台形の体積の公式の求め方を知りたい！？

こんにちは！この記事をかいているKenだよ。着る毛布ほしいね。

 

台形の体積の求め方を教えてほしい。

そう、きかれることが結構ある。

 

正直ドヤ顔で、

台形の体積はね・・・

って答えそうになる。

だけれども、

そもそも台形に体積はないんだ！

 

 

台形は平面図形だからね。

台形の面積なら求められるけど、体積は無理なんだ。

 

 

でもさ、いったい、、

台形の体積ってなんだろう？？

たぶん、みんながいってる「台形の体積」は、

正四角錐台の体積

のことなんじゃないかな。

 

 

プリンみたいな立体だよ。

正四角錐台は台形の立体バージョンにみえるし、たぶんそう。。

そこで今日は台形の体積のかわりに、

正四角錐台の体積の求め方の公式を紹介するよ。

よかったら参考にしてみて。

 

 

台形の体積（正四角錐台）の求め方の公式！？

正四角錐台の下の1辺がa、上の辺がb、高さをhとしよう。

 

 

体積は、

1/3 h ( a^2 + ab + b^2)

で計算できちゃうんだ。

つまり、

{（下の辺）×（下の辺）+ （下の辺）×（上の辺）+ (上の辺) × (上の辺) }×高さ÷3

ってことさ。

 

たとえば、下の辺が4cm、上の辺が2 cm、高さ6cmの正四角錐台ABCDEFGHがあったとしよう。

 

 

この立体の体積は、

1/3 h ( a^2 + ab + b^2 )
= 1/3 × 6 × ( 4^2 + 4 × 2 + 2^2)
=  2 × ( 16 + 8 + 4 )
= 56 [cm^3]

になるよ！

めんどい計算式だけど、

落ち着いて計算してみよう！

 

 

台形の体積の公式がわかる3ステップ

むちゃ便利だけど、

なんで公式で計算できちゃうんだろう？？

ちょっと怪しい。

 

今日はそんな流れで、

台形の体積（正四角錐）の求め方をみちびいてみよう！

3ステップでできちゃうよ。

 

 

Step1. みえない四角錐をかく！

まず、みえてない四角錐をかこう。

正四角錐台の斜辺を延長すればいいんだ。

 

正四角錐台ABCDEFGHでいうと、

• AE
• BF
• CG
• DH

の4辺を延長してあげるんだ。

 

 

そんで、その交点をIとするよ。

これでみえなかった「正四角錐EFGHI」があらわれたね。

 

 

Step2. 高さを求める！

みえない正四角錐の高さを求めよう。

 

例でいうと、

正四角錐 I-EFGHの高さだね。

 

 

FG：BC = 2：4　だから、

（正四角錐I-EFGHの高さ）：（正四角錐I-ABCDの高さ）= 2：4
（正四角錐I-EFGHの高さ）：（正四角錐I-EFGHの高さ） + 6 = 2：4
（正四角錐I-EFGHの高さ）= 6

 

 

になるね！

 

 

Step3. 「大きい四角錐」から「小さい四角錐」をひく！

最後は、「大きい四角錐」から「小さい四角錐」をひこう。

そうすれば「正四角錐台」の体積になる。

 

さっきの例でいうと、

「正四角錐I-ABCD」から「正四角錐I-EFGH」をひけばいいんだ。

 

 

地道に計算してやると、

（正四角錐I-ABCD）-  （正四角錐I-EFGH）
= 1/3 × ( 6+6) × 4^2  –    1/3 ×6 × 2^2
= 64 – 8
= 56[cm^3]

になる。

 

おめでとう！

これで台形の体積、、じゃなくて、

正四角錐台の体積を計算できたね！！

 

 

まとめ：台形の体積の求め方は「上 – 下」！！

台形の体積（正四角錐台）の体積の求め方はどうたった？？

大きな正四角錐から小さいやつをひけばいいんだ。

補助線をひいて正四角錐をみつけてみよう。

そんじゃねー

Ken