【高校数学I】円に内接する四角形の面積の求め方｜余弦定理とsinを使って計算する方法
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。WiFi、キャッチだぜ
高校数学Iでは、円に内接する四角形の面積を求める問題が出てくるよな。
例えば、次の問題だ。
円に内接する四角形ABCDがある。
$$
AB=3
$$$$
BC=5
$$$$
AD=5
$$$$
\angle ABC=120^\circ
$$のとき、次のものを求めてみよう。
- 対角線ACの長さ
- 辺CDの長さ
- 四角形ABCDの面積S
四角形をそのまま計算する？？ そりゃ、難しそうだよな。
そこで使うのが、
対角線で2つの三角形に分ける
という考え方だ。
分けた後、
- 余弦定理
- 円に内接する四角形の性質
- sinを使った三角形の面積公式
を順番に使っていけばいいんだな。
円に内接する四角形の面積の求め方
円に内接する四角形の面積を求める今回の問題では、次の流れで進めるぞ。
- 余弦定理で対角線ACを求める
- 向かい合う角の和から角ADCを求める
- 余弦定理で辺CDを求める
- 2つの三角形の面積をsinで求める
- 2つの面積を足す
まず対角線を求めることで、2つの三角形をつなぐ共通の辺がわかる。
そのあと、円に内接する四角形の性質を利用して、反対側の三角形を解いていくんだ。
じゃ、さっきの例題を一緒に解いてみようか。
円に内接する四角形ABCDがある。
$$
AB=3
$$$$
BC=5
$$$$
AD=5
$$$$
\angle ABC=120^\circ
$$のとき、次のものを求めてみよう。
- 対角線ACの長さ
- 辺CDの長さ
- 四角形ABCDの面積S
1. 余弦定理で対角線ACを求める
三角形ABCでは、
$$
AB=3
$$
$$
BC=5
$$
$$
\angle ABC=120^\circ
$$
がわかっている。
つまり、2辺とその間の角がわかっている。
したがって、余弦定理を使うことができる。
余弦定理より、
$$
AC^2
=
AB^2+BC^2
–
2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC
$$
である。
値を代入すると、
$$
AC^2
=
3^2+5^2
–
2\cdot3\cdot5\cos120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\cos120^\circ=-\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
AC^2
=
9+25
–
30\left(-\frac{1}{2}\right)
$$
である。
計算すると、
$$
AC^2
=
34+15
$$
$$
AC^2=49
$$
となる。
したがって、
$$
AC=\pm7
$$
となるが、線分の長さは正なので、
$$
AC=7
$$
である。
まずは三角形ABCだけを見る。2辺とその間の角がわかっているので、余弦定理で対角線ACが7と求められるぞ。
2. 円に内接する四角形の性質で角ADCを求める
次に、
$$
\angle ADC
$$
を求める。
四角形ABCDは円に内接している。
したがって、向かい合う角の和は、
$$
180^\circ
$$
だよな？？
つまり、
$$
\angle ABC+\angle ADC=180^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\angle ABC=120^\circ
$$
なので、
$$
120^\circ+\angle ADC=180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\angle ADC
=
180^\circ-120^\circ
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
となる。
これで、三角形ACDについて、
$$
AC=7
$$
$$
AD=5
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
がわかった。
3. 余弦定理で辺CDを求める
辺CDの長さを、
$$
x
$$
とする。
つまり、
$$
CD=x
$$
である。
三角形ACDに余弦定理を使う。
角Dに向かい合う辺は、
$$
AC
$$
である。
したがって、
$$
AC^2
=
AD^2+CD^2
–
2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC
$$
となる。
ここに、
$$
AC=7
$$
$$
AD=5
$$
$$
CD=x
$$
$$
\angle ADC=60^\circ
$$
を代入する。
$$
7^2
=
5^2+x^2
–
2\cdot5\cdot x\cos60^\circ
$$
ここで、
$$
\cos60^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
49
=
25+x^2
–
10x\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
49=25+x^2-5x
$$
である。
すべての項を一方に移すと、
$$
x^2-5x-24=0
$$
となる。
左辺を因数分解すると、
$$
(x-8)(x+3)=0
$$
である。
したがって、
$$
x=8
$$
または、
$$
x=-3
$$
となる。
しかし、辺の長さは正なので、
$$
x=8
$$
を選ぶ。
よって、
$$
CD=8
$$
である。
余弦定理から二次方程式ができることもある。解が2つ出ても、辺の長さは正なので負の解は使わないぞ。
4. 三角形ABCの面積を求める
これで、四角形を構成する2つの三角形の面積を求められるな。
まず、
$$
\triangle ABC
$$
の面積を求めよう。
辺ABと辺BC、その間の角ABCがわかっている。
三角形の面積公式より、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AB
\cdot BC
\cdot\sin\angle ABC
$$
である。
値を代入すると、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot5
\cdot\sin120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin120^\circ=\sin60^\circ
$$
であり、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
したがって、
$$
\triangle ABCの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot5
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
5. 三角形ACDの面積を求める
次に、
$$
\triangle ACD
$$
の面積を求める。
辺ADと辺CD、その間の角ADCがわかっている。
したがって、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot AD
\cdot CD
\cdot\sin\angle ADC
$$
である。
値を代入すると、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot8
\cdot\sin60^\circ
$$
となる。
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle ACDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot8
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=10\sqrt{3}
$$
となる。
6. 2つの面積を足す
四角形ABCDの面積を、
$$
S
$$
とする。
対角線ACによって、
$$
\triangle ABC
$$
と、
$$
\triangle ACD
$$
に分けたので、
$$
S
=
\triangle ABCの面積
+
\triangle ACDの面積
$$
である。
したがって、
$$
S
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
+
10\sqrt{3}
$$
となる。
$$
10\sqrt{3}
$$
を分母4の分数で表すと、
$$
10\sqrt{3}
=
\frac{40\sqrt{3}}{4}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{15\sqrt{3}}{4}
+
\frac{40\sqrt{3}}{4}
$$
$$
S
=
\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
よって、四角形ABCDの面積は、
$$
\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
である。
最後は、2つの三角形の面積を足すだけだ。四角形ABCDの面積は55√3/4になるぞ。
答えをまとめる
以上より、
$$
AC=7
$$
$$
CD=8
$$
である。
また、四角形ABCDの面積は、
$$
S=\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
したがって、答えは、
$$
AC=7,\quad CD=8,\quad
S=\frac{55\sqrt{3}}{4}
$$
だな。
まとめ
おし、以上だ。
今回は、円に内接する四角形の面積を、余弦定理とsinを使って求める方法を確認したきたな。
対角線を引いて四角形を2つの三角形に分けて、あとはこれまで勉強してきた
- 余弦定理
- 三角形の面積公式
を使えばいいんだ。
円の性質、余弦定理、sinの面積公式。これまで学んだ道具を順番に使えば、円に内接する四角形の面積も求められるぞ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
