【高校数学I】逆・裏・対偶の違いを日常生活の例でわかりやすく簡単に解説
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よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。カプセル、最高
命題を勉強していると、
- 逆（ぎゃく）
- 裏（うら）
- 対偶（たいぐう）
という3つの言葉が出てくる。
これ、もう雰囲気からして混同しちゃうよな、わかるよ、その気持ち。
逆・裏・対偶の違い
もとの命題を、
$$
p\Rightarrow q
$$
とする。
このとき、
逆は、
$$
\boxed{
q\Rightarrow p
}
$$
裏は、
$$
\boxed{
\bar p\Rightarrow\bar q
}
$$
対偶は、
$$
\boxed{
\bar q\Rightarrow\bar p
}
$$
となる。
つまり、
逆＝順番を入れ替える
裏＝両方を否定する
対偶＝順番を入れ替えて、さらに両方を否定する
ということだ。
逆はひっくり返す。裏は否定する。対偶は両方やる。まずはこれだ。
逆・裏・対偶の違いを日常生活の例で
たとえば、次の命題を考えてみよう。
足が速いならば、モテる。
ここで、
$$
p=\text{足が速い}
$$
$$
q=\text{モテる}
$$
としよう。
すると、もとの命題は、
$$
p\Rightarrow q
$$
である。
今回は、この命題が実際に真かどうかはいったん置いておいて、
この命題から逆・裏・対偶を作ってみよう。
逆（ぎゃく）とは？？
逆は、
pとqの順番を入れ替える
だけだ。
もとの命題、
足が速いならば、モテる。
の逆は、
モテるならば、足が速い。
となる。
式では、
$$
q\Rightarrow p
$$
だ。
でも、モテる理由は、
足が速いことだけとは限らない。
話がおもしろいのかもしれないし、
優しいのかもしれない。もしかしたらどっかの御曹司かもしれない。
だから、
モテるならば、足が速い。
が必ず成り立つとは限らない。
つまり、
もとの命題と逆は別の命題
なんだ。
裏（うら）とは？？
裏は、
pとqをそれぞれ否定する
ものだ。
もとの命題、
足が速いならば、モテる。
に対して、
「足が速い」
を否定すると、
「足が速くない」
になる。
そして、
「モテる」
を否定すると、
「モテない」
になる。
したがって、裏は、
足が速くなければ、モテない。
となる。
式では、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
だ。
でも、足が速くなくても、
モテる人はいくらでもいる。
だから、
足が速くなければ、モテない。
も、必ず成り立つとは限らない。
対偶（たいぐう）とは？？
対偶は、
順番を入れ替えて、さらに両方を否定する
ものだ。
もとの命題、
足が速いならば、モテる。
に対して、
まず順番を入れ替えると、
モテるならば、足が速い。
となる。
さらに両方を否定すると、
モテなければ、足が速くない。
となる。
式では、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
だ。
これが対偶である。
逆・裏・対偶を日常生活の例で整理
同じ「足が速いならばモテる」の例で並べると、こうなる。
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
}
$$
もとの命題：
足が速いならば、モテる。
逆：
$$
\boxed{
q\Rightarrow p
}
$$
モテるならば、足が速い。
裏：
$$
\boxed{
\bar p\Rightarrow\bar q
}
$$
足が速くなければ、モテない。
対偶：
$$
\boxed{
\bar q\Rightarrow\bar p
}
$$
モテなければ、足が速くない。
「足が速い」と「モテる」の位置を交換したら逆。両方否定したら裏。交換して両方否定したら対偶だ。
例題｜逆・裏・対偶を作ってみよう
よし、ここで日常生活から脱却して、数学っぽく考えてみようか。
次の命題を考えよう。
$$
x=2\Rightarrow x^2=4
$$
まず、逆は、
$$
x^2=4\Rightarrow x=2
$$
である。
次に、裏は、
$$
x\neq2\Rightarrow x^2\neq4
$$
である。
そして、対偶は、
$$
x^2\neq4\Rightarrow x\neq2
$$
となる。
逆・裏・対偶の真偽は同じなの？
ここも大事だ。
もとの命題が真だからといって、
逆も真になるとは限らない。
また、
裏も真になるとは限らない。
しかし、
対偶だけは、もとの命題と必ず同じ真偽になる。
つまり、
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
}
$$
と、
$$
\boxed{
\bar q\Rightarrow\bar p
}
$$
は同値である。
つまり、「足が速いならば、モテる。」の命題で考えると、
- 足が速いならば、モテる。
- モテなければ、足が速くない。（対偶）
の真偽は一致するということだな。
まったく、深いいい話だぜ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
逆・裏・対偶の違い
を、日常生活の例を使って確認した。
もとの命題、
$$
p\Rightarrow q
$$
に対して、
逆は、
$$
q\Rightarrow p
$$
裏は、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
対偶は、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
となる。
覚え方は、
$$
\boxed{
逆＝交換
}
$$
$$
\boxed{
裏＝否定
}
$$
$$
\boxed{
対偶＝交換＋否定
}
$$
だ。
ようは、
pとqをどういじったかを見るだけ
なんだ。
逆はひっくり返す。裏は否定する。対偶は両方やる。これでまず迷わなくなるぞ。
それじゃあな。
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