【高校数学I】三角形の面積を3辺から求める方法｜余弦定理とsinを使って計算する
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、3辺の長さから三角形の面積を求める方法をやるぞ。余弦定理でcosを求め、sinに直して面積公式へつなげていく。
三角形の面積をsinで求める公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
この公式を使うには、2辺
$$
a,\ b
$$
と、その間の角
$$
C
$$
が必要になる。
では、角の大きさがわからず、3辺の長さだけが与えられている場合は、どうすればよいのだろうか。
この場合は、まず余弦定理を使って、
$$
\cos C
$$
を求める。
次に、三角比の相互関係を使って、
$$
\sin C
$$
を求める。
最後に、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
へ代入すれば、三角形の面積を求めることができる。
3辺だけでは、面積公式に必要なsinが見えない。そこで、余弦定理でcosを出し、相互関係でsinに変えるんだ。
この記事では、三角形の面積を3辺から求める方法を、余弦定理とsinを使ってわかりやすく解説する。
3辺から三角形の面積を求める方法
3辺から三角形の面積を求める流れは、次の通りだ。
- 余弦定理でcosの値を求める
- 三角比の相互関係でsinの値を求める
- sinを使った面積公式に代入する
よし、じゃあ例題を一緒に解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$$$
b=5
$$$$
c=6
$$のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$を求めてみよう。
1. 余弦定理でcosCを求める
余弦定理より、
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
$$
である。
これを、
$$
\cos C
$$
について整理すると、
$$
\cos C
=
\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
となる。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
b=5
$$
$$
c=6
$$
を代入する。
$$
\cos C
=
\frac{5^2+5^2-6^2}
{2\cdot5\cdot5}
$$
それぞれ計算すると、
$$
\cos C
=
\frac{25+25-36}{50}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
25+25-36=14
$$
なので、
$$
\cos C=\frac{14}{50}
$$
である。
約分すると、
$$
\cos C=\frac{7}{25}
$$
となる。
2. 三角比の相互関係でsinCを求める
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2 C+\cos^2 C=1
$$
である。
したがって、
$$
\sin C
=
\sqrt{1-\cos^2 C}
$$
となる。
ここに、
$$
\cos C=\frac{7}{25}
$$
を代入する。
$$
\sin C
=
\sqrt{
1-\left(\frac{7}{25}\right)^2
}
$$
2乗を計算すると、
$$
\sin C
=
\sqrt{
1-\frac{49}{625}
}
$$
となる。
$$
1=\frac{625}{625}
$$
なので、
$$
\sin C
=
\sqrt{
\frac{625}{625}-\frac{49}{625}
}
$$
$$
=
\sqrt{\frac{576}{625}}
$$
である。
分子と分母をそれぞれ平方根にすると、
$$
\sin C
=
\frac{\sqrt{576}}{\sqrt{625}}
$$
となる。
$$
\sqrt{576}=24
$$
$$
\sqrt{625}=25
$$
なので、
$$
\sin C=\frac{24}{25}
$$
である。
cosCが7/25とわかったら、sin²C＋cos²C＝1を使う。これでsinCは24/25になるぞ。
3. 面積公式に代入する
三角形の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
ここに、
$$
a=5
$$
$$
b=5
$$
$$
\sin C=\frac{24}{25}
$$
を代入する。
$$
S
=
\frac{1}{2}
\cdot5
\cdot5
\cdot\frac{24}{25}
$$
となる。
$$
5\cdot5=25
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}
\cdot25
\cdot\frac{24}{25}
$$
である。
$$
25
$$
を約分すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot24
$$
したがって、
$$
S=12
$$
となる。
よって、三角形ABCの面積は、
$$
12
$$
である。
余弦定理でcos、相互関係でsin、最後に面積公式。答えは12だ。
まとめ
今回は、三角形の面積を3辺から求める方法を確認した。
3辺だけが与えられている場合は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
をすぐに使うことはできない。
そこで、余弦定理、
$$
\cos C
=
\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
$$
を使って、
$$
\cos C
$$
を求める。
次に、三角比の相互関係、
$$
\sin^2 C+\cos^2 C=1
$$
から、
$$
\sin C
=
\sqrt{1-\cos^2 C}
$$
を求める。
最後に、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
へ代入すればいいんだ。
3辺から面積を求めるなら、余弦定理でcos、相互関係でsin、最後に面積公式だ。この流れをつかんでおこう。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
