高校数学では、

集合

という考え方が登場する。

いきなり、

$$
\in
$$

とか、

$$
\notin
$$

みたいな見慣れない記号が出てきて、ちょっと身構えるかもしれないな。

えっ、こんなの顔文字でしか使ったことないだって？ (∈▽∈)

でも安心しな、集合そのものの考え方はかなりシンプルだ。

 

 

集合（しゅうごう）とは何者？？

集合とは、

ある条件に当てはまるものを集めたもの

のことだ。

たとえば、

5以下の自然数

を集めると、

$$
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5
$$

となる。

これらを1つの集まりとして考えれば、

$$
\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$

という集合になる。

つまり、

$$
\boxed{
集合=\text{条件に当てはまるものの集まり}
}
$$

ということだ。

 

集合は大文字で表す

集合には名前を付けることができる。

ふつう、

$$
A,\ B,\ C
$$

などの大文字を使って表す。

たとえば、

$$
A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$

と書けば、

Aという集合には、1・2・3・4・5が入っている

という意味になる。

つまり、

$$
A
$$

は集合全体の名前だ。

 

要素（ようそ）とは？？

集合の中に入っている1つ1つのものを、

要素

という。

たとえば、

$$
A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$

なら、

$$
2
$$

も、

$$
4
$$

も、

$$
6
$$

も、

$$
8
$$

も、すべて集合Aの要素である。

つまり、

$$
\boxed{
集合の中に入っている1つ1つのもの=\text{要素}
}
$$

なんだ。

 

 

記号「∈」の意味

集合を学ぶと、こんな記号が出てくる。

$$
\in
$$

これは、

「〜は集合の要素である」

という意味だ。

たとえば、

$$
A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$

としよう。

このとき、

$$
4
$$

は集合Aの中に入っている。

だから、

$$
4\in A
$$

と書く。

これは、

4は集合Aの要素である

という意味だ。

同じように、

$$
2\in A
$$

$$
6\in A
$$

$$
8\in A
$$

も成り立つ。

 

記号「∉」の意味

では、

$$
\notin
$$

は何を意味するのだろう。

これは、

「〜は集合の要素ではない」

という意味だ。

たとえば、

$$
A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\}
$$

について、

$$
5
$$

は集合Aの中に入っていない。

したがって、

$$
5\notin A
$$

と書く。

これは、

5は集合Aの要素ではない

という意味だ。

つまり、

$$
\boxed{
a\notin A
\quad\rightarrow\quad
aはAに入っていない
}
$$

と考えればいい。

 

 

身近な例で考える「集合」と「要素」

えっ、まだ「集合」と「要素」がピンときてないだって？？

そうだな、

たとえば、

あるクラスの男子全員

を考えてみよう。

この「クラスの男子全員」という集まりは、1つの集合として考えることができる。

たとえば、この集合を、

$$
U
$$

とすると、

$$
U=\{\text{クラスの男子全員}\}
$$

と考えられる。

 

 

バスケ部の男子だけを集めても集合になる

では、そのクラスの男子の中から、

バスケ部に入っている男子

だけを集めてみよう。

これも、

「バスケ部に入っている」という条件を満たす人の集まり

なので、集合になる。

この集合を、

$$
A
$$

とすると、

$$
A=\{\text{クラスの男子のうち、バスケ部に入っている人}\}
$$

と表せる。

つまり、

集合Uの中から、さらに条件を付けて一部の人を集めたものが集合A

ということだ。

 

集合の中の1人1人が「要素」

では、集合Aに、

• 田中くん
• 佐藤くん
• 鈴木くん

の3人が入っているとしよう。

すると、

$$
A=\{\text{田中くん、佐藤くん、鈴木くん}\}
$$

と考えられる。

このとき、

• 田中くん
• 佐藤くん
• 鈴木くん

の1人1人を、集合Aの、

要素

という。

つまり、

$$
\boxed{
集合=\text{グループ全体}
}
$$

$$
\boxed{
要素=\text{そのグループに入っている1つ1つのもの}
}
$$

ということだ。

 

 

集合になるには条件がはっきりしていることが大切

数学で集合として扱うには、

その人が集合に入るのか、入らないのかをはっきり判断できる

ことが大切だ。

たとえば、

「バスケ部に入っている男子」

なら、その人がバスケ部員かどうかを確認すればよい。

だから集合として扱える。

 

同じように、

身長170cm以上の男子

出席番号が10番以下の男子

メガネをかけている男子

なども、条件がはっきりしているので集合として考えられる。

一方、

「なんとなくカッコいい男子」

のような集まりは、人によって判断が変わってしまう。

そのため、数学では集合として扱いにくいんだ。ここ要注意な。

 

まとめ：集合と要素の違い

よし、以上だ。

最後に「集合と要素の違い」をおさらいしておこう。

ズバリ、

$$
\boxed{
集合=\text{ものの集まり}
}
$$

$$
\boxed{
要素=\text{その集合に入っている1つ1つのもの}
}
$$

だ。

 

バスケ部に入っている男子の集まり

が集合だったら、そのメンバー、

田中くん、佐藤くん、鈴木くん

が要素だ。

 

 

それじゃあな。