三角比の相互関係とは？3つの公式と使い方をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は三角比の相互関係をやるぞ。sin、cos、tanのつながりをまとめていく。
高校数学Iの三角比では、
$$\sin A$$
$$\cos A$$
$$\tan A$$
が出てくる。
この3つは、それぞれ別々のものに見えるかもしれない。
しかし、実は互いにつながっている。
そのつながりを表した公式を、
三角比の相互関係
という。
三角比の相互関係として、特に大事なのは次の3つだ。
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
$$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$$
公式が3つ並ぶと、ちょっと圧があるな。でも大丈夫だ。今日は「何に使うのか」から見ていくぞ。
この記事では、三角比の相互関係の意味と、3つの公式の使い方を具体例で解説する。
公式1：tanA = sinA / cosA
まずは、
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
だ。
これは、
tanはsinをcosで割れば求められる
という公式だ。
たとえば、
$$\sin A = \frac{3}{5}$$
$$\cos A = \frac{4}{5}$$
のとき、
$$\tan A$$
を求めてみよう。
公式より、
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
だから、
$$\tan A = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$$
となる。
分数の割り算なので、
$$\tan A = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4}$$
$$\tan A = \frac{3}{4}$$
したがって、
$$\tan A = \frac{3}{4}$$
だ。
sinとcosがわかっているなら、tanは割れば出る。tanはsinとcosのセットから作れるんだな。
この公式は、
sinとcosがわかっていて、tanを求めたいとき
に使うぞ。
公式2：sin²A + cos²A = 1
次に、
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
を見ていこう。
ここで、
$$\sin^2 A$$
は、
$$\sin A$$
を2乗するという意味だ。
つまり、
$$\sin^2 A = (\sin A)^2$$
である。
同じように、
$$\cos^2 A = (\cos A)^2$$
だ。
この公式は、
sinとcosの2乗を足すと1になる
という意味だ。
たとえば、
$$\sin A = \frac{3}{5}$$
のとき、
$$\cos A$$
を求めてみよう。
公式より、
$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
なので、
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1$$
$$\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1$$
$$\cos^2 A = 1 – \frac{9}{25}$$
$$\cos^2 A = \frac{16}{25}$$
よって、
$$\cos A = \frac{4}{5}$$
となる。
※高校数学Iの三角比で、角Aが鋭角の場合は、cosAは正の値として考える。
sinがわかれば、sin²＋cos²＝1からcosを出せる。三平方の定理の親戚みたいな公式だな。
この公式は、
- sinがわかっていてcosを求めたいとき
- cosがわかっていてsinを求めたいとき
に使うぞ。
公式3：1 + tan²A = 1 / cos²A
最後に、
$$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$$
を見ていこう。
これは少し見た目が重い。
だが、使い方としては、
tanとcosをつなぐ公式
だと思えばいい。
たとえば、
$$\cos A = \frac{4}{5}$$
のとき、
$$\tan A$$
を求めてみよう。
公式より、
$$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$$
だ。
$$\cos A = \frac{4}{5}$$
なので、
$$\cos^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$$
したがって、
$$\frac{1}{\cos^2 A} = \frac{1}{\frac{16}{25}} = \frac{25}{16}$$
よって、
$$1 + \tan^2 A = \frac{25}{16}$$
$$\tan^2 A = \frac{25}{16} – 1$$
$$\tan^2 A = \frac{9}{16}$$
したがって、
$$\tan A = \frac{3}{4}$$
となる。
この公式はちょっとごつい。でも、cosからtanを出したいときに使える。見た目でビビらなくていいぞ。
この公式は、
cosとtanの関係を使いたいとき
に使うぞ。
まとめ：3つの公式の使い分け
三角比の相互関係は、どの公式を使えばいいか迷いやすい。
そんなときは、次のように考えるとよい。
| 使いたい場面 | 使う公式 |
|---|---|
| sinとcosからtanを求めたい | $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$ |
| sinからcos、またはcosからsinを求めたい | $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ |
| tanとcosをつなげたい | $$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$$ |
どの値がわかっていて、何を求めたいのか。そこから使う公式を選ぶんだ。公式は暗記だけじゃなく、使いどころが大事だぞ。
それじゃあな。
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
