【高校数学I】二次関数の最大値・最小値から定数を求める方法
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。ラーメンは、1日2杯までな
二次関数の問題では、関数の式に、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
などの未知の定数が含まれていることがある。
たとえば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+c
$$について、定義域が、
$$
1\leqq x\leqq5
$$であり、最大値が、
$$
4
$$であるとする。
このとき、定数、
$$
c
$$の値を求めて。
二次関数の最大値・最小値から定数を求める方法
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
平方完成する
まず、
$$
y=x^2-6x+c
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+c
$$
となる。
よって、
$$
y=(x-3)^2+c-9
$$
である。
頂点と軸を確認する
$$
y=(x-3)^2+c-9
$$
より、放物線の軸は、
$$
x=3
$$
である。
頂点は、
$$
(3,\ c-9)
$$
となる。
また、2乗の前の係数は正なので、放物線は上に開く。
定義域は、
$$
1\leqq x\leqq5
$$
であり、
$$
x=3
$$
は定義域内にある。
したがって、頂点で最小値をとる。
最大値は、定義域の端点でとる。
左右の端点を調べる
まず、左端、
$$
x=1
$$
での値を求める。
$$
y=(1-3)^2+c-9
$$
$$
=4+c-9
$$
$$
=c-5
$$
となる。
次に、右端、
$$
x=5
$$
での値を求める。
$$
y=(5-3)^2+c-9
$$
$$
=4+c-9
$$
$$
=c-5
$$
となる。
この定義域は軸、
$$
x=3
$$
を中心として左右対称なので、両端で同じ値をとる。
したがって、この関数の最大値は、
$$
c-5
$$
である。
最大値が4という条件を使う
問題より、最大値は、
$$
4
$$
である。
したがって、
$$
c-5=4
$$
という方程式ができる。
両辺に5を加えると、
$$
c=9
$$
となる。
よって、求める定数は、
$$
\boxed{c=9}
$$
である。
最大値が4だからといって、すぐy=4とするだけでは足りない。まず最大値をとる場所が、左右の端点だと判断するんだ。
最小値を求める
$$
c=9
$$
なので、関数は、
$$
y=(x-3)^2+9-9
$$
となる。
したがって、
$$
y=(x-3)^2
$$
である。
頂点は、
$$
(3,\ 0)
$$
なので、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
0
$$
をとる。
よって、答えは、
$$
\boxed{c=9}
$$
$$
\boxed{x=3のとき最小値0}
$$
である。
まとめ
オッケー、以上だ。
ここまでの問題を解く手順を整理しよう。
- 二次関数を平方完成する
- 軸と頂点を求める
- 頂点が定義域内にあるか確認する
- 最大値・最小値をとるxを判断する
- そのxを関数へ代入する
- 与えられた最大値・最小値と等しい式を作る
- 方程式を解いて定数を求める
まず、二次関数を平方完成して、
$$
y=a(x-p)^2+q
$$
の形にする。
これにより、軸、
$$
x=p
$$
と、頂点、
$$
(p,\ q)
$$
がわかる。
次に、定義域との位置関係から、最大値・最小値をとる、
$$
x
$$
を判断するっていう流れだったな。
基本から飛び出しそうな問題だが、やることは基本問題と同じだ。
最大値・最小値から定数を求めるときは、平方完成、軸、定義域、端点の順に確認する。条件を使う場所を決めてから方程式を作ろう。
それじゃあな。
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