【高校数学I】空集合とは？∅の意味とすべての集合の部分集合になる理由
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。インド、だったな
集合を勉強していると、
$$
\varnothing
$$
という、ちょっと変わった記号が出てくる。
これは、串田団子、じゃねえぞ。
空集合（くうしゅうごう）
を表す記号だ。
空集合の意味とは？？
空集合とは、
要素を1つももたない集合
のことだ。
たとえば、
$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$
$$
B=\{4,\ 5,\ 6\}
$$
という2つの集合を考えてみよう。
AとBの両方に入っている要素を探してみる。
でも、
$$
1,\ 2,\ 3
$$
はBには入っていないし、
$$
4,\ 5,\ 6
$$
はAには入っていない。
つまり、AとBには、
共通する要素が1つもない
んだ。
したがって、共通部分、
$$
A\cap B
$$
は、要素を1つももたない集合になる。
このような集合を、
空集合
という。
空集合は∅で表す
空集合は、
$$
\varnothing
$$
という記号で表す。
したがって、先ほどの例なら、
$$
A\cap B=\varnothing
$$
となる。
つまり、
$$
\boxed{
\varnothing=\text{要素を1つももたない集合}
}
$$
ということだ。
集合なのに中身はゼロ人。それが空集合だ。
空集合は「0」とは違う
ここで注意したい。
$$
\varnothing
$$
と、
$$
0
$$
は同じものではない。
$$
0
$$
は、
数
である。
一方、
$$
\varnothing
$$
は、
要素を1つももたない集合
である。
つまり、
$$
0
$$
と、
$$
\varnothing
$$
はまったく別物だ。
たとえば、
$$
A=\{0\}
$$
という集合を考える。
この集合Aには、
$$
0
$$
という要素が1つ入っている。
したがって、Aの要素の個数は、
$$
1
$$
個だ。
一方、
$$
\varnothing
$$
には要素が1つもない。
要素の個数は、
$$
0
$$
個である。
∅と{∅}も違う
さらに注意したいのが、
$$
\varnothing
$$
と、
$$
\{\varnothing\}
$$
の違いだ。
$$
\varnothing
$$
は、
要素が0個の集合
である。
一方、
$$
\{\varnothing\}
$$
は、
空集合そのものを1つの要素としてもつ集合
である。
したがって、
$$
\varnothing
$$
の要素の個数は、
$$
0
$$
個。
$$
\{\varnothing\}
$$
の要素の個数は、
$$
1
$$
個となる。
つまり、
$$
\boxed{
\varnothing\neq\{\varnothing\}
}
$$
なんだ。
∅は空っぽの箱。{∅}は「空っぽの箱」が1個入った箱だ。別物だぞ。
空集合は部分集合になる
ここからが今回の少し不思議なところだ。
空集合、
$$
\varnothing
$$
は、
どんな集合の部分集合にもなる。
つまり、どんな集合Aについても、
$$
\boxed{
\varnothing\subset A
}
$$
が成り立つ。
たとえば、
$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$
なら、
$$
\varnothing\subset A
$$
である。
でも、
空集合には何も入っていないのに、なぜ部分集合になるの？
と思うかもしれない。
なぜ空集合はすべての集合の部分集合なの？
部分集合の意味を思い出してみよう。
集合Aが集合Bの部分集合であるとは、
Aのすべての要素がBにも入っている
ということだった。
つまり、
$$
A\subset B
$$
であるためには、
Aの中に、Bに入っていない要素が1つもない
ことが必要なんだ。
では、空集合はどうだろう。
空集合には、
そもそも要素が1つもない。
ということは、
「Bに入っていない空集合の要素」も1つも存在しない
ということになる。
だから、部分集合の条件に反する要素が存在しない。
したがって、
$$
\varnothing\subset B
$$
が必ず成り立つんだ。
「Bに入ってないメンバーがいるか？」って聞かれても、そもそもメンバーが0人。だから問題なしってわけだ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、空集合について確認した。
空集合とは、
要素を1つももたない集合
のことで、
$$
\varnothing
$$
と表す。
たとえば、2つの集合に共通する要素がないなら、
$$
A\cap B=\varnothing
$$
となる。
そして、空集合は、
すべての集合の部分集合
である。
つまり、どんな集合Aについても、
$$
\varnothing\subset A
$$
が成り立つ。
これは、空集合にはそもそも要素がないため、
Aに入っていない空集合の要素も存在しない
からだ。
ようは、
空集合は「中身ゼロの集合」だけど、ちゃんと集合として扱う
ってことだな。
空っぽでも立派な集合だ。そして誰の部分集合にもなれる。なかなか自由なやつだな。
それじゃあな。
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