【高校数学I】必要条件と十分条件の違いをわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。公園に、通ってるわ
命題を勉強していると、
必要条件
と、
十分条件
という言葉が出てくる。
これ、かなり混乱しやすいよな。なんせ、2文字しか違わねえし。
ってことで、今回は、
必要条件と十分条件の違い
をわかりやすく確認していこう。
必要条件と十分条件の違い
まず結論からいこう。
命題、
$$
p\Rightarrow q
$$
が真であるとする。
このとき、
$$
p
$$
は、
qであるための十分条件
である。
一方、
$$
q
$$
は、
pであるための必要条件
である。
つまり、
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
}
$$
なら、
$$
\boxed{
pはqの十分条件
}
$$
$$
\boxed{
qはpの必要条件
}
$$
ということだ。
矢印の出発点が十分条件。矢印の行き先が必要条件だ。まずはこれで覚えろ。
十分条件（じゅうぶんじょうけん）とは？？
十分条件とは、
その条件を満たせば、もう結論まで確定する条件
のことだ。
たとえば、
$$
x=1\Rightarrow x^2=1
$$
という命題を考えてみよう。
$$
x=1
$$
なら、
$$
x^2=1
$$
は必ず成り立つ。
つまり、
$$
x=1
$$
という条件だけで、
$$
x^2=1
$$
になるには十分なんだ。
したがって、
$$
\boxed{
x=1はx^2=1であるための十分条件
}
$$
となる。
「十分」ってどういう意味？
日本語の意味から考えるとわかりやすい。
「十分」というのは、
それだけあれば足りる
ということだ。
今回なら、
$$
x=1
$$
だとわかった時点で、
$$
x^2=1
$$
も確定する。
だから、
x=1という情報だけで十分
なんだ。
十分条件は「これさえ満たせばゴールまで行ける条件」だ。
必要条件（ひつようじょうけん）とは？？
今度は必要条件を考えてみよう。
同じ命題、
$$
x=1\Rightarrow x^2=1
$$
について、
$$
x^2=1
$$
は、
$$
x=1
$$
であるための必要条件になる。
なぜなら、
$$
x=1
$$
なら、必ず、
$$
x^2=1
$$
でなければならないからだ。
もし、
$$
x^2\neq1
$$
なら、
$$
x=1
$$
であることは絶対にない。
したがって、
$$
\boxed{
x^2=1はx=1であるための必要条件
}
$$
となる。
「必要」ってどういう意味？
必要条件の「必要」は、
それがないと成立しない
という意味だ。
たとえば、
$$
x=1
$$
であるためには、
$$
x^2=1
$$
であることが必要だ。
でも、
$$
x^2=1
$$
だからといって、
$$
x=1
$$
とは限らない。
なぜなら、
$$
x=-1
$$
でも、
$$
x^2=1
$$
になるからだ。
つまり、
$$
x^2=1
$$
は必要だけど、
それだけではx=1と決めるには足りない
んだ。
必要条件は「絶対いる。でも、それだけじゃ足りないこともある」って条件だ。
集合で考えるともっとわかりやすい
条件、
$$
p
$$
を満たすものの集合を、
$$
P
$$
とする。
条件、
$$
q
$$
を満たすものの集合を、
$$
Q
$$
とする。
命題、
$$
p\Rightarrow q
$$
が真なら、
$$
P\subset Q
$$
となる。
つまり、
pを満たすものは、全部qも満たしている
ということだ。
このとき、
$$
p
$$
は、
qになるには十分
で、
$$
q
$$
は、
pになるには必要
となる。
「バスケ部」と「運動部」で考えてみよう
身近な例で考えてみよう。
条件pを、
バスケ部に入っている
条件qを、
運動部に入っている
とする。
バスケ部に入っているなら、運動部に入っている。
つまり、
$$
p\Rightarrow q
$$
である。
だから、
「バスケ部に入っている」ことは、「運動部に入っている」ための十分条件
になる。
一方、
「運動部に入っている」ことは、「バスケ部に入っている」ための必要条件
になる。
ただし、運動部にはサッカー部やテニス部もある。
だから、
運動部に入っているだけでは、バスケ部とは限らない
んだ。
バスケ部なら運動部。だから「バスケ部」は十分。「運動部」は必要。でも運動部だけじゃバスケ部とは限らん。
それじゃあな。
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