三角比 180-θ の公式とは？使い方をわかりやすく解説
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は「三角比 180-θ」の公式をやるぞ。鈍角の三角比を求めるときに便利なやつだ。
高校数学Iの三角比では、
$$
180^\circ-\theta
$$
という形の角が出てくることがある。
たとえば、
$$
\sin(180^\circ-\theta)
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)
$$
のような形だ。
このとき、次の公式を使う。
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
これが、
三角比 180-θ の公式
である。
180°から引いた角が出てきたら、sinはそのまま。cosとtanはマイナスになる。まずはここを押さえよう。
この記事では、三角比の
$$
180^\circ-\theta
$$
の公式と、その使い方をわかりやすく解説する。
なぜ 180-θ の公式を使うのか
三角比の問題では、鈍角の三角比を求めたいことがある。
たとえば、
$$
\sin150^\circ
$$
を考えよう。
$$
150^\circ
$$
は鈍角なので、そのままだと少し扱いにくい。
しかし、
$$
150^\circ=180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin150^\circ
=
\sin(180^\circ-30^\circ)
$$
と考えられる。
ここで公式を使うと、
$$
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
$$
となる。
つまり、
$$
\sin150^\circ=\sin30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
と求められる。
このように、
鈍角を 180°から引いた形に直して、鋭角の三角比で表す
のが、180-θ の公式の使い方だ。
sin(180°-θ)=sinθ の使い方
まずは、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
を見ていこう。
これは、
sin の 180°-θ はそのまま sin になる
という公式だ。
たとえば、
$$
\sin150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin150^\circ
=
\sin(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
$$
なので、
$$
\sin150^\circ=\sin30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
だから、
$$
\sin150^\circ=\frac{1}{2}
$$
となる。
sin150°は、180°-30°と見ればsin30°になる。sinは符号が変わらないのがポイントだ。
cos(180°-θ)=-cosθ の使い方
次に、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
を見ていこう。
これは、
cos の 180°-θ はマイナスがつく
という公式だ。
たとえば、
$$
\cos150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\cos150^\circ
=
\cos(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ
$$
なので、
$$
\cos150^\circ=-\cos30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
だから、
$$
\cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
cos150°は、180°-30°と見れば -cos30° になる。鈍角ではx座標が負になるから、cosはマイナスになるんだ。
tan(180°-θ)=-tanθ の使い方
最後に、
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
を見ていこう。
これは、
tan の 180°-θ はマイナスがつく
という公式だ。
たとえば、
$$
\tan150^\circ
$$
を考える。
$$
150^\circ
$$
は、
$$
180^\circ-30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\tan150^\circ
=
\tan(180^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\tan(180^\circ-30^\circ)=-\tan30^\circ
$$
なので、
$$
\tan150^\circ=-\tan30^\circ
$$
である。
そして、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だから、
$$
\tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
tan150°は、180°-30°と見れば -tan30° になる。tanも鈍角ではマイナスになるぞ。
三角比 180-θ の公式の覚え方
180-θ の公式は、次のように覚えるとよい。
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
これは、
sinはそのまま
と覚える。
一方で、
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
は、
cosとtanはマイナス
と覚える。
まとめると、
- sinはそのまま
- cosはマイナスがつく
- tanはマイナスがつく
ということだ。
なぜ cos と tan はマイナスになるのか
180°-θ の角は、半円で考えると左側にある。
つまり、点Pの
$$
x
$$
座標が負になる。
三角比の定義は、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
だった。
鈍角では、
$$
x<0 $$ $$ y>0
$$
$$
r>0
$$
である。
そのため、
$$
\sin\theta=\frac{y}{r}
$$
は正になる。
一方で、
$$
\cos\theta=\frac{x}{r}
$$
は、xが負なので負になる。
また、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
も、分母のxが負なので負になる。
だから、180°-θ の公式では、
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
$$
\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta
$$
となる。
符号は座標で決まる。鈍角ではxが負。だからcosとtanはマイナスになる。ここを押さえると、公式がかなり覚えやすいぞ。
次は、なぜ
$$
\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
や
$$
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta
$$
が成り立つのかを、半円と座標で証明していこう。
それじゃあな。
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
