二重根号の外し方の公式 って便利だよな。
二重根号の外し方の公式
$a>0, b>0のとき, $
$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$a>b>0のとき,$
$ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
なんせ、2重のルートを1重にできるんだからな。
使い方もシンプルで、
という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいい。
でもさ、この二重根号の公式って何で使えるんだろうな。
ちょっと話がうますぎやしねえか。
ってことで、ここでは二重根号の公式の証明に挑戦しようぜ。
まずは二重根号の外し方の公式のうち、プラスバージョンからだ。
プラスの公式
$a>0, b>0のとき, $
$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
中身の2ルートの前が「プラス」になっている場合の公式な。
まずはルートの中身（$a+b+2\sqrt{ab}$）を因数分解するぞ。
こいつを因数分解すると次のようになる。
$$a+b+2\sqrt{ab}$$
$$=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+2\sqrt{ab}$$
$$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$$
この因数分解では中学数学の「因数分解の平方の公式」を使ってるな。
ってことで、二重根号（$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$）は次のようになる。
$$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$$
$$=\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+2\sqrt{ab}}$$
$$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$$
お次はこの前習った「絶対値記号を使った平方根の外し方」を使うぞ。
$$\sqrt{a^2}=│a│$$
だったよな。
ルートの中身が「何か」の2乗になっていれば、その「何か」に絶対値記号をつけてルートを外せるんだ。
$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$の中身は「$\sqrt{a}+\sqrt{b}$」の2乗になってるな。ってことは、
$$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$$
$$=│\sqrt{a}+\sqrt{b}│$$
となる。
お次は絶対値記号を外すぞ。
絶対値記号を外す時の法則は次のもんだったな。
$$a≧0 のとき │a│ = a$$
$$a<0 のとき │a│ = -a$$
つまり、絶対値記号の中身が0以上なら符号をそのままはずせて、0より小さいなら符号を逆転させて絶対値記号を外すんだ。
二重根号を変形したやつを見てみるぞ。
$$│\sqrt{a}+\sqrt{b}│$$
絶対値記号の中身（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）は、0より大きくなるよな。なぜなら、$a>0, b>0のとき,$っていう条件が二重根号のプラスの公式に与えられているからだ。
$a>0, b>0$なら$\sqrt{a}>0, \sqrt{b}>0$、つまりは$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$。
ということは、絶対値記号の中身が0より大きい！
そん時はそのまま絶対値記号外せるんだったよな。
つまり、
$$a>0, b>0より,$$
$$│\sqrt{a}+\sqrt{b}│$$
$$=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
となる。
これで二重根号のプラスの公式を証明できたぜ。
続いてはマイナスの公式の証明だ。
二重根号のマイナスの公式は次のようなものだったな。
マイナスの公式
$a>b>0のとき,$
$ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
これもさっきのプラスの公式と同じ流れだから安心しろ。
$$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$$
$$=\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab}}$$
$$=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$$
$$=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$$
$$=│\sqrt{a}-\sqrt{b}│$$
$$a>b>0より, \sqrt{a}-\sqrt{b}>0$$
$$│\sqrt{a}-\sqrt{b}│$$
$$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$
うん、証明できたな。
ポイントは絶対値記号を外す時だ。二重根号のマイナスの公式を使う前提だった「$a>b>0$」に注目。
$a$が$b$より大きい、ってことは、$\sqrt{a}$の方が$\sqrt{b}$より大きいってことだな。
ってなわけで、絶対値記号の中身「$\sqrt{a}-\sqrt{b}$」は0以上だから、そのまま絶対値記号を外せるんだ。
二重根号の証明につかったのは、
だったな。
それじゃあ！
中学数学ではいろんな根号を外してきたな。
高校数学では2ステップぐらい上がって、
二重根号
を外していくぜ。
二重根号とは文字通り根号が2重になっているやつだ。
根号の中に根号がある、つまりは、ルートの中にルートがあるんだ。聞いただけでやっかいだろ？
例えば次のやつが二重根号だ。
$$\sqrt{7+2\sqrt{6}}$$
初めて見た時はビビるかもしれえねえが、安心しろ。
ありがたいことに、
二重根号を簡単に外せる公式があるんだ。それは次の2つだ。
$a>0, b>0のとき,$
$ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$a>b>0のとき,$
$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
$2\sqrt{ab}$の符号がプラスなのかマイナスなのかで2パターン公式があるんだ。
どっちの公式でも使い方は大体一緒だ。
要は、
という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。
そして、そのセットにそれぞれルートをつけたやつを足すのか、それとも引くのかするわけだ。
それじゃあ具体的な例を解いていこう。
$$\sqrt{7+2\sqrt{6}}$$
まずは最初に見たこいつな。
要は、
という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。
そいつは・・・・そう、
のセットじゃあるまいか？
だって、こいつらたしたら「$7$」だし、かけたら「$6$」だもんな。
ってことで、二重根号の外し方の公式でいう$a$と$b$は、
となる。ゆえ、
$$\sqrt{7+2\sqrt{6}}$$
$$=\sqrt{6}+1$$
になるな。
たまに、二重根号の中に「2ルートがない」問題があるんだ。
例えば次のようなものがな。
$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$
「2ルート」じゃなくて「4ルート」になっている・・・と。
こういう時はな、
2を強引に作って公式で突破していくぞ。
「4ルート」を「2ルート」にすればいいよな。ルートの中身に$2^2$をかけりゃ、「4ルート」を「2ルート」にできる。
$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$
$$=\sqrt{7-2\sqrt{3×2^2}}$$
$$=\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$
この変形が終わったら、あとは公式通り。
という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。
そいつは・・・・そう、
のセットじゃあるまいか？
だって、こいつらたしたら「$7$」だし、かけたら「$12$」だもんな。
でも、この公式はマイナスバージョンであることに注意しようぜ。
マイナスバージョンの公式は
$$a>b>0$$
という条件がある。つまり「 $a$のほうがでかい」んだ。
ってことで、二重根号の外し方の公式でいう$a$と$b$は、
ゆえ、
$$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$
$$=\sqrt{4}-\sqrt{3}$$
$$=2-\sqrt{3}$$
になるな。
でもちょっと次の問題を見てほしい。
$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$
こいつも「2がない二重根号の問題」だ。が、しかし、こいつはちょっと厄介。
ルートの前に何もついてないパターンだ。
この場合、さっきみたいに「2ルート」を強引に作ると、二重根号の中身が分数になっちゃうんだ。
$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$
$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$
$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$
でもな、安心しろ。
分数があろうがなかろうが、やる事は同じだ。
つまり、
無理矢理、二重根号の中身に「2ルート」の形を作って公式に当てはめるだけだ。
すると次のようになる。
$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$
$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$
$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$$
あとは公式を分子の$\sqrt{10+2\sqrt{21}}$で使えばいいな。
という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいい。
そいつは・・・・そう、
のセットじゃあるまいか？
ってことで、
$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$
$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$
$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{2}×(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$$
$$=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2}$$
オッケー、最後はちょっと厄介だったが、これでゲームクリアだ。
次はこの二重根号の公式がなぜ使えるのか、っていう証明をやっていこう。
証明までマスターしておけば、公式を本番で忘れても大丈夫だからな。
それじゃな！
平方根（ルート）の外し方は中学数学でもやってきたな。
高校でもルートはずしまくるんだが、ワンステップ進んで一味一味違う外し方を習得していくぜ。
なんとな、
絶対値記号で平方根を外す
んだ。
高校数学では次の法則を使っていくぞ。
$$\sqrt{a^2}=│a│$$
つまり、ルートの中身が「何かの2乗」なら、ルートを取っ払って、絶対記号をつければルートを外せるんだ。
例えば、
$$\sqrt{3^2}$$
を考えてみよう。
$3^2$は「3を2乗した数」だよな。
ルートの中身が「何かの2乗」なら、ルートを取っ払って、絶対記号をつければルートを外せる
から、
$\sqrt{3^2}$
$=│3│$
となる。
で、絶対記号の中身の「3」は0以上だから、絶対値記号もそのまま取っ払える。
$\sqrt{3^2}$
$=│3│$
$=3$
になるな。
これはルートの中身がマイナスの負の数を2乗しているパターンでも同じさ。
例えば、
$$\sqrt{(-10)^2}$$
だったら、ルートの中身が「-10を2乗した数」だ。絶対値記号を「-10」につければルートをおさらばできるから、
$\sqrt{(-10)^2}$
$=│-10│$
となる。で、絶対値記号の中身がマイナスならマイナスをつけて絶対値記号を外すんだったよな。ってことで、
$\sqrt{(-10)^2}$
$=│-10│$
$=-(-10)$
$=10$
となる。
なぜこの法則が使えるかって？？
それは、ルート・平方根の意味に立ち返るとわかるぞ。
平方根（ルート）は
2乗したら「ある数」になる数のこと
だったよな。そして、ルートの中身にその「ある数」が入ってる。
例えば、$\sqrt{2}$ なら、そいつを2乗すれば中身の「$2$」になるって話さ。
だから、ルートの中身が何かの2乗だったら、そもそもルートの記号なんか必要ない。
その正体は、ルートの中身の数、ってことになる。
$\sqrt{9}$ ならその正体は「2乗して9になる数」。$3^2$は$9$だから、$3$になるはずだよな。
という流れを、高校数学では絶対値記号で表しているんだ。
普通の平方根を外せるようになったら、お次は二重根号を外そうぜ。
それじゃな！
