高校数学Iで三角比を習うと、こんな問題が出てくる。

いきなり、

$$\sin A$$

$$\cos A$$

$$\tan A$$

を求めよ、と言われると身構えるかもしれない。

だが、安心しろ。

このタイプの問題でやることは、かなりシンプルだ。

角Aから見て、対辺・底辺・斜辺を見分ける

これができれば、あとは公式に入れるだけだ。

この記事では、直角三角形から三角比を求める方法を、例題を使ってわかりやすく解説していくぞ。

直角三角形から三角比を求める方法

直角三角形から三角比を求める手順は、次の3つだ。

1. 角Aに注目する
2. 対辺・底辺・斜辺を見分ける
3. sinA・cosA・tanAの公式に入れる

これだけだ。

三角比の問題というと難しく聞こえるが、最初の基本問題では、

どの辺をどの辺で割るか

を考えているだけだ。

 

では、最初に出した例題を解いていこう。

この問題では、角Aに注目する。

まずは、角Aから見て、

• 斜辺
• 対辺
• 底辺

がどれなのかを確認するぞ。

斜辺を見つける

斜辺は、直角の向かい側にある辺だ。

この問題では、

$$\angle C = 90^\circ$$

なので、直角はCにある。

直角Cの向かい側にある辺は、

$$AB$$

だ。

したがって、

$$AB = \sqrt{13}$$

が斜辺になる。

対辺を見つける

対辺は、角Aの向かい側にある辺だ。

角Aの向かい側にある辺は、

$$BC$$

だ。

したがって、

$$BC = 3$$

が対辺になる。

底辺を見つける

底辺は、角Aに接している辺のうち、斜辺ではない辺だ。

角Aに接している辺は、

$$AB$$

と

$$AC$$

だ。

このうち、ABは斜辺だった。

だから、残った

$$AC = 2$$

が底辺になる。

つまり、この直角三角形では、

• 斜辺 = AB = √13
• 対辺 = BC = 3
• 底辺 = AC = 2

となる。

sinAを求める

sinAの公式は、

$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$

だったな。

今回の直角三角形では、

• 対辺 = 3
• 斜辺 = √13

だから、

$$\sin A = \frac{3}{\sqrt{13}}$$

となる。

したがって、

sinA = 3/√13

だ。

分母を有理化するなら、

$$\sin A = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

となる。

cosAを求める

cosAの公式は、

$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$

だったな。

今回の直角三角形では、

• 底辺 = 2
• 斜辺 = √13

だから、

$$\cos A = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

となる。

したがって、

cosA = 2/√13

だ。

分母を有理化するなら、

$$\cos A = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$

となる。

tanAを求める

tanAの公式は、

$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$

だったな。

今回の直角三角形では、

• 対辺 = 3
• 底辺 = 2

だから、

$$\tan A = \frac{3}{2}$$

となる。

したがって、

tanA = 3/2

だ。

答えをまとめる

よって、この例題の答えは、

$$\sin A = \frac{3}{\sqrt{13}}$$

$$\cos A = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

$$\tan A = \frac{3}{2}$$

となる。

有理化して書くなら、

$$\sin A = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

$$\cos A = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$

$$\tan A = \frac{3}{2}$$

だ。

図の向きが変わっても、やることは同じ

三角比の問題では、図の向きが変わることがある。

たとえば、直角三角形が横向きだったり、上下が逆だったりすることもある。

だが、心配するな。

やることは同じだ。

角Aから見て、対辺・底辺・斜辺を見分ける

これだけだ。

 

三角比は、最初は記号が多くて難しく見える。

でも、基本はかなりシンプルだ。