人間界の高校数学 I で、急に現れるやつがいる。

三角比

だ。

しかも、こいつは登場するなり、

$$\sin A$$

$$\cos A$$

$$\tan A$$

みたいな、謎の記号をぶち込んでくる。

 

 

だが安心しろ。

三角比は、見た目ほどこわくない。

 

ズバリいっちまうと、三角比とは、

直角三角形の辺の長さの比

のことだ。

 

三角比とは簡単にいうと何？

三角比とは、直角三角形において、

ある角に注目したときの、辺どうしの長さの比

のことだ。

たとえば、こんな直角三角形を考えてみよう。

角Aに注目すると、三角形の辺は次の3つに分けられる。

• 斜辺
• 対辺
• 底辺

 

斜辺とは、直角の向かい側にある一番長い辺のこと。

対辺とは、注目している角の向かい側にある辺のこと。

底辺とは、注目している角にくっついている辺のうち、斜辺ではない辺のことだ。

 

 

なぜ三角比は角度だけで決まるの？

ここで、ちょっと不思議なことがある。

直角三角形の大きさが変わっても、角Aの大きさが同じなら、辺の比は変わらないんだ。

たとえば、小さい直角三角形と、大きい直角三角形があったとする。

大きさは違う。

でも、角Aが同じなら、その2つの直角三角形は相似になる。

 

相似な図形では、対応する辺の比が等しくなる。

つまり、

三角形を大きくしても小さくしても、辺どうしの比は同じ

ということだ。

 

 

だから、三角比は三角形の大きさではなく、

角の大きさだけで決まる

わけだ。

 

sin（サイン）とは何者？？

まずは、

sin

からいくぞ。

sinは「サイン」と読む。日本語では「正弦（せいげん）」と呼ぶぞ。

sinは、角Aに注目したときの、

対辺 ÷ 斜辺

のことだ。

式で書くとこうなる。

$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$

 

 

たとえば、直角三角形ABCで、角Aに注目しているとする。

このとき、角Aの向かい側にある辺が対辺。

直角の向かい側にある一番長い辺が斜辺だ。

だから、

$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

となる。

 

 

cos（コサイン）とは何者？？

次は、

cos

だ。

cosは「コサイン」と読む。日本語では「余弦（よげん）」だ。

cosは、角Aに注目したときの、

底辺 ÷ 斜辺

のことだ。

式で書くとこうなる。

$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$

 

 

直角三角形ABCで、角Aに注目しているなら、

底辺はAC。

斜辺はAB。

だから、

$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

となる。

 

 

tan（タンジェント）とは何者？？

最後は、

tan

だ。

tanは「タンジェント」と読む。日本語では「正接（せいせつ）」だぞ。

tanは、角Aに注目したときの、

対辺 ÷ 底辺

のことだ。

式で書くとこうなる。

$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$

 

 

直角三角形ABCで、角Aに注目しているなら、

対辺はBC。

底辺はAC。

だから、

$$\tan A = \frac{BC}{AC}$$

となる。

 

 

三角比の公式まとめ

ここまでの内容をまとめるぞ。

三角比	読み方	意味
sin A	サインA	対辺 ÷ 斜辺
cos A	コサインA	底辺 ÷ 斜辺
tan A	タンジェントA	対辺 ÷ 底辺

 

つまり、

$$\sin A = \frac{対辺}{斜辺}$$

$$\cos A = \frac{底辺}{斜辺}$$

$$\tan A = \frac{対辺}{底辺}$$

だ。

 

三角比は暗記だけじゃなく「どの辺を比べているか」が大事

三角比は、ただ公式を丸暗記するだけだとすぐに混乱する。

大事なのは、

角Aから見て、どの辺が対辺で、どの辺が底辺で、どの辺が斜辺なのか

を見分けることだ。

 

斜辺はいつも直角の向かい側。

これは変わらない。

でも、対辺と底辺は、どの角に注目するかで変わる。

 

 

まとめ

三角比とは、直角三角形の辺の長さの比のことだ。

そして、角Aに注目したとき、

• sin A は、対辺 ÷ 斜辺
• cos A は、底辺 ÷ 斜辺
• tan A は、対辺 ÷ 底辺

となる。

 

三角形の大きさが変わっても、角度が同じなら辺の比は変わらない。

だから三角比は、

角度によって決まる値

なんだ。