
例題をときながらみていこう！
底辺の1辺の長さが6 [cm]、高さが8 [cm]の正四角錐の体積を求めてください。
まずは正四角錐の底面積を求めてみよう。
正四角錐の底面は「正方形」だよね？？ 正方形の面積を「1辺×1辺」という公式をつかって計算してくれ。
例題でいうと、
底面の正方形の1辺は6[cm]だよね。だから、底面積は、
6×6 = 36[cm²]
になる。
さっき計算した底面積に「高さ」をかけてみよう！
例題の正四角錐の高さは8 [cm]だから、
36×8
= 288[cm³]
になるね。
計算ミスに気をつけてね。
底面積に高さもかけたし・・・
と安心してはダメ。
先がとんがっているタイプの「錐体」では、体積を求めるときに必ず「1/3」をかけなきゃいけないんだ。
えっ。なぜ1/3をかけるのかって？？
それは円錐の体積の求め方でも触れたけど、
高校数学でならう「積分」を使わないと説明できないんだ。
だから、中学数学ではとりあえず、
先がとんがっている立体の体積の計算は「底面積×高さ×1/3」になる
って覚えておけば問題ないよ。
だから例題の正四角錐の体積は、
6×6×8×1/3
= 96[cm³]
になるんだ。
おめでとう！これで正四角錐の体積を計算できたね。
正四角錐の体積の公式はどうだった？？
底面積×高さ×1/3
という計算をゆっくりしてみてね。テスト前に復習しておくと心強いかも！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。登山で日焼けしたね。
三角柱の体積の求め方には公式があるんだ。
三角形の底辺の長さをa、底辺からの高さをb、立体の高さがhっていう三角柱を想像してみて。
このとき、
三角柱の体積は、
1/2 abh
で求めることができるんだ。
つまり、
1/2 ×（底面の底辺）×（底辺からの高さ）×（三角柱の高さ）
ってことになるね。
この公式では何も特別なことをやってるわけじゃない。
ただ、
底面積×高さ
という「角柱の体積の公式」を使っているだけなんだ。
今日はこの公式をわかりやすく解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね！
三角柱の体積は2ステップで計算できちゃうんだ。
つぎの例題をときながら求め方を確認していこう。
まずは三角柱の底面積を求めてみよう。
三角柱の底面は「三角形」であるはずだから、
底辺 × 高さ× 1/2
で面積をゲットできるよね？？
例題でいうと、
底辺の長さが「8 cm」、高さが「3 cm」だから、
8×3 × 1/2
= 12 [cm^2]
になるね！
さっき計算した「底面積」に「三角柱の高さ」をかけてみよう！
なぜなら、
底面積×高さ
を計算すると立体の体積を求めることができるからね。
例題でいうと、
Step1で計算した底面積は10[cm^2]、三角柱の高さは10[cm]だから、
三角柱ABCDEFの体積は、
12×10
= 120[cm^3]
になるんだ。
これで三角柱の体積を求めることができたね！
三角柱の体積の求め方はどうだった？？
三角柱の体積の求め方はとってもシンプル。
「底面積×高さ」という計算をしてやるだけだよ。
ゆっくりと慎重に計算すれば大丈夫だから、どんどん三角柱の体積を計算していこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。ピーナッツが食べたい気分だね。
三角柱の表面積を計算するときは公式を使ってみよう。
三角柱のスペックが、
のときを考えてみてね。
この三角柱の表面積は、
ch + e (a+b+c)
という公式で計算できちゃうんだ。
何をやっているかというと、
（底面の三角形の面積）×2 + （側面積）
という表面積の基本計算をしているだけだよ。
えっ。
ちょっとわかりづらいって？？
そうだね。
今日は、三角柱の表面積をわかりやすく解説していくよー！
公式がよくわからんときに参考にしてみて。
表面積は3つのステップで求めることができるんだ。
つぎの例題をときながら解説していくよ。
例題
底面の三角形の辺の長さが8cm、4cm、6cm、
底辺を8cmとしたときの高さを10cmとする。
この三角柱ABCDEFの表面積を求めなさい。
まずは三角柱の底面積を計算しよう！
三角柱の底面積はもちろん「三角形」。
三角形の面積の求め方は「底辺×高さ×1/2」だったよね。ここでもこの公式を使ってみよう。
例題の三角柱は底辺をACとしたとき、高さが 3 [cm]である、ということはわかっているので、
底面積は、
8×3×1/2
= 12[cm^2]
となるね。
つぎは三角柱の側面積を計算してみよう。
三角柱の展開図をみるとわかるのは、
1つの大きな長方形が側面になっているということだ。
この長方形のタテの長さは「三角柱の高さ」。
ヨコの長さは「底面の辺の長さをすべて足し合わせたもの」になっているよね。
長方形の面積の求め方は「タテ×ヨコ」だから、三角柱の側面積の求め方は、
「底面の辺の総和」×「三角柱の高さ」
になるよ。
例題でいうと、
だから、三角柱の側面積は、
(6+4+8)×10
= 180[cm^2]
になるよ。
さあ、いよいよ三角柱の表面積を計算しちゃうよ。
三角柱の展開図をみてみると、
「三角形2つ」と「側面の長方形」でなりたっていることがわかるよね？？
だから、三角柱の表面積を計算するには、
「底面積を2つ」と「側面積」を足せばいいんだ。
例題をみてみよう。
「底面積」は12[cm^2]、「側面積」は180[cm^2]だったよね？？
よって、
三角柱の表面積は、
12×2 + 180
= 204[cm^2]
になるね。
三角柱の表面積は、
底面積×2 + 側面積
で求めることができる！
これさえ覚えておけば、あとは簡単な計算をするだけだね。
三角柱の表面積の宿題がでたらちゃちゃっと瞬殺しちゃおう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。天せいろはうまいね。
立方体の表面積の求め方には公式があるって知ってた？？
立方体の1辺の長さをa [cm]とすると、
表面積は「6aの2乗」で計算することができるんだ。
つまり、
立方体の１辺を2回かけて、それを6倍すればいいってことだね。
今日は、この公式をゆっくり解説していくよ。
求め方がよくわからん！ってときに参考にしてみて。
つぎの2ステップで立方体の表面積は計算できちゃうよ。
例題をときながらみていこう。
例題
1辺の長さが6cmの立方体の表面積をもとめてね。
まずは1つの面の面積を求めてみよう。
立方体はすべての面が「正方形」だったよね？？
だから、一つの面の面積は「1辺×1辺」で求めることができる。
例題でいうと、
立方体の1辺の長さは「6cm」だから、1つの面の面積は、
6×6
= 36 [cm^2]
になる！
Step1で計算した「1つの面の面積」を6倍してみよう。
えっ。なぜ6倍するのかって？？
それは立方体の展開図をかいてみれば一発でわかることなんだ。
立方体の展開図をみてみると、
正方形が6つあるでしょ？？
ってことは、立方体の表面積を計算するときは、
1つの面の面積を6倍してあげればいい！
ってことになるね。
さっきの例題だと、
1つの面の面積は36[cm^2]だったから、そいつを6倍した
216[cm^3]
が表面積になるね。
おめでとう!!
立方体の表面積の求め方は簡単。
1辺×1辺×6
でいいんだ。辺と辺をかけてそいつを6倍するだけ。
テストに立方体の表面積の求め方がでてきたらバンバンといてみよう！！
そんじゃねー
Ken
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。ペプシはダイエット一択だね。
三角錐の高さを求めなさい！
っていう問題はたまに出てくるね。たとえば次のように出題されることがあるよ。
例題
つぎの三角錐ABCDがある。底面を三角形ACDとしたときの高さを求めて！
つまり、
頂点Bから三角形ACDにおろした垂線の長さを求めろ！
ってことだね。
「三角錐の高さ」はつぎの4ステップで計算できるよ。
まずは三角錐の体積を求めてみよう。
どの「底面積」と「高さ」を使っても大丈夫。
例題でいうと、
とすれば三角錐ABCDの体積を求めることができるね。
求め方は「底面積×高さ×1/3」だから、
(6×6×0.5)×6×1/3
= 36 [cm^3]
になるね！
問題で指定されている「底面積」を求めよう！
例題では、
「三角形ACD」を底面とするときの高さ
っていう指定されているよね？？
だから、三角形ACDの面積を計算してやればいいんだ！
AC、AD、CDの長さを三平方の定理をつかって計算してみると、
ぜんぶ「6√2」になるよね。
ってことは、三角形ACDは1辺が6√2の正三角形ってことだ！
こいつの面積を求めてあげよう。
三平方の定理をつかって高さを求めて（3√6）、面積を計算すると、
6√2×3√6×0.5
= 18√3 [cm^2]
になるね！
三角錐の高さ（指定された底面からの）についての方程式をつくってみよう。
つまり、
「三角錐の高さ」を変数と置いた方程式ってことだね。
そいつを解けば、三角錐の高さが求められるってことになる。
例題をみてみよう。
頂点Bから三角形ACDに垂線をおろしたとき、三角形ACDと垂線の交点をHとする。
このとき、三角錐ABCDの高さはBHになるよね。
BHの長さを変数とおいて方程式とたててやると、
（△ACDを底面とした時の体積）＝（△ABCを底面とした時の体積）
1/3 ×18√3 × BH = 36
ってなるよ。
あとはStep3でたてた方程式をといてあげるだけ！
方程式の解き方の基本を思い出しながら慎重にといてみてくれ。
1/2 × 18√3 × BH = 36
っていう方程式を解くと、
BH = 2√3
っていう解がゲットできるね。
これが「底面を△ACDとしたときの三角錐の高さ」だね！
おめでとう。
三角錐の高さの求め方はどうだった？？
「体積」と「底面積」を計算して方程式をつくるだけさ。
慣れれば5分以内に高さをゲットできるようになるはずだ。
テスト前によーく復習しておこう！
そんじゃねー
Ken
