集合を勉強していると、

ド・モルガンの法則

という名前が登場する。

新しい武器の名前じゃねえぞ。こいつは、

今回は、集合で使う法則の一種だ。

まずは意味から確認していこう。

 

ド・モルガンの法則とは？？

集合Aと集合Bについて、ド・モルガンの法則は、

$$
\boxed{
\overline{A\cup B}
=
\overline{A}\cap\overline{B}
}
$$

そして、

$$
\boxed{
\overline{A\cap B}
=
\overline{A}\cup\overline{B}
}
$$

の2つである。

見た目だけだと、

バーを付けたら∪と∩が入れ替わった

ように見えるよな。

実際、そのイメージでかなり合っているぞ。

 

 

ド・モルガンの法則の具体例 1

それじゃあ実際にド・モルガンの法則が適用できるか確かめていくぞ。

まずは1つ目の法則、

$$
\boxed{
\overline{A\cup B}
=
\overline{A}\cap\overline{B}
}
$$

からだ。

全体集合を、

$$
U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}
$$

とする。

そして、

$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$

$$
B=\{3,\ 4\}
$$

としよう。

まず、

$$
A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}
$$

だから、

$$
\overline{A\cup B}=\{5,\ 6\}
$$

となる。

一方、

$$
\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}
$$

$$
\overline{B}=\{1,\ 2,\ 5,\ 6\}
$$

である。

この共通部分は、

$$
\overline{A}\cap\overline{B}
=
\{5,\ 6\}
$$

となる。

したがって、

$$
\overline{A\cup B}
=
\overline{A}\cap\overline{B}
$$

が確かに成り立っている。

 

ド・モルガンの法則の具体例 2

次は2つ目の法則、

$$
\boxed{
\overline{A\cap B}
=
\overline{A}\cup\overline{B}
}
$$

を具体例で確かめてみよう。

同じ集合で、

$$
A\cap B
$$

を求めると、

$$
A\cap B=\{3\}
$$

となる。

したがって、

$$
\overline{A\cap B}
=
\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}
$$

である。

一方、

$$
\overline{A}
=
\{4,\ 5,\ 6\}
$$

$$
\overline{B}
=
\{1,\ 2,\ 5,\ 6\}
$$

だから、その和集合は、

$$
\overline{A}\cup\overline{B}
=
\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}
$$

となる。

こちらも、

$$
\boxed{
\overline{A\cap B}
=
\overline{A}\cup\overline{B}
}
$$

が成り立っている。

 

ド・モルガンの法則をまとめよう

集合A、Bについて、

$$
\boxed{
\overline{A\cup B}
=
\overline{A}\cap\overline{B}
}
$$

$$
\boxed{
\overline{A\cap B}
=
\overline{A}\cup\overline{B}
}
$$

が成り立つ。

覚え方は、

補集合のバーを中に入れると、∪と∩が入れ替わる

だ。

日本語なら、

「AまたはB」の否定
→ Aではない、かつBではない

「AかつB」の否定
→ Aではない、またはBではない

となる。

そもそも「ド・モルガン」ってなんなんだ？

オッケー、ド・モルガンの法則もだいたいわかってきたな。

 

でもさ、ところでさ、

ド・モルガンの法則の

ド・モルガン

ってなんなんだろうな。もうさっきから気になってしょうがねえよ。

実は、

ド・モルガンは人の名前

なんだ。

 

もっと詳しくいうと、

オーガスタス・ド・モルガン

という19世紀の数学者・論理学者の名前なんだな。

英語では、

Augustus De Morgan

と書く。

つまり、

「ド・モルガンの法則」＝「ド・モルガンさんの法則」

ということだ。

 

「ド・」って何？

さらに気になるのが、

ド・モルガンの「ド・」

だ。

英語では、

De Morgan

と書く。

この、

De

は、フランス語などの名前で使われる、

「〜の」「〜出身の」

といった意味をもつ語に由来する。

だから、

De Morgan

という姓そのものが、昔から家系に伝わっていたということだ。

 

イギリス人なのに、なんでフランス語っぽいの？

ド・モルガンはイギリスの数学者だけど、

イギリス人の姓が全部英語由来とは限らない。

イギリスには昔から、

フランス系やノルマン系など、ヨーロッパ大陸由来の姓

がたくさん入っている。

そのため、

De

のようなフランス語系の形が、イギリス人の姓に残っていても不思議ではないんだ。

つまり、

本人がフランス人だから「De」が付いているわけではない

ということだな。

 

ド・モルガンは何をした人？

ド・モルガンは、

論理学

の発展に大きく関わった人物である。

今勉強している、

$$
\overline{A\cup B}
=
\overline{A}\cap\overline{B}
$$

$$
\overline{A\cap B}
=
\overline{A}\cup\overline{B}
$$

という法則も、

「否定すると、またはとかつが入れ替わる」

という論理のルールと深くつながっている。

つまり、集合で出てくるド・モルガンの法則は、

集合だけのテクニックではなく、論理の世界でも使われる基本ルール

なんだ。

 

 

それじゃあな。