この前は一次不等式の解き方を勉強してきたな。
今日はもう一歩進んで、
小数を含む一次不等式の解き方
を勉強していこう。
例えば、次のような$x$についての不等式だ。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
小数第2位まである数、小数第1位まである数、そして整数まで混じっている。
見た目はちょっと面倒そうだよな。
でも、臆することはないぞ。
小数を含む一次不等式では、
最初に小数を整数にしてしまえばいい
んだ。
つまり、不等式の両辺に10や100などをかけて、小数点を消し去ってやるのさ。
小数を掃除できたら、あとはいつもの一次不等式と同じように解けばいい。
それじゃあ、さっきの例題を解いてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
まずは、不等式に含まれている小数をチェックしてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
この中には、
$$0.25$$
$$0.4$$
$$1.5$$
という小数があるな。
さらに、
$$3$$
という整数も混じっている。
ここで注目したいのは、
一番細かい小数が小数第何位まであるか
だ。
今回、一番細かいのは、
$$0.25$$
だな。
0.25は小数第2位まである。
そこで、不等式の両辺に「100」をかけてみよう。
$$0.25x+3>0.4x-1.5$$
$$100(0.25x+3)>100(0.4x-1.5)$$
$$25x+300>40x-150$$
ほら、小数が全部なくなっただろ。
これでかなり計算しやすくなったな。
ここで注意したいのは、
小数の項だけに100をかけるわけではない
ということだ。
例えば、
$$3$$
も不等式の左辺にある項だから、
$$3×100=300$$
になる。
つまり、
不等式の両辺にあるすべての項に100をかける
んだ。
「小数だけ100倍して、整数はそのまま」
なんてことをすると、元の不等式とは別物になってしまうから気をつけよう。
じゃあ、小数を整数にするには何をかければいいのか。
基本的には、
小数第1位までなら10
小数第2位までなら100
小数第3位までなら1000
を両辺にかければいい。
例えば、
$$0.4x+1.2>3$$
なら、小数第1位までしかないので、
$$10$$
を両辺にかければいい。
$$0.4x+1.2>3$$
$$4x+12>30$$
となる。
一方、
$$0.06x+1.25<2$$
なら、小数第2位まであるので、
$$100$$
を両辺にかける。
$$0.06x+1.25<2$$
$$6x+125<200$$
となるぞ。
だから、
一番桁数の多い小数に合わせて10、100、1000……をかける
と覚えておこう。
小数を消したら、ここからは普通の一次不等式と同じだ。
さっきの例題は、
$$25x+300>40x-150$$
まで変形できたな。
文字の項を片方に、数字だけの項を反対側に集めよう。
$$25x+300>40x-150$$
$$25x-40x>-150-300$$
$$-15x>-450$$
移項するときは、符号が変わることに注意してくれよな。
例えば、
$$+40x$$
を左辺に移項したら、
$$-40x$$
になる。
同じように、
$$+300$$
を右辺に移項したら、
$$-300$$
になるぞ。
最後に、文字の係数で不等式の両辺を割るぞ。
今、
$$-15x>-450$$
となっている。
$x$の係数は、
$$-15$$
だな。
ここで注意だ。
不等式の性質で勉強したように、
負の数で不等式の両辺をかけたり割ったりすると、不等号の向きが逆転する
んだったな。
今回は両辺を、
$$-15$$
で割る。
だから、
$$-15x>-450$$
$$-15x÷(-15)<-450÷(-15)$$
$$x<30$$
となる。
したがって答えは、
$$x<30$$
だ。
小数を含む一次不等式が出てきたら、次の順番で解けばいい。
① 一番細かい小数が小数第何位まであるか確認する
② 両辺に10、100、1000……をかけて小数を整数にする
③ 移項して、文字の項と数字の項を整理する
④ 文字の係数で両辺を割る
そして、
負の数で両辺を割るときは不等号を逆転させる
ことを忘れないようにしよう。
小数第1位、小数第2位、整数が混じっていても大丈夫だ。
一番細かい小数に合わせて10や100をかければ、一気に整数だけの不等式にできる
んだ。
次は連立不等式の解き方を勉強していこう。
それじゃあ！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数を使った文章題を解くぞ。
高校数学Iの二次関数では、たまに文章題が出題されるよな。
例えば、次のような問題さ。
長さ、$24\mathrm{m}$のフェンスを使って、まっすぐな壁に接する長方形の花壇を作る。
壁に接する辺にはフェンスを設置せず、残りの3辺だけをフェンスで囲む。
花壇の面積を最大にするには、壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
また、そのときの花壇の最大面積を求めてみよう。
こんな感じの二次関数の文章題が出ても、まあ落ち着けよな。
文章題では、次の順番で考えるといいぞ。
文章題では、いきなり平方完成するんじゃない。まず、どの長さをxと置けば面積を表しやすいかを考えるんだ。
よし、今回は「壁に垂直な辺の長さ」を、$x$mとするぞ。
壁に垂直な辺を何mにすればよいだろうか。
って問題に書いてあるからな。文章題で求めたいものをxと置くのが鉄則だ。
同じ長さの辺が2本あるので、この2辺に使うフェンスの長さは、
$$
2x
$$
mである。
フェンス全体の長さは、
$$
24\mathrm{m}
$$
なので、残りの壁と平行な辺の長さは、
$$
24-2x
$$
mとなるな。
文章中で、
花壇の最大面積を求めてみよう。
って書いてあるから、求めたい量は「花壇の最大面積」で間違いないよな。
ってことで、花壇の面積を、$S$平方メートルとする。
長方形の面積は、
$$
縦\times横
$$
である。
したがって、
$$
S=x(24-2x)
$$
となる。
これを展開すると、
$$
S=24x-2x^2
$$
である。
項の順番を整えると、
$$
S=-2x^2+24x
$$
となる。
これで、花壇の面積を、
$$
x
$$
の二次関数として表すことができた。
文章題では、式を作ったあとに、
$$
x
$$
がとれる範囲を確認する必要がある。
壁に垂直な辺の長さは正なので、
$$
x>0
$$
である。
また、壁と平行な辺の長さ、
$$
24-2x
$$
も正でなければならない。
したがって、
$$
24-2x>0
$$
である。
この不等式を解くと、
$$
-2x>-24
$$
両辺を、
$$
-2
$$
で割るので、不等号の向きが変わり、
$$
x<12
$$
となる。
よって、定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
面積は、
$$
S=-2x^2+24x
$$
であった。
これを平方完成する。
まず、
$$
-2
$$
をくくり出す。
$$
S=-2(x^2-12x)
$$
となる。
ここで、
$$
x^2-12x
$$
を平方完成する。
$$
(x-6)^2=x^2-12x+36
$$
なので、
$$
x^2-12x=(x-6)^2-36
$$
である。
したがって、
$$
S=-2\{(x-6)^2-36\}
$$
となる。
かっこを外すと、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
である。
平方完成すると、花壇の面積は、
$$
S=-2(x-6)^2+72
$$
と表せる。
この式のグラフは、頂点が、
$$
(6,\ 72)
$$
である下に開く放物線になる。
また、花壇として成立するための定義域は、
$$
0<x<12
$$
である。
グラフを見ると、定義域内で最も高い点は頂点であることがわかる。
頂点の、
$$
x
$$
座標は、
$$
6
$$
であり、
$$
0<6<12
$$
なので、頂点は定義域内に含まれている。
したがって、
$$
x=6
$$
のとき、面積は最大になる。
そのときの面積は、頂点の、
$$
S
$$
座標である、
$$
72
$$
平方メートルである。
よって、
$$
\boxed{x=6\mathrm{m}のとき最大面積72\mathrm{m}^2}
$$
となる。
面積の式は下に開く放物線になる。頂点のx座標が6なので、x=6のとき面積が最大だ。
よし、あとは壁と平行な辺の長さだ。
$24-2x$mだから、
$$
24-2\cdot6
$$
となる。
計算すると、
$$
24-12=12
$$
である。
したがって、面積が最大になるときの花壇は、
$$
壁に垂直な辺：6\mathrm{m}
$$
$$
壁と平行な辺：12\mathrm{m}
$$
となる。
よし、以上だ。
今回は、二次関数の文章題として、フェンスを使って作る花壇の面積を最大にする方法を確認した。
という解き方だったが、つまりは
問題文で求めたいものをxと置いて、あとはいつも通りに二次関数の問題を解けばいいんだな。
文章から二次関数を作れれば、あとは平方完成して頂点を調べるだけだ。長さをxで表し、面積の式を作る流れを身につけよう。
それじゃあな。
前回、「場合わけなし」の絶対値記号をふくむ不等式の解き方を勉強してきたよな。
今回は場合は分けありの絶対値記号をふくむ不等式の解き方を勉強していくぞ。
前回勉強してきた「場合分けなし」の解き方は例外中の例外中の例外だ。
それ以外のパターンの絶対値記号をふくむ不等式は、場合わけありで解いていこうな。
早速、場合わけありのやり方を解説していくぞ。
次の例題を一緒に解いていこう。
$$│x-1│<\frac{1}{3}+2$$
まず場合分けをして絶対値記号を外していこう。
えっ、どうやって場合分けするのかって？？
それはな、
の2通りで場合分けするんだ。
なぜなら、絶対値記号の中身が0以上か0未満かによって、絶対値記号を外した後の符号が変わるからだな。
絶対値記号の外し方を復習しとこうか。
ってことで、例題の不等式は次のように場合分けをして絶対値記号を外せるな。
絶対値記号の中身が0以上のとき（$x-1≧0$）、つまり$x≧1$のとき、
$$x-1<\frac{1}{3}x+2$$
絶対値記号の中身が0未満（$x-1 < 0$）、つまり$x > 1$のとき、
$$-(x-1)<\frac{1}{3}x+2$$
ここまでで2つの不等式が誕生したな。
次はこれらの不等式をそれぞれ懇切丁寧に解いていくぞ。
ポイントは、一次不等式を解いた後にやってくる。
の共通範囲を求めなければならないんだ。
だから、これらの不等式たちは一次不等式というよりは連立不等式に近いな。
例題に戻って、2つの不等式をそれぞれ解いてやると次のようになる。
絶対値記号の中身が0以上のとき（$x-1≧0$）、つまり$x≧1$のとき、
$$x-1<\frac{1}{3}x+2$$
$$3x-3<x+6$$
$$2x<9$$
$$x<\frac{9}{2}$$
条件$x≧1$との共通範囲は、
$$1≦x<\frac{9}{2}$$
になる。
絶対値記号の中身が0未満（$x-1 < 0$）、つまり$x > 1$のとき、
$$-(x-1)<\frac{1}{3}x+2$$
$$-x+1<\frac{1}{3}x+2$$
$$-3x+3<x+6$$
$$-4x<3$$
$$x>-\frac{3}{4}$$
条件$x > 1$との共通範囲は、
$$-\frac{3}{4}<x<1$$
になる。
ここまで2つの不等式の解が得られたな。
最後に、この2つの不等式の解の共通範囲を求めていこう。
例題だと、
の共通範囲を求めればいいよな。
すると、そいつはこうなるはずだ。
$-\frac{3}{4}<x<\frac{9}{2}$
迷った時は数直線で確かめるといいぞ。
こんな感じで、場合分けありの解き方は厄介だ。
なんせ、共通範囲を求める作業が2回も発生しているからな。
めんどくさいかもしれないが、めんどくさいほど先生はテストに出したがるものだ。
怠らず油断せずに解き方を習得しておこう。
不等式の勉強はここらにして、次はお待ちかねの二次方程式を勉強していくぞ。
それじゃあなぁ！
ここまでで絶対値の記号をふくむ方程式の解き方を2種類やってきたよな。
お察しのようにこの世界には、
絶対値記号がふくまれる不等式
も存在しているぜ。
ありがたいことに、この不等式の場合にも次の2種類の解き方があるんだ。
今日はそのうちの「場合分けしない」簡単な解き方を紹介していくぞ。
残念ながら、不等式の事情は方程式と同じだ。
例外中の例外をのぞけば、場合わけが必要だぜ。
で、その例外中の例外ってやつは、次のタイプの不等式だ。
│文字式│ 不等号 文字以外の項
絶対値記号に文字が挟まっていて、さらに不等号の逆サイドには文字がない問題ってわけな。
このタイプの問題では次の公式を使える。
公式
$a>0のとき、$
$│x│<aの解は -a<x<a$
$│x│>aの解は x<-a, a<x$
なぜこの公式が使えるのか？
それは数直線を書いてみるとわかるぞ。
絶対値とは
原点0からの距離
だったよな。
「絶対値がある数より大きい」っていうシチュエーションだったら、次の2つの可能性がある。
絶対値が小さい場合でも同じように考えればいいんだ。
絶対値がある数より小さいってことは
の間の範囲になる。
うん、この公式は便利そうだ。
でも、なぜ全てが場合しない方法で解けないのか気になるよな。
それはな、不等式の領域の境界に文字が入っていると、文字が変化したら不等式の領域もグラグラしちまうよな。
例えば、不等式の境界に$x$文字が含まれていたら、$x$が変化するとこの領域の境界も変化しちまう。
だから、この例外中の例外を除いて、俺たちは絶対値記号をふくむ不等式を見たら場合分けしなきゃいけないんだ。
それじゃあ早速実戦だ。
次の絶対値記号をふくむ不等式を解いてみよう。
$$│x│>2$$
オッケー、こいつぁ、うまい具合に
│文字式│ 不等号 文字以外の項
の形になってる不等式だな。
ってことで、場合分けしないでもいい。
だから、最初に見てきた公式のうちの次のものが使えるはずだ。
$a>0のとき、$
$│x│>aの解は x<-a, a<x$
今回は$a$が$2$ってわけだから、この絶対値記号をふくむ不等式は次のようになる。
$│x│>2$
$x<-2, 2<x$
これに限るな。焦らずゆっくり着実に不等式を解いていこう。
次は「場合分けありの不等式の解き方」を勉強していこう。
そんじゃ！
前回は場合分けしない絶対値記号をふくむ方程式の解き方を勉強してきたな。
じつはな、あれは例外中の例外のラッキーパンチ。
残念ながら、現実はこうだ。
絶対値記号が含まれる方程式を見つけたら、
まず場合分けするもの
と思っておこうな。
本来すべての絶対値記号をふくむ方程は「場合分けが必要」なんだ。
今日はその場合分けバージョンの解き方を勉強していこう。
この解き方の基本は次のものだ。
絶対値記号を外して、あとはいつも通りに解く！
絶対値記号の外し方は次のものだったな。
$$a≧0 のとき │a│ = a$$
$$a<0 のとき │a│ = -a$$
つまり絶対値記号の中身が0以上ならそのまま記号を外せる。
中身が0より小さいなら マイナスをつけて絶対値記号を外せるんだ。
この法則を使って方程式に含まれ絶対値記号を外していくぞ。
でもさ、絶対値記号の中身って文字が入ってるよな。
文字は正体不明だから、0より小さいのかでかいのかわかんねぇってことだ。
この正体不明問題に対処するため、絶対値記号の中身が次の2パターン考えねえといけねえ。
この2パターンで場合分けをして、それぞれの場合で方程式を解いて解を求めていけばいいのさ。
以上が解き方の基本だ。
今回は次の例題を解いてみよう。
$│x− 3│ = 5x$
最初にやるべきなのは場合わけな。
の2パターンで考えていこう。
今回の例題では絶対値記号の中身は、
$$x-3$$
だ。ってことで、場合分けは次のようになる。
これを不等式で表すとこうなる。
そして、移項で整理するとこうなる。
それぞれのパターンで絶対値記号を外して方程式を作ってみるぜ。
$x≧3のとき、$
$ x-3 = 5x$
$x<3のとき、$
$-(x-3) = 5x$
2パターンできたらそれぞれの方程式を解いていくぞ。
解き方は中学中学で勉強してきた一次方程式のやり方と同じだ。
つまり、
（文字の項）＝（文字以外の項）
となるように方程式を変形して、最後に文字の前の数（係数）で両辺をわりゃいいな。
このやり方で解いてやると次のようにそれぞれ解けるはずだ。
$x-3≧0のとき、$
$ x-3 = 5x$
$ x-5x = 3$
$ -4x = 3$
$ x = -\frac{3}{4}$
$x<3のとき、$
$-(x-3) = 5x$
$-x+3 = 5x$
$-6x = -3$
$x = \frac{1}{2}$
これでオッケーじゃあねえ〜と平和に行きたいところだが、ちょっと待った。
最後にやらなきゃいけないことがあるんだ。
それは、
解を吟味する
だ。
つまり、得られた解が本当に正しいのかチェックしなきゃいけないんだ。
じゃあ、どうやってチェックするのかって？？
それはな、
最初に設定した「場合分けの条件」に解がマッチするか調べるんだ。
具体的に見てみるぞ。
まずは1つ目の解からだ。
$x≧3のとき、$
$ x = -\frac{3}{4}$
こりゃ、正しくねえ。
だって、解の$ -\frac{3}{4}$は$3$より小せえからな。
次、2つ目の解をチェック。
$x<3のとき、$
$x = \frac{1}{2}$
こりゃ、いけるな。
だって、解の$ \frac{1}{2}$は$3$より小せえからさ。
ってことで、この方程式の解は、
$x = \frac{1}{2}$
だけ、ってことになる。
以上が場合分けありの絶対値をふくむ方程式の解き方だ。
めんどくさいかもしれねえが、これも正しい解を得るためならやむを得ないことなんだ。
手間を惜しんでテストで間違えるより1000倍ぐらいマシだよな？
方程式に絶対値記号が入っていて、場合分けなしの例外形じゃなかったら場合わけしてこうな。
それじゃあ！
前回「連立不等式の解き方」を見てきたよな。
今日はもう1歩踏み込んで、
連立不等式の文章題
を解いてみよう。
例えば次の問題だ。
あるところに所持金が1500円の男がいました。その男はマスターから買い物を頼まれ、リンゴとレモンを調達せねばなりません。
近所のスーパーではリンゴが150円、レモンが100円でした。
マスターは合計で10個のリンゴとレモンが欲しいようです。そして「リンゴの方が好きなのでリンゴの方が多く買ってきてほしい」という要望もありました。さてこの男性はリンゴを何個買えばいいでしょうか。
それじゃあ早速この文章問題解いていくぞ。
連立等式の文章題の解き方は次の3ステップだ。
まず最初に、
文章内で求めたいものを文字（$x$）でおこう。
この鉄則は、一次方程式の文章題でも、連立方程式の文章題でも、二次方程式の文章題でも同じだ。
例の文章題をみると、最後の方に
さてこの男性はリンゴを何個買えばいいでしょうか
って書いてある。つまり、
男が買わねばならないリンゴ数
を求めなきゃいけないな。
ってことで、
男が買わねばならないリンゴ数 = $x$個
としてみよう。
求めたいものを文字に置いたら、次は不等式を作っていくぞ。
連立不等式は、2つの不等式を用意すれば解けるな。
不等式とは、
2つの等しくない数の関係を表すもの
だった。
だから、文章から「2つの等しくない数量」を探すんだ。
1つ目は、合計金額について。
リンゴとレモンを買った合計金額は所持金の1500円より小さくないと買えないよな。
つまり、
（リンゴとレモンを買った合計金額）＜（所持金の1500円）
という不等式が成り立つ。
2つ目の大小関係はリンゴとレモンの個数だ。
リンゴとレモン10個合計で必要なんだけど「リンゴのほうが多く」買わないといけないんだ。
つまり、
（リンゴの数）＞（レモンの数）
という不等式になりそうだ。
って感じで、不等式を2つ立てていくぞ。
すると、次のような連立不等式になる。
$$\begin{cases} 150x+100(10-x)<1500 & \\ x>10-x & \end{cases}$$
あとは不等式の基本的な解き方に基づいてとくだけ。
連立不等式では、
複数の不等式の解の共通範囲を求めればよかったな。
例題で作った2つの不等式を解いてみると、次のようになる。
（1つ目）
$$150x+100(10-x)<1500$$
$$150x+1000-100x<1500$$
$$50x<500$$
$$x<10$$
（2つ目）
$$x>10-x$$
$$2x>10$$
$$x>5$$
つまり、連立不等式はこうなる。
$$\begin{cases} x<10 & \\ x>5 & \end{cases}$$
んで、共通範囲を視覚的にあぶりだすために数直線を書く。
うん、つまり2つの不等式の共通範囲は次のようになる。
$$5<x<10$$
$x$はリンゴの個数だったな。
リンゴの個数は小数と分数とかでもない、正の整数だ。
つまり、リンゴの個数は6〜9個のいずれかでオッケーってわけだ。
こんな感じで、連立不等式の文章題だろうが、文章題攻略の基本は変わらねえ。
「求めたいものを文字でおく」という基本さえ間違えなければ、こっちのもんさ。
それじゃあな！
ここまでで基本的な不等式の解き方をマスターしたよな。
でもな、これで許してくれないのが数学ってもんよ。
次は、
連立不等式（れんりつふとうしき）
が登場するぜ。
連立不等式とは、
2つ以上の不等式が1つのグループになったものだ。
例えば次のような感じ。
$$\begin{cases} 2x+1<x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
複数の不等式が共通で満たす解の範囲を求めることを、
連立不等式の解
と人間界では呼んでいて、その解を求めることを
連立方程式を解く
って言うぞ。
この連立不等式の解き方は次の3ステップだ。
それじゃ3ステップ踏んでいくぞ。さっきの例題を一緒に解いてみよう。
$$\begin{cases} 2x+1>x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
まずは組になっているそれぞれの不等式を1つずつ解いていくんだ。
このステップでは、2つの不等式の関係は一切無視！
一つ一つにしっかり向き合ってくぜ。
$$\begin{cases} 2x+1>x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
をバラしてやって、
$$2x+1>x-3$$
と
$$-5x+7≧-8$$
をそれぞれとこう。
すると、次のように2つの不等式の解が出てくるよな。
$$x>-4$$
$$x≦3$$
ここで出てくるのが数直線だ。
数直線とは、
数の大小関係を直線上に表したもの
だったな。
これは中学数学でも出てきた内容だから思い出してくれ。
数直線は書かなくてもゲームオーバーにならないが、書いたほうがわかりやすいからオススメだ。
数直線を書いた方が、
複数の不等式の解の共通範囲がわかりやすいんだな。
数直線で不等式の解の範囲を表すときに1つ注意してくれ。
それは、
不等式の解の境界だ。つまり、領域の端っこのことな。
境界を含む時は「●」で塗りつぶし、境界を含まないんだったら「○」にしてやろう。
不等式は「境界を含むか含まないか」が大事だ。ここをミスっちまうとどんなに善良な人間だろうが不正解になっちまうおそろしい世界だ。
で、
例題の不等式の解を数直線を書いてみると次のようになる。
$$x>-4$$
$$x≦3$$
最後に、数直線から2つの不等式の解の共通範囲を求めよう。
2つの不等式の解の範囲がかぶっている範囲
を探せばいいんだな。
数直線で書いてみて、被っている領域を発見したら、斜線を引いたり、塗りつぶしてやったりして、視覚的にわかりやすくするといいな。
さっきの例では、ここが共通範囲。
したがって、この斜線の範囲が連立不等式の解になる。
この被り領域を不等号で表すと次のようになるな。
$$-4<x≦3$$
これが連立不等式の解だ！
でもな、たまに ｛ でつながっていない連立不等式もあるんだ。
例えば次のようなやつだな。
$$2x+1<x-3<-5x+7$$
1直線上に不等号が連なっていてるパターン。
一見奇妙に見えるが、これも連立方程式の一種だ。
この場合、
最初に2組の不等式に分けてやるんだ。
一直線になってる連立方程式は、次のように2つの不等式に分けられるからな。
$A < B < C$
だったら
に分けられるんだ。
つまり、
$$2x+1<x-3<-5x+7$$
は
$$\begin{cases} 2x+1<x-3 & \\ x-3<-5x+7 & \end{cases}$$
になる、と。
2組の不等式にわけたら、それぞれ解いてやって、解の共通範囲を求めてやれば万事OKさ。
それじゃあな！
この前は一次不等式の解き方を勉強してきたな。
今日はワンステップのぼって、
分数を含む一次不等式の解き方
を勉強していこう。
例えば次のような$x$についての不等式だ。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
分数が含まれて臆することはないぞ。
分数を含む一次方程式の解き方や分数を含む連立方程式の解き方と同じだ。
そう、
最初に分母を払えばいい
んだ。
つまり、不等式から分数を消し去ってやるのさ。
分数を掃除できたら、いつも通り不等式をとくんだ。
それじゃあさっきの例題を解いてみよう。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
まずは分数を消し去っていくぞ。
分数を含む項に注目して、その分母の最小公倍数を不等式の両辺にかければいいんだ。
分母の数を何倍かしたら、2つともそれぞれ同じになる
ような数を探せばいいんだ。
例題では分母が「4」と「6」だよな。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
この4と6の公倍数はたくさんあるけど、1番小さいのは「12」だ。
4と3をかけたら12になるし、6と2をかけても12になるからな。
この最小公倍数「12」を両辺にかけると、次のように不等式を変形できるぞ。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
$$12×\frac{x-5}{4}+12×5>12×\frac{2}{3}x$$
$$3(x-5)+60>8x$$
最小公倍数がよくわからない？？
そんな時は、
すべての分母の数をかけ算したものを両辺にかける
という荒業もあるぞ。
たとえば次の例だと、分母の「4」と「6」をかけた「24」を不等式の両辺にかけてもいいわけだ。
$$\frac{3x-1}{4}+10>\frac{7}{6}x$$
$$24×\frac{3x-1}{4}+24×10>24×\frac{7}{6}x$$
ぶっちゃけ、この「24」は分母の4と6の公倍数だけれども、最小公倍数ではない。
でも、計算には支障ないからこれでもいいんだ。
不等式の両辺に分母の最小公倍数をかけたほうが、いい。
なぜなら、変形した後に文字の係数が小くて計算しやすい、っていうメリットがあるからな。
でも、別に公倍数なら何をかけてもいい、ってことも頭に入れておこう。
不等式を次のように変形するぞ。
文字（不等号）文字以外
項の移動には移項という技を使うんだ。
移項するときは符号に注意してくれよな。
逆サイドに項を運ぶとき、その項の符号を逆転させればいいんだ。
さっきの例の不等式は次のように変形できるな。
$$3(x-5)+60>8x$$
$$3x-15+60>8x$$
$$3x-8x>-45$$
$$-5x>-45$$
最後は文字の項の前についている数（係数）で不等式の両辺をわるぞ。
最後の最後に文字の項をツルツルにすればいいんだ。
ここで注意したいのは、係数の符号がマイナスの場合だ。
不等式の性質でやったように、
0より小さい数を不等式の両辺にかけたり割ったりすると、不等号が逆転する
という現象が起きるんだ。
つまり、このフェーズでも、もし係数が負の数だったら不等号が逆転しまうぜ。
そして例題ではなんと偶然にも、$x$の係数が負の数$-5$だ。
$$-5x>-45$$
だから、両辺を$x$の係数でわるときは不等号を逆転させて、次のようになるぞ。
$$-5x>-45$$
$$-5x÷(-5)<-45÷(-5)$$
$$x<9$$
以上が分数を含む一次不等式の解き方だ。
注意点は最後のステップだな。
文字の係数で両辺をわるとき、その係数がマイナスだった場合は不等号を逆転させるってことを忘れないようにしよう。
次は連立不等式の解き方を勉強していこう。
それじゃあ！
不等式とは何かわかったところで、いよいよ不等式を解いていくぞ。
高校数学 I で勉強する不等式の1つに、
一次不等式
ってものがある。これはマックスの次数が1の不等式だ。
例えば$x$についての不等式、
$$5x− 1 <9$$
があったとする。$x$がついている項$5x$に注目してみると、$x$が1回しかかけられてないよな。
式$5x− 1 <9$における最大の次数はこいつがマックスで「$1$」ってことになる。
だから、これは一次不等式なんだ。
ここではこの一次不等式の解き方を解説していくぞ。
一次不等式の解き方は次の3ステップだ。
まずは移項から始めよう。
（文字）不等号 （文字以外）
となるよう、一次不等式を変形するんだ。
文字の項が文字以外の項と仲良くしてたら、そいつらを引き離さなきゃいけないんだ。
例えば、不等式の左側で「文字の項」と「数字の項」が一緒になっていたら、そいつはいけねえ。
すかさず数字の項を右側に移項するんだ。
もし、不等式の右側に文字の項がいたら、そいつを左側に持ってくりゃいい。
移項のやり方は方程式と同じだ。
つまり、逆サイドに項を運ぶ時は符号を逆転させればいいんだ。
プラスのやつを逆に運ぶならマイナスをつけるぞ。
なぜ移項が不等式でも使えるのか？？
それは、不等式の性質の、
不等式の両辺に同じ数をたしたり引いたりしても、2つの数の大小関係は変わらない
を使っているからなんだ。
例題の
$$-5x− 1 <9$$
に戻るぞ。
左側に
が同居しちゃってるよな。これはまずい。
数字の項 $− 1$を右に移項するぞ。
$$-5x− 1 <9$$
$$-5x <9+1$$
$$-5x <10$$
これで、
（文字）不等号 （文字以外）
という形に変化できた。
次は$x$の前についてる数字（$x$の係数）で不等式の両辺をわるんだ。
さっきの例題を見てみる。
$$-5x <10$$
$x$の前についてる数字はどっからどう見ても$-5$だよな？
だから、不等式の両辺を$-5$でわるんだ。
ここでの注意点は割る数の符号な。
割る数がマイナスだったら、不等号を逆にしなきゃいけないんだ。
例題ではなんという偶然か、$x$の前についてるのは負の数だ。
$− 5$で不等式の両辺を割るときは不等号の「$<$」を逆転させて、
$$-5x <10$$
$$-5x÷(-5) >10÷(-5)$$
$$x> − 2$$
となる。
このように、不等式の左サイドを文字1つだけにできたらゴール。これが一次不等式の解なんだ。
基本的な一次不等式の解き方はマスターしたな。
でもな、たまーに、
かっこががついている一次不等式があるんだ。
例えば次のような問題。
$$2(x− 1) <10x+1$$
かっこがいても動ずることなかれ。
分配法則でかっこを外してから、さっきのステップを踏むんだ。
試しにやってみるぞ。
$$2(x− 1) <10x+6$$
$$2x− 2 < 10x+6$$
$$-8x < 8$$
$$x > -1$$
次は分数を含む一次不等式の解き方に挑戦していこう。
それじゃな！
2つの等しくない数の関係を不等号で表した式
だったな。
例えば、
$$5>3$$
とか
$$100000<1000000000000$$
とかが不等式だ。
でもな、たまに文字が含まれている不等式があるんだ。
例えば、$x$についての不等式、
$$5x− 1 > 9$$
があったとしよう。
不等式の左右の数の関係を崩さないような文字の値、
これを、
不等式の解
と人間界では呼んでいるんだ。
例えば、さっきの不等式を見てくれ。
$$5x− 1 > 9$$
$x$に入っても問題ないのは、$3$とか$4$とか$50$でも$100$でも良さそうだ。
こいつら$x$にぶっ込んでも不等式は変わらないよな。
このように、不等式の解はたくさんある。
方程式みたいに1個とか2個とか、そういう次元のレベルじゃない、ってことをまずはおさえようぜ。
そして、不等式の文字に入るたくさんの値を「すべて求める」こと。
これを、
不等式を解く
というんだ。
さっきの不等式の例に戻るぞ。
$$5x− 1 > 9$$
$x$に入れても問題ない$3$とか$4$とか$50$でも$100$、っつうのはすべてこの「不等式の解」に当たるんだ。
でもな、こうやってたくさんの解を列挙するのはとんでもなくつれえよな。
だから、不等式の解はコンパクトに、
不等号で表す！
例えばさっきの不等式 $5x− 1 > 9$ を見てくれ。
$2$より大きいなら、$x$に何を入れても不等号の関係は変わらねぇよな。
だからこの不等式の解は「$x$が$2$より大きいですよ」と表した不等式、
$$x > 2$$
になる。
$3$とか$4$とか$50$とか$100$とか、そういったすべての解をひっくるめて、不等号で表せるんだ。
それじゃあ！
等しくない2つの数の関係を不等号で表した式
だったな。
例えば、
$$x> 1$$
とか
$$x+1 <3$$
が不等式だ。
実はこの不等式には次の2つの性質があるんだ。
$$(1)a<bのとき, a+c < b+c, a-c<b-c$$
$$(2)a<bのとき, c > 0 ならば ac < bc, \frac{a}{c}<\frac{b}{c}, c < 0 ならば ac > bc, \frac{a}{c}>\frac{b}{c}, $$
それぞれ順番に見ていくぞ。
$$(1)a<bのとき, a+c < b+c, a-c<b-c$$
不等式の両辺に同じ数をたしたり引いたりしても、2つの数の大小関係は変わらない、と言っているんだな。
例えば、
$$3 > 1$$
という不等式があったとする。
この両辺に$2$をたしてみるぞ。
$$3+2 > 1+2$$
こいつを計算すると、次のようになる。
$$5 > 3$$
両辺に$2$をたしても大小関係は変わらず、左の方が右よりも大きいよな。
今回は足した場合だけど、引いた場合でも同じさ。
この不等式の性質を使えば、
不等式でも移項できる
ということになる。
移項とは、中学数学の方程式で習ったやつだ。
イコールマークを飛び越えて、逆サイドに項を移動するときに符号を変える技
だったよな。忘れちまったら復習よろしく！
なぜ 不等式も方程式と同じように移項できるのか。
その理由は、この不等式にはこの1つ目の性質があるからだ。
移項したい項を不等式の両辺から引いてやるんだ。
すると、あたかもその数が移項しているように見えるカラクリだ。
例えば、
$$x+1 < y$$
の$1$を右に移項してみる。
そのとき、この$1$を両辺から引いてるんだ。そうすると次のようになる。
$$x+1 < y$$
$$x+1-1 < y-1$$
$$x < y-1$$
$1$が左から右に移動した際、符号が変わってマイナスがついたように見えるな。
このように、方程式と同じように不等式でも移項できるってことも押さえておこう。
$$(2)a<bのとき, c > 0 ならば ac < bc, \frac{a}{c}<\frac{b}{c}, c < 0 ならば ac > bc, \frac{a}{c}>\frac{b}{c}, $$
次の性質はちょっと厄介だぞ。
これは、不等式の両辺にある数をかけたり割ったりしたときの性質を表している。
そのかける数がプラスかマイナスかによってその性質が異なるんだ。
正の数をかけたり両辺にかけたり割ったりした場合、不等式の大小関係は変わらない。
そのまま不等号を維持できるぞ。
例えば、
$$5 > 3$$
という不等式があったとして、そいつの両辺に$2$をかけてみる。
$$5×2 > 3×2$$
$$10 > 6$$
うん、左と右の大小関係わからないよな。
次に、負の数をかけたり割ったりしたときの性質を見てみよう。
その場合、不等式の大小関係は維持されず、不等号が逆になるんだ！
例えば、
$$5 > 3$$
に負の数$-2$をかけるぞ。
$$5×(-2) > 3×(-2)$$
$$-10 > -6$$
あれ、おいおい！
左の$-10$のほうが右の$-6$よりちいせえじゃねえか！
こりゃあ、不等式の不等号がおかしいから、不等号を逆転させればいいのさ。
$$-10 < -6$$
上の検証でわかるように、マイナスの数を不等式の両辺にかけたり割ったりしたら、大小関係を逆転するんだ。
出題者が大好きなトラップなのさ
次は不等式の性質を踏まえて、不等式の解について勉強していくぞ。
それじゃあな！
中学数学では方程式を習ってきたよな。
方程式とは、
2つの等しい数の関係を等号で表したもの
だ。
そう、2つの数を等号（=）、イコールで結んだことを思い出してくれ。
例えば、$A$と$B$と言う2つの数字の大きさが等しいことを表すときは、
$$A = B$$
という方程式を書いたはずだ。
それじゃあ、
2つの数が等しくない時はどうする？
2つの数の関係を数式で表現するのは諦めるしかないのか。
そこで登場するのが、
不等式
だ。
不等式とは、
2つの数の大きさが等しくないことを不等号で表したもの
なんだ。
「不等号」とは2つの数の大小関係を表せる符号で、次の4種類あったよな。
忘れちまったやつは復習しといてくれ。
例えば、
$$3 > 2$$
っていうのも不等式の1種だ。
不等号の口が向いている数のほうが大きいことを表しているから、これは正しい不等式だ。
さらに次のように文字 $x$が混じっていても不等式だ。
$$x+1 > 0$$
こいつは、不等号の口が向いている$x+1$が、その逆側の$0$より大きい、ってことを表してるぜ。
$x+1$は$0$じゃないんだけど、$0$よりも大きいぞ、ってことを意味しているのさ。
うん、これが不等式だ。
繰り返しになるが、不等式とは、
2つの数の大きさが等しくないことを不等号で表したもの
ってことを肝に銘じておこうぜ。
次は「不等式の性質」を勉強していこう。
それじゃな！
