【高校数学I】補集合とは？全体集合UとAバーの意味・求め方をわかりやすく解説
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よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。ビルから、脱出だ
集合を勉強していると、
$$
\overline{A}
$$
という、集合Aの上に線が付いた記号が登場する。
これはなんとなくつけてるんじゃねえぞ。
集合Aの「補集合」
を表しているんだ。
補集合（ほしゅうごう）の意味とは？？
補集合とは、
全体集合の中で、集合Aに入っていない要素をすべて集めた集合
のことだ。
たとえば、
$$
U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\}
$$
という集合があるとする。
そして、
$$
A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7\}
$$
としよう。
集合Aには、
$$
1,\ 3,\ 5,\ 7
$$
が入っている。
では、全体集合Uの中で、
Aに入っていない要素
を集めてみよう。
それは、
$$
2,\ 4,\ 6,\ 8
$$
である。
したがって、Aの補集合は、
$$
\boxed{
\overline{A}=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
}
$$
となる。
補集合は「Aじゃないやつ集合」だ。ただし、全体集合Uの中から探すぞ。
全体集合Uの意味とは？？
補集合を考えるときは、まず、
どの範囲の中で集合を考えているのか
を決める必要がある。
その基準になる集合を、
全体集合（ぜんたいしゅうごう）
という。
全体集合は、ふつう、
$$
U
$$
という記号で表す。
たとえば、
1から8までの整数を考える
なら、
$$
U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\}
$$
とできる。
その中で、
奇数の集合
をAとするなら、
$$
A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7\}
$$
となる。
すると補集合は、
Uの中にいるけれどAにはいないもの
なので、
$$
\overline{A}=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$
となるんだ。
Aバーの意味
集合Aの補集合は、
$$
\overline{A}
$$
と表す。
Aの上に線が付いているので、
「Aバー」
と読むことも多い。
つまり、
$$
\overline{A}
$$
とは、
全体集合Uの要素のうち、Aに属さないもの全体
という意味だ。
記号を使って表すと、
$$
\overline{A}
=
\{x\mid x\in U,\ x\notin A\}
$$
となる。
つまり、
Uには入っている
けれど、
Aには入っていない
という2つの条件を満たす要素を集めればいい。
Aバーを見たら、「Uの中からAを抜いた残り」と考えると早いぞ。
実際に補集合の問題を解いてみよう
全体集合を、
$$
U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}
$$とする。
そして、
$$
A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12\}
$$としよう。この時、Aの補集合を求めて。
Aは、12以下の正の偶数を集めた集合だ。
Aの補集合は、Uの中でAに入っていない要素だから、
$$
1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{
\overline{A}
=
\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11\}
}
$$
である。
補集合の問題では、
Uの要素を全部確認して、Aにないものだけ拾う
と考えればいいぞ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、補集合と全体集合について確認した。
補集合を求めるときのポイントは、
必ず最初に全体集合Uを確認すること
だ。
ようは、
Aバーは「Uの中にいる、Aじゃないやつ全部」
ってことだな。
まずUを決める。その中からAを抜く。残ったやつらがAバーだ。
それじゃあな。
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