集合を勉強していると、

$$
\cap
$$

や、

$$
\cup
$$

という記号が登場する。

見た目が似ているので、

「どっちが共通部分で、どっちが和集合だっけ？」

となりやすいところだ。

今回は、

共通部分と和集合の違い

そして、

$$
\cap
$$

と、

$$
\cup
$$

の意味を確認していこう。

 

共通部分と和集合の違い

まず、結論から確認しておこう。

共通部分（きょうつうぶぶん）とは、

2つの集合の両方に入っている要素を集めた集合

のことだ。

一方、

和集合（わしゅうごう）とは、

2つの集合の少なくとも一方に入っている要素を集めた集合

のことだ。

つまり、

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
共通部分 & 両方に入っている\\
和集合 & どちらか一方でも入っている
\end{array}
}
$$

と考えればいい。

 

共通部分とは？？

たとえば、次の2つの集合を考えてみよう。

$$
A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$

$$
B=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$

まず、

AにもBにも入っている要素

を探してみよう。

集合Aには、

$$
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5
$$

が入っている。

集合Bには、

$$
2,\ 4,\ 6,\ 8
$$

が入っている。

両方に入っているのは、

$$
2
$$

と、

$$
4
$$

だ。

したがって、AとBの共通部分は、

$$
\{2,\ 4\}
$$

となる。

AとBの共通部分は、

$$
A\cap B
$$

と表す。

したがって、今回なら、

$$
\boxed{
A\cap B=\{2,\ 4\}
}
$$

となる。

$$
\cap
$$

は、

「AとBの両方に入っているところ」

を表しているんだ。

ベン図で考えるなら、2つの円が重なっている部分だけを見るイメージだ。

 

 

和集合とは？？

次に、和集合を考えてみよう。

同じく、

$$
A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$

$$
B=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$

とする。

和集合では、

AまたはBの少なくとも一方に入っている要素

をすべて集める。

Aに入っている、

$$
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5
$$

に加えて、

Bにしかない、

$$
6,\ 8
$$

も入れる。

したがって、

$$
\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8\}
$$

となる。

AとBの和集合は、

$$
A\cup B
$$

と表す。

したがって、

$$
\boxed{
A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8\}
}
$$

となる。

ベン図なら、

Aの円とBの円を合わせた全体

が和集合だ。

重なっている部分も、もちろん含まれる。

 

 

∩と∪の記号の違いを覚えるコツ

がしかし、だ。

$\cap$と$\cup$は向きが逆なだけで似てる！

混乱しやすい！

そこでお前たちにとっておきの覚えるコツを伝授してやろう。

 

まず$\cap$は共通集合の記号だったな。

つまり、ベン図で言うと、2つの集合が重なり合った部分だ。

当然、2つの集合が重なり合うともっこりするよな？？

 

 

だから、上向きにもっこりした

$$\cap$$

を使うんだな。

 

一方、和集合はどうだろう？？

和集合は打って変わって、

このもっこりを削ぎ落とした部分だ。

集合の共通部分だろうが関係ない。このもっこりを削ぎ落とした合計の集合だから、もっこりは0。

つまり、上向きにもっこりせず、下向きにもっこり、

$$\cup$$

を使うんだな。

 

 

それじゃあな。