三角形の面積をsinで求める公式の使い方｜2辺とその間の角から計算する方法
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形の面積をsinで求める公式の使い方をやるぞ。2辺とその間の角がわかれば、高さがわからなくても面積を求められるんだ。
三角形の面積は、
$$
面積=\frac{1}{2}\times 底辺\times 高さ
$$
で求められるよな？？
しかし、問題によっては「高さ」がわからないこともある。
でも、その代わりに、
- 2つの辺の長さ
- その2辺の間にある角
が与えられている。
このようなときは、sinを使った次の公式で三角形の面積を求められるぞ。
三角形の面積をsinで求める公式
三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
また、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
このとき、三角形ABCの面積は、次の公式で求められる。
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
どの公式も、基本的な形は同じである。
2辺×その間の角のsin×1/2
なんだな。
三角形の面積公式の使い方
三角形の面積をsinで求めるときは、次の順番で考える。
- 長さがわかっている2辺を確認する
- その2辺の間にある角を確認する
- 対応する面積公式を選ぶ
- 値を代入して計算する
たとえば、辺b、辺c、角Aがわかっているなら、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を使う。
辺a、辺b、角Cがわかっているなら、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
を使えばよいって感じだ。
例題1：2辺と60°から面積を求める
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
b=6
$$
$$
c=8
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
わかっている2辺は、
$$
b
$$
と、
$$
c
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
A
$$
である。
したがって、使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
ここに、
$$
b=6
$$
$$
c=8
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\sin60^\circ
$$
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
S
=
24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S=12\sqrt{3}
$$
である。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
12\sqrt{3}
$$
となる。
辺bと辺cがわかっていて、その間の角Aもわかっている。だから、1/2 bc sinAを使えばいいんだ。
例題2：角Cを使って面積を求める
三角形ABCにおいて、
$$
a=5
$$
$$
b=8
$$
$$
C=30^\circ
$$
のとき、三角形ABCの面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
わかっている2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
この2辺の間にある角は、
$$
C
$$
である。
したがって、使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
値を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin30^\circ
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2}
$$
となる。
計算すると、
$$
S=10
$$
である。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
10
$$
となる。
鈍角でも同じ公式を使える
sinを使った三角形の面積公式は、間の角が鋭角の場合だけでなく、鈍角の場合にも使える。
たとえば、三角形ABCにおいて、
$$
a=6
$$
$$
b=4
$$
$$
C=120^\circ
$$
のとき、面積
$$
S
$$
を求めてみよう。
使う公式は、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
である。
値を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\sin120^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin120^\circ
=
\sin(180^\circ-60^\circ)
$$
である。
三角比の公式より、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
なので、
$$
\sin120^\circ=\sin60^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
よって、
$$
S
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S
=
12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
S=6\sqrt{3}
$$
となる。
つまり、角Cが鈍角でも、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
をそのまま使うことができる。
角が120°でも公式は同じだ。sin120°をsin60°に直して計算すればいいぞ。
どの公式を選べばよいのか
面積公式が3つあると、どれを使えばよいのか迷うかもしれない。
しかし、3つすべてを毎回使うわけではない。
問題で与えられている2辺と、その間の角を確認すればよい。
辺b、辺c、角Aがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を使う。
辺c、辺a、角Bがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
を使う。
辺a、辺b、角Cがわかるなら、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
を使う。
| わかっているもの | 使う公式 |
|---|---|
| 辺b、辺c、角A | $$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$ |
| 辺c、辺a、角B | $$S=\frac{1}{2}ca\sin B$$ |
| 辺a、辺b、角C | $$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$ |
まとめ
おし、以上だ。
今回は、三角形の面積をsinで求める公式の使い方を確認した。
三角形ABCの面積を
$$
S
$$
とすると、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
が成り立つんだったな。
角が鋭角でも鈍角でも、同じ公式を使って三角形の面積を求められるぞ。
2辺とその間の角が見えたら、三角形の面積をsinで求められる。1/2を忘れず、角の対応を確認して使おう。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
