【高校数学 I】角の二等分線の長さを三角形の面積から求める方法｜sinの公式を使って解説
妖練習 中学数学 平方根 スーパー計算ドリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。キャベツ、最高
三角形の内角の二等分線とは、
1つの角を同じ大きさの2つの角に分ける線
だったよな？
三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると、
$$
\angle BAD=\angle DAC
$$
が成り立つ。
問題によっては、この角の二等分線$AD$の長さを求めることがあるんだ。
たとえば、次のような問題だな。
三角形ABCにおいて、
$$
AB=9
$$$$
AC=3
$$$$
\angle BAC=60^\circ
$$とする。
角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分
$$
AD
$$の長さを求めてみよう。
今日は、角の二等分線の長さを三角形の面積から求める方法をわかりやすく解説するぞ。
角の二等分線の長さを三角形の面積から求める方法
この手の問題を解く流れは、次のようになるな。
- 三角形ABC全体の面積を求める
- 角の二等分線の長さをAD=xと置く
- 三角形ABDの面積をxで表す
- 三角形ACDの面積をxで表す
- 全体の面積が2つの面積の和になることを使う
- 方程式を解いてxを求める
よし、じゃあさっきの例題を一緒に解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
AB=9
$$$$
AC=3
$$$$
\angle BAC=60^\circ
$$とする。
角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分
$$
AD
$$の長さを求めてみよう。
1. 三角形ABC全体の面積を求める
まず、三角形ABC全体の面積を求める。
三角形ABCでは、
$$
AB=9
$$
$$
AC=3
$$
であり、その間の角は、
$$
\angle BAC=60^\circ
$$
である。
したがって、sinを使った三角形の面積公式より、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot AC
\cdot\sin\angle BAC
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot3
\cdot\sin60^\circ
$$
である。
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot3
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{27\sqrt{3}}{4}
$$
である。
まずは分ける前の三角形全体の面積を求める。辺9と辺3、その間の角60°を使えばいいぞ。
2. 角の二等分線ADをxと置く
求めたい角の二等分線の長さを、
$$
x
$$
と置く。
つまり、
$$
AD=x
$$
とする。
これにより、三角形ABDと三角形ACDの面積を、
$$
x
$$
を使って表すことができる。
3. 三角形ABDの面積を求める
まずは三角形ABDの面積を求めるぞ。
三角形ABDでは、
$$
AB=9
$$
$$
AD=x
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
\angle BAD=30^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot AD
\cdot\sin\angle BAD
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot x
\cdot\sin30^\circ
$$
である。
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot9
\cdot x
\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{9}{4}x
$$
である。
4. 三角形ACDの面積を求める
次に、三角形ACDの面積を求める。
三角形ACDでは、
$$
AC=3
$$
$$
AD=x
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
\angle DAC=30^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AC
\cdot AD
\cdot\sin\angle DAC
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot x
\cdot\sin30^\circ
$$
である。
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot x
\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{3}{4}x
$$
である。
2つの小さい三角形には、どちらにも辺AD=xが入っている。角もどちらも30°だから、それぞれの面積をxで表せるんだ。
5. 面積の和から方程式を作る
三角形ABCは、三角形ABDと三角形ACDを合わせたものである。
したがって、
$$
\triangle ABCの面積
=
\triangle ABDの面積
+
\triangle ACDの面積
$$
が成り立つ。
それぞれの面積は、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{27\sqrt{3}}{4}
$$
$$
\triangle ABDの面積
=
\frac{9}{4}x
$$
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{3}{4}x
$$
であった。
これらを代入すると、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
\frac{9}{4}x
+
\frac{3}{4}x
$$
となる。
右辺をまとめると、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
\frac{12}{4}x
$$
である。
したがって、
$$
\frac{27\sqrt{3}}{4}
=
3x
$$
となる。
両辺を3で割ると、
$$
x
=
\frac{27\sqrt{3}}{12}
$$
である。
分子と分母を3で割ると、
$$
x=\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
ここで、
$$
AD=x
$$
と置いていたので、
$$
AD=\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
である。
したがって、求める角の二等分線の長さは、
$$
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
と、まあこんな感じだ。よかったな、角の二等分線の長さ求める問題もこわくねえな。
それじゃあな。
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