中学数学でもっとも頻繁に利用する計算法則。それは、
分配法則（distributive property）
というものです。「分配法則のチョー便利な1つの使い方」という記事でもお伝えしましたが、もう一度「分配法則」を復習してみましょう。分配法則とは次のような計算法則でした。
a, b, cという3つの数があったとすると、
(a+b)\times c=a\times c + b\times c
分配法則のことをちまたでは「カッコをはずす法則」と呼んでいます。
()を含んだ複雑な計算式も分配法則を使えばイチコロ。1発か2発でカッコなしの計算式に直せるのです。
これは便利ですよね？？ 分配法則は3年間を通して頻繁に登場します。がっちり押さえておきましょう！
ところが、です。ところが。
なぜ分配法則は成立するのでしょうか？？
たしかに分配法則は超便利な計算法則。だがしかし、分配法則が使える理由を考えずに乱用していては数学が得意になりません。
たとえるなら、野球のルールを知らずにバットを振り回しているようなもんです。今日は、そんな便利な分配法則の証明をわかりやすく解説してみました。
分配法則がなぜ使えるのか証明したい！！
そんなアツい志をもった方に参考にしてほしいですね。
分配法則の証明をするため、さきほどの(a+b)\times c=a\times c + b\times cという計算式を例にとりましょう。数学が苦手な方でも理解できるように3ステップで分配法則を証明してきますねー。
(a+b)\times cという計算式の意味をまず振り返ってみましょう。これは、
(a+b)という数のセットをc回たし合わせたもの
でしたよね？？ 図で表すとつぎのようになります。
次は同じ英文字ごとに足し合わせてみましょう。aはa、bはbという感じです。この状態ではカッコの外に数字がかけられていないので()を自由に取り外せますね！
すると、aがc個、bもc個たし合わされていることに気づきます！だって、(a+b)のセットがもともとc個ありましたからね。ハンバーガーとポテトのセットが2つあったらハンバーガーが2個、ポテトも2個あるのと同じです。
最後にもう一度「掛け算」の意味を振り返ってみます。
掛け算とは、
ある同じ数のセットを繰り返し足し合わせたもの
でしたね？？ この掛け算の意味を考慮すれば、
「aをc個足し合わせた数」= a\times c
「bをc個足し合わせた数」= b\times c
と掛け算に書き直すことができるのです。
この3ステップを経てようやく、
(a+b)\times c=a\times c + b\times cといえるわけですね！分配法則が証明できてよかったよかった！
一番はじめに5分で分配法則を証明することを目標としていました。
さて実際、どうだったでしょうか？？？ ものの3分、いや35秒ぐらいで分配法則を証明できちゃいましたね。
中学数学の教科書には分配法則の証明はのっていません。
だがしかし、自分の頭をつかってみて、
なぜ分配法則がいえるのか？？
と考えて証明してみることが大切。数学を今後も勉強していく上で「なぜ？なぜ？？」という問いをしながらすすめてみてください。
それでは！また今度です。
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenです。昼飯に焼き肉を食べました。
分配法則 (distributive property) という計算法則をご存知ですか？！ 名前が超カッコイイこの法則は、中学1年生の数学でで登場します。
はじめてこの数学用語をみかけた中学生の方は、
は？？ 分配？？？ お、おれの財産は渡せねえよう！
とぶっきらぼうになってしまうかもしれません。そんな一見、超うさん臭い「分配法則」くんですが、じつは中学校の数学の中で、かなりかなりの重要度を誇っています。
分配法則さえマスターすれば中学1年生の数学の大半を倒せます。中学1年生から数学の問題を倒せる武器を所持できるなんてうらやましいですね、まったく！
分配法則という武器を使いこなせ！！
今日はせっかくなので、
分配法則という最終兵器の概要を説明しながら、あまり知られていない便利な使い方まで紹介していきます。
分配法則の使い方がわからなくて悩んでいる方は参考にしてみてくださいね。
分配法則をわかりやすく説明してくれたら欲しいものあ・げ・る
と美女に迫られたとしましょう。なんとしても欲しいものを手に入れたいぼくは、分配法則を次のように説明するかもしれません。それは、
分配法則とは、たし算とかけ算の橋渡しの法則のことだね。
と。たぶん、こんなきざな台詞を使えば、美女も・・・・・
なんて妄想はさておき。なぜ分配法則が「たし算とかけ算の橋渡しの法則」になるのか確認していきましょう！
分配法則は中学数学の教科書で以下のように説明されています。
a, b, cという3つの数字による計算式a\times(b+c)があったとしましょう。分配法則を使うとこの文字式は次のように書き換えることができます。
$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$
です。えっ。文字ばっかりで分かりづらいですって？！？ そんな方のために実際の数字で分配法則を考えてみましょう。上のa, b, cを４、５、６という数字で置き換えてみると、
4\times(5+6)=4\times5+4\times6となります。
左の計算式を右のようにべつの形で書き換えられるわけです。このように左辺から右辺に式を変更することを分配法則を使っちゃる、といい、ちまたでは「カッコをはずす」なんて異名で呼ばれています。
まとめると、
計算式の()をなくせる法則を「分配法則」と呼んでいるわけです。
分配法則が便利なケースっていったいどんな場合でしょう？？
さっきの説明では全然分配法則が役に立つ気配ありませんよね？？？ むしろ足を引っ張っているような気がします。
たとえば、先ほどの例である4\times(5+6)=4\times5+4\times6では余計に左辺の式を複雑にしています。なんだろう、このままでは分配法則なんて消え失せろなんて言われそうです。
そこで、読者の方が分配法則に惚れ直すことを願い、分配法則がむちゃくちゃ効力を発揮しているケースを紹介していきます。
分配法則が役に立つケースの1つとして挙げられるのは、
「桁数の大きい数字」×「1ケタの小さい数字」という計算
です。たとえば、
14\times7のような計算式。この2ケタ×1ケタ数字のかけ算は、そろばんを習っていないと瞬殺できません。ぼくはそろばんを習っていないので、この計算を終了させるのに5分ぐらいかかりそうです。えっとお、小学校で勉強した筆算の方法を利用して、
なんて感じです。じつは小学校で勉強した通りに筆算の公式を利用せずとも、この計算を瞬殺する方法があるんです。それは、
分配法則をつかって桁数の大きい数字をばらしてあげる
という方法です。えっ？ どういうことなのか意味不明ですって！？？
それでは詳しくわかりやすく説明していきましょう。
まずは桁数の大きい数に注目します。14\times7という計算式でいえば、14がそれに値します。
このときのポイントは、
きりのいい桁数でわけわけする
ことです。つまり、14の場合ですと、10がきりのよい桁数です。14を「10と4が足された数字」と捉え直してやるわけですね。
すると、14\times7という計算式は、
(10+4)\times7という()を含む計算式に変化させることができます。
桁数の大きい数字をたし算の計算式に変換したら、分配法則の出番です。記事の初めで学んだ「分配法則」をつかって式中の()をはずしてやると、
(10+4)\times7=10\times7+4\times7となります。え？余計に計算過程が増えてしまったですって！？？ た、たしかにその感は否めません。だがしかし、10\times7+4\times7の前の項の10\times7という計算はえらくカンタンです。なぜなら、10を7にかけるだけですからね。すると、
(10+4)\times7=10\times7+4\times7=70+28=98と答えを導くことができます。14を(10+4)に変形して分配法則で()をはずす。これだけで難しい桁数の大きいかけ算もとけることになります。
この分配法則の活かし方は桁数が増えても同じです。たとえば、104\times7といった具合にです。この3ケタと1ケタのかけ算にも分配法則を適用してやると、
104\times7=(100+4)\times7=700+28=728という感じになります。やりましたね！
それじゃあ、なぜぼくは分配法則を「橋渡し法則」と呼んでしまったのでしょうか！？ さっきまでの説明に橋なんて1個も登場しませんでしたね。これじゃあ、嘘をついた罪で逮捕されそうです。
先ほどの計算式をよーーく見つめてみてください。
14\times7=(10+4)\times7=10\times7+4\times7=70+28=98これです。これ。
この数式を長いこと見つめていると、
分配法則により、かけ算が足し算になったり、足し算がかけ算になったりしている、
ということが分かります。
14という数字を(10+4)というたし算の形にしたり、14\times7を10\times7+4\times7という足し算とかけ算が混じる計算式に変換したりと大忙しです。ま、まさに、分配法則は「たし算とかけ算の橋渡し法則」ですね！
それでは、また今度です！
Ken
中学数学の最初の単元「正の数・負の数」で2つの計算法則が登場します。
それは、
交換法則 (commutative property)と結合法則(associative property)
です。数学を勉強しはじめた中学生のたちは、
交換？ 結合？？ 法則とかうさんくせえー
なんて不平をもらし、数学を嫌いになってしまうかもしれません。
数学が嫌いになりそうになったので、Wikipediaで結合法則の意味を調べてみると、
数学、殊に代数学における結合法則（けつごうほうそく、英: associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性（けつごうせい、英:associativity）は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式中で演算が一度よりも多く行われるとき、その演算を評価する順番に関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (英: associative) であるといわれる。
と書いてあります。余計に意味不明で泣きそうになりますよね、コレ。
そこで今日は数学を勉強し始めた中学生の方でもよくわかるように、
交換法則と結合法則の使い方
を説明します。交換法則とか結合法則の意味がわからなすぎて泣きそうになっている！？？
そんなときに参考にしてくださると嬉しいです。
まずは最初に「交換法則」の正体を暴いていきます。交換法則とはずばり、
計算式に含まれる項の順序を入れ替えていいよ！
という法則です。したがって、項の数が2つ以上の計算式から「交換法則」を適用できるわけです。たし算（加法）とかけ算（乗法）の2つの場合に適応できることが知られています。
たとえば、
6+1という計算式があったとしましょう。この文字式に交換法則をあてがってやると、
6+1=1+6という具合に計算順序をかえてもいいんです。これは加法の場合の交換法則です。教科書では俗に「加法の交換法則」と呼ばれています。
えっ。乗法の交換法則の例もみてみたいですって！？？
そうですね、先ほどの足し算の記号＋を×に直して、
6\times1=1\times6という計算式をつくってやれば、乗法の交換法則の出来上がりです。
計算式の項の順序をいれかえても加法・乗法の計算結果は変わらない
という法則が交換法則です。わかりやすいですよね！？？
それでは、もう一つの計算法則である「結合法則」とはいったい何者なのでしょうか。
先ほどWikipediaでの結合法則の意味を確認してみましたね。ただ、あの定義は難しすぎて数学を猛烈に勉強した人にしかわかりません。
そこで改めてここで「結合法則」を再定義してやると、
3つ以上項がある計算式で、どのペアーから計算しても構わないYO!!
というものです。この「結合法則」は「交換法則」と同様に「たし算とかけ算」の2つの場合に適応することができます。
し、しかも項の数が3つ以上？？ なんだかうさんくさい数学の法則ですね。具体例といっしょに理解を深めてみましょう。
たとえば、
9\times(-4)\times(-5)という計算式があったとします。3つも項があるので厄介な計算式です。
ふつうに何も考えずに計算すると、まず9\times(-4)を計算して、その答えに-5をかけて…..-36\times(-5)という計算をするでしょう。
つまり、
\{ 9\times(-4)\}\times(-5)のように無意識に前の2つの項を()でくくっています。
ただ、-36\times(-5)という計算はそろばんを習っていない限り瞬殺できません。これではクラスの数学が得意なライバルたちに差をつけられてしまいます。
そこで登場するのが「結合法則」です。結合法則を適応してやると、
9\times(-4)\times(-5)という計算式の(-4)\times(-5)を先に計算したっていいことになります。つまり、 9\times\{(-4)\times(-5)\}のように後ろ2つの項をくくっても良い訳です。
この計算をすると、(-4)\times(-5)=20だということがわかります。
そして、この20という数値に第一項の9をかけて、
9\times20という計算をすることになります。これは先ほどの-36\times(-5)という計算式と比べるとかなり楽勝になっています。だって、20ってきりのいい数字ですからね。そろばんを習ってなくても答えは、
9\times20=180と導くことができます。一見、複雑な計算式をカンタンにできる。これこそが結合法則の武器です。
先ほど紹介したのは「乗法の交換法則」です。かけ算の場合ですね。この結合法則は足し算（加法）の場合にも適応できます。足し算の計算式でも臆せずじゃんじゃん使って行きましょう。
それじゃあ、ここまで勉強した「交換法則」と「結合法則」を抱き合わせるとどんなことが分かるのでしょうか？？
じつは交換法則と結合法則から、
加法・乗法の計算式では、どの項から計算してもいいし、どの項同士をくっつけてもいい
ということが言えます。つまり、自分が計算しやすいように項を自由に動かしていいのです。かつてフランス革命によりフランス国民に自由が与えられたように、「交換法則と結合法則」によって中学生に計算の自由が与えられたわけです。
ただし、ここで1つ注意点があります。
加法と乗法（たし算とかけ算）が混じった計算式では、
カッコ内の計算→乗法→加法
という計算順序があります。十分に注意して取り組みましょう。
最後に実際に「交換法則」と「結合法則」を利用して計算問題をといてみましょう。
見た目がかなりごっつく厳つい顔をしています。交換法則と結合法則を使わなかったら返り討ちをくらいそうな勢いです。
このモンスターを退治するために、さっそくモンスターを倒してみましょう。
どうやらこの式を眺めていると、
-389+89をしてしまえば、89という端数が消えて計算がカンタンに成りそうな気がします。しかも、残りの2つの項だって足せば丁度いい数になりそうな気がします。そこで、まず交換法則を用いて、
-389+89+43+57という具合に計算順序を入れ替えます。次に、結合法則により、 前後の2つの項のカップルをくっつけ合わせると、
(-389+89)+(43+57)=-300+100という計算式になります。シンプルになった計算式を根性で計算してみると、
(-389+89)+(43+57)=-300+100=-200という解が得られます。これは前から順番通りに計算していた頃よりかなり計算過程が楽でしたよね？？ その理由としては端数が消えるように「交換法則」と「結合法則」を使ったからです。
この計算式も見た目がかなりごっついですね。 光の速度でこの問題をとくために、交換法則と結合法則をつかってやりましょう。
まず、交換法則を使って計算の順番を入れ替えます。なぜなら、8134というモンスターを倒す前に(-20)\times5というきりが良さげな計算をしたいからです。
交換法則をつかうと、
5\times(-20)\times8134という計算式に変化します。結合法則を利用して計算を進ませてやれば、
\{5\times(-20)\}\times8134=(-100)\times8134=-813400という答えを抽出できます。ね？カンタンになりましたよね！？
ここまで紹介してきた「交換法則」と「結合法則」はいかがだったでしょうか？！？数学の教科書ではちらりと一瞬しか2つの法則を紹介していません。ただ、例題で分かる通り、
交換法則と結合法則を使えば計算問題がカンタンになります。
まるでその様子はドラえもんのスモールライトのごとく。交換法則と結合法則という2つの道具を難しい計算式にあててやれば、小さくなってしまいます。しかも交換法則と結合法則はドラえもんがいなくても使えちゃいます。 22世紀まで待たなくて済みそうですね。
それでは、また今度です。
Ken
正の数・負の数の基礎をみっちり学びましたか！？？ マイナスという新しい数学の概念。絶対値という想像しにくいアイデア。さらには数直線の使い方などを学習してきました。
これで中学数学の勉強でスタートダッシュを切れたも同然です。バナナにひっかからないように、中学数学の勉強をつづけてテストでいい点数をとってしまいましょう・・・・
ところが、です。
正の数・負の数の山場は「正負の数の計算」です。ここまで丁寧に基礎を固めまくってきましたが、それを使わねば話になりません。いわゆる宝の持ち腐れというやつです。
正の数・負の数の四則演算、つまり、たし算・ひき算・かけ算・わり算をマスターしなければ、中間テストで良い得点をたたき出すことはできません。
そこで今日は、正負の数の四則演算で使える問題解法のコツを、
加法（たし算）・減法（ひき算）・乗法（かけ算）・除法（わり算）
の4つの場合にわけて解説していきます。これから中間テストをむかえる中学生の方や、正の数・負の数の四則演算に苦手意識をもった方なんかが参考にしてくださると嬉しいです。
せっかくなので、加法・減法・乗法・除法の順番に計算のコツを紹介していきます。
正負の数の「加法（たし算）」で使える計算のコツは大きく分けて2つあります。これらのコツは、
正負の数の計算が「同符号」のものか「異符号」のものか分類する
ことがベースになっています。
1つ目の場合は、
同符号の正負の数の計算です。正の数・負の数の計算の中でもっともベーシックなタイプの問題です。
えっ。ちょうよくわからないですって！？ 具体的な正の数と負の数の計算問題を確認してみましょう。たとえば、
正の数＋正の数
負の数＋負の数
という計算があったとします。これは加法を行う項が同じ符号なので「同符号」の正負の計算と呼びましょう。この場合、
絶対値の足し算をしてから符号をつけたす
という計算手段をとります。たとえば、
(-2)+(-3)という計算問題があったとしましょう。これは負の数同士の「同符号」の足し算ですので、「符号は無視して絶対値の足し算」をします。(-2)と(-3)の絶対値の和は5ですので、そのあとに負の符号である-をつけたしてやると、
(-2)+(-3)= (-5)
という計算結果がえられます。これで同符号の正負の数「加法」はマスターしましたね！
それでは、「異符号」の正の数・負の数の足し算はどう計算するのでしょうか？？ 異符号同士の計算といえば、ちょうど次のようなものです。
正の数＋負の数
負の数＋正の数
これは先ほどの「同符号」の場合の計算よりも少々やっかいです。なぜなら、
という3ステップを踏まなければいけないからです。
ちょっとこれではよく分かりませんね？？ 足し算なのに引き算？？ ふざけんなああ！
なんて罵声が聞こえてきそうです。
わかりやすい計算例を出しましょう。たとえば、
-10+(+4)
という計算問題があったとします。先ほど説明した手順に沿って計算しようとしてみると、
という感じで答えが算出されました。手順を書き出してみるとかなり複雑ですね。 頭がこんがらがってはげてしまいそうです。こんなもやもやとして頭をスッキリさせてくれるのが、
数直線
というアイテムです。数直線を使えば、絶対値がどうとか符号がああーとか関係ありません。ものの3秒で「異符号」の加法問題をとけます。よかったですね！
数直線をつかった解法が気になる方は「【数の大小】数直線を使いこなす3つメリット」という記事を参考にしてみてくださいね。
つづいては正の数・負の数の「減法（ひき算）」の計算問題のコツの紹介です。
減法で使える計算のコツはただ1つ。
それは、
負の符号（マイナス）の後ろの符号が変化する！！
ということです。具体的には以下の2ステップを踏むことになります。
このコツに加えて先ほど紹介した「加法」の計算問題をとくコツを混ぜ合わせてやればもう怖い者なしです。例題をまじえて確認してみましょう。
たとえば、
(-9)-(-29)という正負の数の計算問題があったとしましょう。ここで気をつけたいのは、真ん中の「マイナス記号」の後の（-29）の符号が変化することです。そして、後ろの数の符号を変化させたマイナス記号は＋記号に変化します。
したがって、
(-9)+(+29)=20という計算結果になるわけですね！なるほどなるほど、後ろの数に符号の変化を与えた「マイナス記号」は効力を失い、＋の符号にもどってしまうという訳ですね。
これで正の数・負の数の減法の計算をマスターしました！
つづいては「かけ算（乗法）」の計算問題のコツです。ここでも先ほど同様に一つしか計算問題のコツがありません。それは、
乗法の中に含まれる「負の数」の数に注意する
ということです。えっ。負の数の数の何に注意すればいいのか分からないですって？！？
じつは、乗法の中の負の数の数が「奇数」なのか「偶数」なのかの2つ場合によって、計算結果の符号が異なるのです。
ということになります。理解を深めるために実際の例題を確認しましょう。たとえば、
2\times(-3)\times(-6)\times(+9)という計算問題があったとします。この乗法の計算式の中に含まれる「負の数」を数えてみると、
2つ！！
であることがわかります。
2という数は「偶数」です。
よって、計算結果は「正の数」になりますので、プラスの符号を計算結果につけてやればいいいのです。
すると、
2\times(-3)\times(-6)\times(+9)=324という答えを導くことができます。正の数と負の数が入り交じった乗法の計算式をみかけたら、まっさきに式の中に含まれる「負の数」の数を数えてくださいね。
お次は「除法」、つまり正の数・負の数の「わり算」です。
基本的には先ほど取りあげた「乗法」と同様に、
式に含まれる「負の数」の数をカウントすること
が大事です。それによって計算結果の正負の符号が決定します。ただ、除法をふくむ計算で気をつけなければならないこともあります。それは、
ある数の除法は、その数の逆数の乗法であること
です。つまり、逆数を用いてやれば除法は乗法と同じことなのです。もう小学校のときのように「かけ算はかけ算、わり算はわり算」というように分け隔てる必要はありません。一緒くたに考えることができます。
たとえば次のような正負の数の計算問題があったとしましょう。
2\times(-3)\div(-6)\div(+9)
ある数の除法はその数の逆数の乗法に等しい、
ということを利用してこの計算式を書き直してみると、
2\times(-3)\times(-\frac{1}{6})\times(+\frac{1}{9})となります。わり算の計算記号が消えてかけ算になりました。これは超らくちんですね！
除法の場合も乗法の計算の符号ルールが適応されます。この計算式に含まれるマイナスの符号は偶数であるため、計算結果は「正の数」ということになります。よって、この計算問題の答えは、
2\times(-3)\div(-6)\div(+9)=\frac{1}{9}となります。逆数をつかってやれば割り算がいらなくなります。いいですね、これ！
さて、それでは「たし算」「ひき算」「かけ算」「わり算」の4つを混ぜっこにした計算問題はどうすればいいのでしょうか！？？
このまぜまぜになって計算問題を数学の世界では「四則演算」と呼んでいます。なぜなら、「加法・減法・乗法・除法」の4つを合わせて「四則」と呼んでいるからです。ちょっとかっちょいいですね。
じつは、正の数・負の数の計算問題で気をつける「四則演算」の計算のコツは次の1つしかありません。
それは、
乗除を計算してから加減を計算する
というものです。つまり、「かけ算・わり算」を先に計算してから「たし算・ひき算」を計算すればよいのです。たとえば、
4-(-9)\times5という計算式があったとしましょう。先ほどの計算のルールに従い、まずはかけ算である、
(-9)\times5を計算します。
すると、
4-(-45)という加法と減法だけの計算式になります。これを冷静に落ち着いて計算してやれば、
4-(-45)=49と答えを算出できます。どうです？？シンプルでしょ？？？
ただし一つだけ注意点があります。それは、
()をふくむ四則演算
です。カッコを含む四則演算では【】内の計算を優先させなければなりません。ゆったら、カラオケで割り込みで曲を入れるようなものです。たとえば先ほどの例の式に{}がはさまり、
\{4-(-9)\}\times5という計算式を考えてみましょう。すると、{}内を先に計算せねばならないので、
\{4-(-9)\}\times5=13\times5=65となります。{}がひとつ入るだけで計算結果がぐいぐい違うので注意が必要です！
ここまで紹介した正負の数の計算問題のコツはいかがだったでしょうか？？ どれも基本的な学習事項ですので、しっかり押さえて正の数・負の数のテストに臨みたいですね。
何か質問とか不平がありましたらご連絡ください。お待ちしております。
それでは、また今度です。
Ken
絶対値の意味を理解したけど、問題がイマイチ苦手だ・・・・
絶対値の問題を2秒か3秒ぐらいで解いて女子にモテたい・・・
そんな悩みを抱えていませんか？？
絶対値の問題は必ず中学1年生の最初の中間テストで出題されます。絶対値の数学問題をスラスラとけないと他の問題に時間をさけなくなります。ひとによっては、絶対値の問題で頭をひねりすぎて試験時間いっぱいになってしまうかもしれません。
そんな苦しい状況にはまらないためには、絶対値問題の出題パターンをおさえることが大切です。中間テストでいい点数をとって悠々自適に暮らしましょう！
はい。
今日はそんな流れで、中間テストで使える「絶対値の問題を2秒でとくコツ」について記事をかいてみました。テスト勉強で絶対値の問題に苦手意識を持っている方は参考にしてみてくださいね。
中学数学テストで現れる絶対値の問題は2種類しかありません。
ポケモンの数である719種類と比較すると小さい数であることがわかります。
テスト問題をつくる数学の先生ごとに問題の詳細は異なります。厳しい先生は生徒を泣かすような数学問題を練り上げ、いつもニコニコしている優しい先生は思わず。顔になってしまう問題を出題しますよね。？？
ただ、絶対値の問題の本質を追い求めると、次の2種類の問題が浮かびあがってきます。
つまり、図で表現するとこうなります。
中学数学で出題される絶対値の問題は以上の2つしかないのです。種類が少ないと考えれば、テスト対策も簡単にできますよね。
絶対値の問題をクリアするために、絶対値の問題タイプについて詳しく見ていきましょう！
まずは整数を絶対値になおす問題です。たとえば、-90や-37や+2の絶対値を答えろこらお！といった問題です。ここでの問題解法のコツは、
整数の符号を100％無視する！
ということです。超シンプルですね。
数字の前についてる符号（＋か−）をなかったことにすればいいのです。現実世界で人の存在を無視することはイジメになります。だが、しかし、絶対値の問題ではとことん符号くんを無視しましょう。
「整数を絶対値に変換する問題」の具体例として、以下の2つの問題があげられます。
ひとつめの典型的な絶対値の問題は、「○○の絶対値を教えて？ねえ？」という問題。これはむちゃくちゃシンプルな問題です。筆をにぎる瞬発力があればものの2秒で解法できます。
たとえば次のような絶対値の問題があったとしましょう。
次の数の絶対値をいいなさい。
(a) -9
(b) +16
(c)-0.0008
(d) 3/8
ここでぼくらがすべきことは「数字の符号」を無視すること。これだけです。たとえば、(a)の-9でしたら、
数字の前のマイナスの符号を無視して、答えは「9」ということになります。
もし(d)の問題のように「＋も−も数字についていないパターン」の場合はどうすればいいのでしょうか？？
こういう場合は、問題の数字をそのまま答えてやりましょう！符号がついていない整数は「正の数」ですので、絶対値と実際の整数の値は一致しています。
ちなみに各問題の答えは、
(a) 9
(b) 16
(c)0.0008
(d) 3/8
です。数字の符号を無視するだけ？？ とてもシンプルでしょう！？
お次は、無造作に並べられた数字を「絶対値の大小」によって並べかえる問題です。さきほどの問題より複雑そうにみえます。がしかし、やることは(1)の場合と一緒です。冷静に符号を無視しましょう！
例題としてたとえば、
次の数を、小さい方から順に並べなさい。
また、絶対値の小さい方から順に並べなさい。
-0.0008, 0.3, 98, 0, 24, -80
なんて問題があったとしましょう。まずぼくらがやることは「マイナスの符号を無視すること」です。すると先ほどの問題の数たちは次のようになります。
0.0008, 0.3, 98, 0, 24, 80
です。その次は、これらの数字を小さい順に並べ替えてやるだけ、です。すると答えは次のようになります。（左から小さい数字）
0, 0.0008, 0.3、24, 80, 98
となります。やっていることは結構シンプルですね！
これら2つの絶対値の問題のタイプをおさえておけば大抵の絶対値問題をゼッタイにクリアできます。よかったよかった。
2つ目の問題のタイプは「絶対値から整数になおす」問題です。ある絶対値をもちうる整数を答えろごらあ！という問題です。ここでの問題解法のポイントはただ一つ。それは、
ある絶対値をもつ整数は正・負の2つ存在している（0をのぞく）
ということです。
理解を深めるために以下の例題を覗いてみましょう。
絶対値が7以下の整数をすべていいなさい。
この問題でまずはじめにぼくらがすることは、「絶対値が7である整数」を考えることです。「ある絶対値をもつ整数は正・負の2つ存在している」ということに気をつけると、
絶対値7をもつ整数 = -7と7
ということがわかります。これがわかればこの絶対値の問題がとけたも同然。問題が求めていることは「絶対値が7以下の整数」です。7の場合と同様に6以下のケースを考えてみます。すると、
絶対値6をもつ整数 = -6と6
絶対値5をもつ整数 = -5 と5
絶対値4をもつ整数 = -4と4
絶対値3をもつ整数 = -3と3
絶対値2をもつ整数 = -2と2
絶対値1をもつ整数 = -1と1
絶対値0をもつ整数 = 0
となります。ここで注意が必要なのは最後の「整数0」の場合です。整数ゼロは例外で「正負」の2つの整数が存在していません。絶対値0をもつ整数は0しかないという点に気をつけましょう。
すると、この問題の答えはつぎのようになります。
-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
の合計15個ですね！
中学数学には大きくわけると以上の2種類しかありません！ たった2種類ですよ？？ 割り箸を1つ使えば数えられちゃいます。わ、割り箸ですよ？？ ものすごくシンプルですね。
中間・期末テストで「絶対値の問題」が出題されそうになったら、この数学の記事を読み返してみてください。きっと、いま取り組もうしている問題が上の2種類のどちらかであるはずです。
それでは、また今度です！
Ken
こんにちは、この記事をかいているKenです。今日も一緒に中学数学の勉強をはじめましょう！
中学数学の「正の数・負の数」という最初の単元。
ここで一番存在感をかもしだしているのは、
絶対値（absolute value）
という数学用語です。
絶対値なんて小学校の算数では登場しなかったし、日常生活で使われることはありません。
決して、「おまえの絶対値すごいよなああ」なんて会話はしませんよね？
そこで、今日は、絶対値の意味をわかりやすく解説してみました。
絶対値の意味にピンときてないときは参考にしてみてください。
それでは、中学の数学で登場する「絶対値」の意味を確認してみましょう。
中学校の教科書には次のように「絶対値の意味」が解説されています。
数直線上で、0からある数までの距離を、その数の絶対値といいます
この絶対値の意味の説明文を読んだだけではおそらく、
「え？数直線？」
となってしまうでしょう。
たしかに堅苦しい説明ですし、わかりづらいし、おもしろくないですよね？？
はっきり言って、絶対値の意味の本質をとらえきれていません。
それでは絶対値の意味とは何なのでしょうか？！？
ズバリわかりやすく言ってしまうと、
「ある点」からの距離
です。
これこそ絶対値の本質的な意味なのです。理解を深めるために次のケースを考えてみましょう。
体育祭・運動会では徒競走がおこなわれますよね？？
このタイプの徒競走ならば、
誰が勝者なのかわかりやすい
という利点があります。
同じ方向に同じスタート地点からゴールを目指して走るからわかりやすいのですね。
がしかし、しかしです。
砂漠のど真ん中に、校庭を持っている学校での徒競走はどうなるのでしょうか？？
真っ白なラインをひけないし、第一、ゴールテープ持ち係があつくて立っていられないので、
10秒間でもっとも長い距離を走ったものを勝者とする
という徒競走のルールを定めました。
ここでいう「距離」とはスタート地点からの終了地点までの直線距離をあらわします。
図で表すとこんな感じになります。
この砂漠徒競走の最大のポイントは、
徒競走の勝敗に「走る方向」がまったく関係しない
ということです。
つまり、右に走っても左に走ってもいいのです。
勝敗に関係あるのは「スタート地点からどれだけ走ったか」ということだけ。
それ以外の「走る方向」だとか、「履いてる靴の重さ」とかまったく関係がありません。
上の例でいえば、スタート地点から200mを走り抜いたK君が勝者というわけですね。
この砂漠徒競走における、
スタート地点からの距離（方向は関係ない）
が絶対値のことなのです。
以上の砂漠の話をまとめると、
絶対値とはある点からの距離を表しています。
しかもこれは「ある点」からどの方向への距離か、ということは一切関係ありません。
右だって下だって構いません。
これを数学の絶対値に置き換え直すと、「ある点」とは0のことになります。
したがって、数学の絶対値とは、
0からの距離（＋だろうが−だろうが関係ない！）
のことなのです。
-9の絶対値は0から9離れているので絶対値は9。
同様に、15の絶対値は15、-200の絶対値は200というわけですね。
次回は中学数学に登場する「絶対値の問題の解き方」を解説していきます。
それでは、また今度です。
Ken
中学数学で一番はじめに乗り越えなければならない壁。
それが「正の数・負の数」という数学単元です。中学数学の最初の関門だけあって、かなりなめている生徒の方が多いのではないでしょうか！？
はあ？ 正の数？？ 負の数？？？ あんなの数学でもねえよ！
そんな挑戦的な態度を中学数学に叩き付けてくる方もいるかもしれません。ただ、この「正の数・負の数」という最初の数学単元をなめていると、とんでもなく痛い目に会う可能性があります。中学数学の基礎がゆえに、何度も復習を重ねねばならない単元なのです。
そこで今日は中学数学の最初の単元である「正の数・負の数」で理解するべき4つのポイントをわかりやすく解説していきます。部活とかクラスの人間関係で疲れている中学生！この記事を読んで中学数学を復習してから睡眠をとるようにしましょう！
「正の数・負の数」で理解すべきポイントを4つ紹介していきます。
正の数・負の数でおさえるべき1番目のポイントは「負の数」について。小学校で散々習ってきた算数には正の数（＋の数）は当たり前のように出現してきました。つるの足の数を数える時も、亀の甲羅を数えるときも、ポケモンの名前を覚えるときも、必ず正の数をつかってきましたね。
誰一人として、
き、昨日は-9匹のポケモンをゲットしたぜ！！
と叫びません。いくらポケモンマスターでもそんな失態は犯さないでしょう。
しかし、中学数学ではこの負の数をいきなり使いこなさなくてはいけません！高校へ行っても大学へ行っても社会人になっっても、このマイナス（負の数）は知っていないと話になりません。中学数学の入り口で負の数の定義をしっかりと抑えておきましょう。
負の数とは何か？？ これをWikipediaで確認してみると、
0より小さい実数である。
0を境に正の数と負の数が仕分けされている。つまり、0より0.0000001でも大きかったら正の数。0.000000009999でも小さかったら負の数になります。この「0（ゼロ）」が正の数・負の数の境界線になっていることに注目してくださいね。
板書きたねえー。
負の数を学習する際に１つだけ知っておくべきことがあります。
それは、マイナス記号を省略できないということです。つまり、負の数の「-8」という数字を表現したい場合、「マイナスハチ」とか「8」のように「マイナス記号（-）」 を省略することができないのです。これは非常に見落としがちな点。
一方、プラスの記号はどうなのでしょうか？？ じつは＋記号に関しては省略する事ができます。
8という数字を、「+8」と表記することができるし、「8」とシンプルに記号を省略することができます。
えっ。それでは何故負の数の記号を省略できなかったのでしょうか？？？
その理由は、
負の数を表現する方法が「-」という記号１つのみだからです。これ以外に手段がないゆえに、マイナス記号を使わざるを得ないのです。
中学数学の最初の単元「正の数・負の数」では、負の数の説明によく数直線が用いられます。数直線とは、正の数と負の数の関係性を図で表現したもの。たとえば、こんな感じです↓↓
この数直線をすんなりと理解するためのポイントは「左右の大小関係」を把握することです。一体、誰が決めたのかわかりませんが、数直線では「ゼロより左が負の数」、「ゼロより右が正の数」という決まりがあります。ゼッタイにその逆の数直線は存在し得ません。これは地球が右回りに自転する自然現象と一緒。その事実に理由はないのです。
左は負の数、右は正の数
ということを頭に叩き込んでおきましょう。
最後にこの節で大切なことは「絶対値」をゼッタイに理解することです。教科書通りに絶対値を理解すると、
ゼロ（原点）からの距離
ということになります。これはシンプルでわかりやすい。しかし、もっと面白くて。える絶対値の捉え方があってもいいのではないでしょうか。そこでぼくは個人的に絶対値を「木村拓哉」と「モテナイ男（ぼく？。）」を例にとって考えてみました。
木村さんはご存知の通り、世の中の女性から「抱かれたい男ランキング1位」として選出されています。何年も連続で。そんな二人のイケメン度合いを数直線にとってみると、
こうなります。両者のイケメン度合いの開きはじつに、１５。なぜなら、モテナイ男が-9、キムタクが6のイケメン度合いを獲得しているからです。正の数・負の数という整数の観点からみれば、この両者の勝負はキムタクの圧勝でおわります。
がしかし、しかし。
ここで絶対値というスケールを使ってみましょう。絶対値とは「原点０からの距離」でしたね。
あるモテナイ男の絶対値 = 9
キムタクの絶対値 = 6
となります。つまり、このことからわかるのは、モテナイ男のほうがキムタクより女性に与えるインパクトがもの凄く大きいということです。たとえ、女性にモテなくても莫大な印象を残す事ができる。その整数が持つインパクトの大きさをみることができるのが「絶対値」なのです。この絶対値はこれからも末永く使う概念ですのでシッカリ抑えておきましょう。
以上で中学数学の入り口「正の数・負の数」で理解すべきポイントでした。これから迫りくる中学数学モンスターたちに、今日学習したポイントを思い出して戦っていきましょう！
次回は、正の数・負の数を交えた四則演算についての記事を書いていきますね。
それでは！
Ken
