二次関数の問題では、なぜか三角形が絡んでくるけど、中でも厄介なのが、
「等積変形」を使った問題だ。
例えばこんなやつ↓
右下の図で、点A、Bは関数 y=ax² と直線 l のグラフの交点で、点Aの座標は（-2, 5）、Bのx座標は1である。y = ax² の x > 0 に点Pを、△POB＝△AOBとなるようにとる。点Pの座標を求めて。
等積変形とは、
底辺が同じ2つの三角形の頂点が同じ平行線上にあると面積が等しくなる
ってやつだったね。
等積変形を忘れてたら復習してみてね。
この手の問題は5ステップで解けるよ。
最初に「大まかな流れ」を見通しておこう。
問題文では、
△POB＝△AOBとなるようなPを求めなさい
といっているね。
ここで、等積変形の登場だ。
「OBに平行な直線」で、かつ、「Aを通る直線」を引いてみる。
その直線がy = ax² と交わるもう1つのAではない点が「P」になるね。
なぜなら、△POBと△AOBは辺OBを共有していて、かつ、高さが等しくなるからだ。
△POBと△AOBの底辺・高さが等しくなるから面積も等しくなるはず。
この「P」を求めればゲームクリアってわけ。
まずはBの座標を求めよう。
B は y = ax² を通っていて、かつ、x座標が1。
ってことで、y = ax² にBのx座標「1」を代入すると
y = ax²
= a
が出てくるはず。
つまり、このaがBのy座標になるから、Bの座標は、
（1, a）
になるな！
ここでOBの式を求めよう。
OBの式を求める狙いは、
OBの傾きをゲットすること。
APとOBは平行だから傾きが同じになるはずだからさ。
ってことで、OBの傾きはAPの式を知るための手がかりなんだ。
何もビビることはなく、OBの式を求めるのはすこぶる簡単。
原点を通っている直線だから、OBは比例の関数だね。
で、比例ということは、その傾きに当たる「比例定数」は、
(yの増加量）÷（xの増加量）
で求められる。
Bの座標は（1, a）だから、原点からのxの増加量は「1」、yの増加量は「a」。
よって、OBの傾きは、
(yの増加量）÷（xの増加量）
= a ÷ 1
= a
つまり、傾きは「a」だから
y = ax
がOBの式になるはず。
次はAPの傾きを求めるよ。
APはOBと平行な直線だから、傾きが等しい。
つまり、APとOBの傾きは両方「a」だ。
APの傾きもOBの傾きの「a」になるから、APの式の切片をbとすれば
y = ax + b
になるね。
APの傾きはわかったから、あとはこいつに、
Aの座標（-2, 5）
を代入して切片bを求めてみよう。すると、
y = ax + b
5 = a × (-2) + b
b = 2a + 5
になる。
つまり、APの式は、
y = ax + 2a + 5
になる。
次は y = ax² とAPの交点を求めよう。
求めるためには、
という連立方程式を作って解けばいいね。
すると、
ax² = ax + 2a + 5
になる。
さて、ここがこの問題の一番のミソだ。
二次関数 y = ax² とAPは
の2点で交わっているね？
最初から「Aの座標」は（-2, 5）ってわかっていた。
これはなにを意味するのかというと、
を連立させてできた
ax² = ax + 2a + 5
の答えの1つはAのx座標の「x = -2」になるはず。
ってことで、すでにわかっているxの解「x = -2」を代入してaを求めよう。
ax² = a分の1 x + 2a + 5
a ・（-2）² = a分の1 × （-2） + 2a + 5
a = 4分の5
になるね。
いやあ、やっとaの正体がわかったぜ。
二次関数 y = ax² とAPの交点を求める式の
ax² = a分の1 x + 2a + 5
に戻ってみよう。
こいつにaを代入すると、
4分の5x² = 4分の5 x + 2 × 4分の5 + 5
5x² – 5x – 30 = 0
x² – x – 6 = 0
(x-3) (x+2) = 0
x = 3, -2
になる。
x=-2はAのx座標だから、もう1つの「x=3」が「Pのx座標」のはず。
あとはPのy座標を求めればいいから、y = 4分の5x² に x = 3を代入して、
y = 4分の5x²
= 4分の5× 3²
= 4分の45
になる。
したがって、Pの座標は
（3, 4分の45）
だ！！
やった！やっと終わった！
まじなげえな！
もう解きたくねえな！
こんな感じで、二次関数の等積変形を使った問題はちょっと難しい。
正直、息切れは避けられない。
この問題で大事なのは、
解き始める前に等積変形をどのように使うのか？
という見通しを立てることだ。
そして、そのシナリオに合うようにいろいろ条件を整えていけばいいんだ。
難易度が高い問題だけど挑戦してみてね。
そんじゃねー
Ken
みんな元気？「そら」だよ(^_-)-☆
今日は中学3年生で勉強する、
「2乗に比例する関数」
にチャレンジしていくよ。
この単元ではいろいろな問題が出てきて大変なんだけど、
まずは、一番基礎の、
2乗に比例する関数とは何もの？？
を振り返っていこうか。
=もくじ=
中学3年生で勉強する関数は、
y = ax²
ってヤツだよ。
1年生で習った比例y=axの兄弟みたいなもんだね。
xが2乗されてる比例の式だ。
この関数にあるxを入れてやると、
2乗されて、それにaをかけたものがyとして出てくるんだ。
たとえば、aが6の場合の、
y = 6x²
を考えてみて。
このxに「3」を入れてみると、
「3」が2回かけられて、そいつにaの「6」がかかるとyになるよね？
だから、x = 3のときは、
y = 6×3×3 = 54
になるね。
こんな感じで、
関数がxの二次式になっている関数を、
2乗に比例する関数
って呼んでいるんだ。
2乗に比例する関数って形がすごいシンプル。
覚えなきゃいけない言葉も少ないんだ。
たった1つでいいよ。
それは、
っていう言葉。
これは中1で勉強した比例の「比例定数」と同じだよ。
2乗に比例する関数の中で、
xがいくら変化しても変わらない数を、
比例定数
って呼んでるんだ。
y=ax²
の関数の式だったら、
a
が比例定数に当たるよ。
y = 6x²
だったら、「6」が比例定数ってわけだね。
問題でよくでてくるから、
2乗に比例する関数の比例定数をいつでも出せるようにしておこう。
じゃ、2乗に比例する関数のグラフを描いてみよう！
y = ax²のa、x、 yを表にまとめてみよっか。
比例定数aの値が、
の4パターンの時のグラフをかいてみるね。
＞＞くわしくは二次関数のグラフのかき方の記事を読んでみてね。
まず、xとyが整数になる時の値を考えてみると、
こうなる。
これを元に二次関数のグラフをかいてやると、
こうなるよ。
なんか山みたいでしょ？
こういうグラフを「放物線」と読んでるんだ。
グラフの特徴としては、
っていうのがあるよ。
＞＞くわしくは放物線のグラフの特徴の記事を読んでみてね。
2乗に比例する関数はどうだったかな？
基本は1年生のときの比例と変わらないよね？
おさえておくべきことは、
の3つ。
基礎をしっかり復習しておこう。
そんじゃねー
そら
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
二次関数の利用の文章題に逆ギレしていました。
あー、もうやだ！！
なんで二次関数y=ax2でも、
文章問題でてくんだよ！？
あー、なるほどね、
うわあっ！？
先生か、びっくりした……
せっかく二次関数y=ax2に慣れてきたのに……
式が立てられないから、
解けないのかな？
！？
なんでわかるの？
先生って超能力者？
そういう人、結構いるよ。
1年、2年でも関数の文章題出てきたけどね
わたし苦手だった！
そんな文章題アレルギーっ子への朗報！
へっ？何？？
えっ、そうなの？
そう！
基本のパターンを理解すれば……
じゃあ、二次関数の文章題を攻略しよう！
あれっ？
すごくやる気だね……
てへ！
二次関数の利用の文章問題には3パターンあるよ。
3つもあるんだ！
おもいやられるわ。
どれもわかりやすいから大丈夫！
順番にみていこう。
はい！！
1つめの文章題は、
xとyの表から式をよみとるだけ！
へ？
読み取るだけ？？
そう！
たとえば、つぎのような問題ね。
練習問題1.
ボールが天から落ちています。
落下し始めてからの時間をx秒、
その間に落下する距離をymとします。
xとyの関係は以下の表の通りです。
このとき、
xとyの関係を式であらわしなさい。
ｘが1増えると、yが5増えて、
ｘが2増えるとyが20増え……
比例と全然違う！！
実は、これも比例なんだけどね。
じゃあ、1倍、2倍って考えてみよう。
ｘが2倍になると、yは4倍で、
ｘが3倍になると、yは9倍で……
4，9，16って聞いて何か気付くことは？
あっ、何かの2乗になってる！！
こんな関係のときに使うのが、
y=ax²！
なるほど！
この表の関数の式はどうなるかな？
xとyを「y=ax2」に代入すればよかったよね？
お、いいんじゃない？
x=1、y=5を代入して……
5=aになるから、y=5x²！
そう！
これで一つ問題が解けるようになった！
にやり
2つめの文章問題は、
二次関数y=ax2に代入するやつ。
代入かああ・・・
そうそう！
むずくないから大丈夫！
たとえば、つぎのような文章題だよ。
練習問題2.
振り子があります。
周期がx秒の振り子の長さをymとすると、
y=x²っていう関係になります。
周期が1秒の振り子の長さは何mでしょう？
振り子ってなんだっけ？？
よく漫画ででてくるよ。
ワンピースでいうと、
ジャンゴ。
ポケモンでいうと、
スリーパーがもってるやつよ。
あ、あれか！
そこで、問題！
周期が1秒の振り子の長さは何mでしょう？
式に代入しちゃえばいいんだ！
周期はxだから、x=1を代入しよう。
y=x^2
= 1^2 = 1
になる！
そう！だから、
振り子の長さ は1 m
になるよ！
いぇーい
二次関数y=ax2の変化の割合
をもとめる問題。
なんか、難しそう。
そんなことないよ！
たとえば、こんな問題！
練習問題3.
ボールが72mの坂を転がり始めてからの時間をx秒、
その間に転がる距離をymとします。
なんと、xとyには、
y=2x²という関係がありました。
このとき、1秒後から3秒後までの平均の速さを求めなさい。
また、xの変域もだしてね。
うわぁ、なんか、
文章題っぽい文章題でイヤだ。
でも、見て！
2次関数の式が問題に書いてある！
あっ、y=2x²のことかな？
そう。
もう一つ注目してほしいのは、
【平均の速さ】
どう注目すればいいの？
平均の速さは、
【変化の割合】と同じ意味を持っている！
え！なんで？！
じつは、このボール。
瞬間ごとにどんどん速さが速くなってるのよ。
だから、どっからどこまでの速さ
っていう平均の速さとらないと、
速さを特定できないわけよ。
なるほど・・・
まあようは、
二次関数の変化の割合
を求めればいいってことね。
そう！
解き方もおなじ！
おしい！
答え8だと、○がつかない！！
速さだから、
秒速8ｍだ！！
あ、
あと変域がのこってた
文章題の大切なポイント！
【実際にあり得る範囲が変域になる】
この問題だと、坂が72mしかないから、
この2次関数はy=72までしかない。
じゃあ、yの最小値はどこだろう？
０が一番小さいって覚えておくといいよ！
たしかに。
－1mとか、－2mって想像できない
じゃあ、yの変域は、0≦y≦72になるね。
xの変域を求めてみよう！
代入しちゃえばいいやつだ！
y=0のとき、x=0。
y=72のとき、
72=2x²
36=x²
x= ±6
ってあれ？
マイナスも出てきた！
そう！
でも、マイナスはあり得ないよね？
だって、秒数だもんん。
だから、
y=72のとき、x=6ってこと。
0≦x≦6だ！
そう、正解！
二次関数の利用って簡単かも！！
って思ってもらうのが、
今回の目的！
中学の二次関数はy=ax²しか出てこない。
基本のパターンが少ないんだ！
うんうん
レッツチャレンジ！
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
一次関数と二次関数のグラフをながめてました。
一次関数は久しぶりすぎて忘れかけてるし・・・・
二次関数はまだよくわからないところがある。
うわあっ！？
って、先生か。
びっくりした……
せっかくだから、
一次関数と二次関数グラフの違い
を見つけていこう！
復習もできるし一石二鳥？？
そう！
さっそくみていこうー！
いぇーい
一次関数と二次関数のグラフの違いは3つあるよ。
3つもあるんだ！
やべえー
どれもわかりやすいから大丈夫！
順番にみていこう。
はい！！
まずは、一次関数と二次関数の、
「式」
を見比べよう！
あっ。
一次関数の式わすれちゃった・・・・
覚えてないのは仕方がない。
教科書見てみよう。
んー、違いかー！
ｂがあるかないかはわかったよ
もう一つの違いが注目ポイント！
あっ。
見つけた！
え！？
二次関数は、ｘが二乗になっている！
よく気付けた！
この2が二次関数の2なんだ！！
やったー！
つまり、
次数が違うってわけ！
へー
一次関数は一次式の関数、
二次関数は二次式の関数、
って覚えておくといいよ。
ってことは、もし、
三次式なら・・・
三次関数！？
そうそう！！
にやり
相似記号の2つめの覚え方は、
グラフのかたち
だね。
かたち・・・
そうそう！
一次関数と二次関数のグラフをみてみて。
まっすぐと、
曲がってる感じかな？
そうだね。
一次関数が直線で、
二次関数が曲線！
これは、わかりやすい！
あー！そうそう！
一次関数は直線、
二次関数は放物線、
っておぼえておこうね。
うす！
最後はyの値について！
なんか、難しそう。
そんなことないよ！
ヒントはグラフに隠れているから！
グラフ？
あっ、そうか！！
一次関数だとyはプラスにもマイナスにもなる！
おー
二次関数y=ax2だとどうなる？？
二次関数y=ax2だと、
yの値がプラスだけのときや、
yの値がマイナスだけのときがある！
そうそう！
なんでだとおもうー？
えっと。。。
ｘが負の数でも二乗すると、
正の数になるから・・・？
そうそう！
例えば、y=x²だと……
あっ、やっぱりそうじゃん！
うん、そうそう！
なんか、直線が魔法で曲げられたのかと思った
……！？冗談、だよね？
半分くらいは。
けど、二次関数のグラフが曲線になるか知れてよかった。
じゃあ、いつものまとめをしよう！
一次関数と二次関数のグラフの違いは、
だったね？？
一次関数のことも思い出せてきたかも。
よかった。
一次関数と二次関数が
一緒に出てくる問題もあるんだ。
えっ、どんな？？
2つの関数の交点を求める問題があるんだよ
なんか、難しそう。
やり方さえ知っておけば怖くない。
こんな問題が出てきたときに、
一緒に考えていこう！
うす！
やあ、ぺーたーだよ。
二次関数のテストでよくでるのは、
三角形の面積を求める問題。
難しいからみんな嫌がるよね？？
図形と関数のコラボとかやめてほしいけど、
テストに出てきちゃう。
何とか解けるようにしたいね。
そこで、今日は、
二次関数の三角形の面積の求め方
を3ステップを紹介するよ！
つぎの問題をといてみよう！
y = 1/2 x² のグラフ上に2点A, Bがあり、
それぞれのx座標は-4と2です。
直線ABとy軸の交点をCとするとき△AOBの面積を求めてください。
3ステップでとけちゃうよ。
まず座標を求めてみよう。
練習問題でいうと、
の3点の座標ね。
この問題では、それぞの点のx座標がわかってる。
だから、
二次関数にxを代入すればいいね。
y = 1/2 x²にそれぞれ代入すると、
になる。
ってことは、
になるはずだ。
あとは点C。
こいつは、直線ABの切片だね？？
直線ABの式がわかればCの座標もわかるってわけ。
直線ABの式は2点は、
だ。
y=ax+bに代入して連立方程式をつくると、
8 = -4a + b
2 = 2a + b
ってなる。
こいつをとくと、
になるね。
つまり、直線ABの式は、
y = -x + 4
になるんだ。
点CはABの切片だから、
C (0, 4 )になるね。
ちょっと長くなったけど、分かった座標を図に書き込むよ！
三角形の面積を2つにわけて考えてみよう。
練習問題では、
△AOBの面積
を求めたかったよね？？
だがしかし、
そんな三角形見当たらない。
だから自分で、
△AOBを書き込むんだ。
すると、こんな三角形ができあがるよ！
さあ、これで三角形の面積を求めよう！
…と言いたいところなんだけど、このままだと難しいんだ。
なぜなら、
底辺も高さもわかってないからね。
じゃあどうすればいいの！？
よーく見ると三角形が見えてこない？
そう！
△AOBで見るんじゃなくて、
三角形を2つに分けて考えるんだ！
どう分けるかというと…
△COAと、
△COBでわけるんだ。
三角形の面積を計算しよう。
わけた2つの三角形の面積をそれぞれ計算すればいいのよ。
まず△COAの面積。
COを底辺、Aのx座標を高さとしてみてね。
Oのｙ座標は0、Cのｙ座標は4だから
底辺＝4。
高さは「Aからｙ軸まで」の長さ。
つまり、Aのx座標のことだから、
高さ＝4だね。
三角形の面積の公式は「底辺×高さ÷2」だったよね？？
こいつで計算してやると、
△COA
= 底辺×高さ÷2
= 4×4÷2
= 8
になる。
次は△COB。
COを底辺、Bからy 軸までを高さと考えてみると、
△COB
= 底辺×高さ÷2
= 4×2 ÷2
= 4
になるね。
2つの三角形を足しちゃえば終わり！
練習問題でいうと、
△AOB = △COA + △COB
ってわけだね。
実際に計算してみると、
△AOB
= 8 + 4
= 12
になる。
だから答えは12なのさ。
大変だったね。お疲れさま！
二次関数で三角形の面積を求める問題は、
の2ステップで大丈夫。
難しいけど、慣れれば絶対に解けるようになるよ。
じゃ、今回はここまで。
じゃあねー
ぺーたー
みんな、元気にしてる？そらだよ☆彡
比例定数って何かおぼえてる？？
1年生のときにならった比例では、
y=ax
のaを「比例定数」といったね。
じつは、
3年生でならう二次関数y = ax2でもおなじ。
定数aを「比例定数」っていうんだ。
今日はy=ax2の比例定数aを求めてみよう。
たとえば、つぎみたいな問題だね。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき、比例定数を求めなさい。
比例定数の求め方は2ステップ。
例題をいっしょにといてみよう。
yはxの2乗に比例し、x = 3、y=18のとき比例定数を求めてこの関数の式をたてなさい。
xとyを、関数の式に代入してみよう。
y = ax^2
にxとyをぶちこんでやればいいのさ。
練習問題では、
があたえられてたよね？？
二次関数y=ax2に代入してみると、
y = ax^2
18 = a × 3 × 3
9a = 18
になるね。
一次方程式をといてあげよう。
y=ax2にx・yをいれたら、aが残ったでしょ？？
あとは、aの1次方程式をとけばいいの。
練習問題では、
9a = 18
がでてきたよね？？
両辺をaの係数の「9」でわってやると、
9a ÷ 9 = 18 ÷ 9
a = 2
になるね。
おめでとう！
二次関数y=ax2の比例定数が求められたね。
比例定数は「2」だ！
この問題のポイントは1つ。
それは、
関数y=ax2は1点の座標さえわかれば式を求められる
ってこと。
なぜなら、
xとy以外の未知数はaしかないからね。
xとyを代入しちまえば、aしか残らないってわけ。
解き方も簡単でうれしいね。
中学2年生でならった一次関数のときは、
が必要だったじゃん？？
一次関数の式は「y=ax +b」で未知数がaとbの2つあったからね。
それとくらべると、
二次関数y=ax2の比例定数は楽だね。
1つの方程式つくるだけでaがわかっちゃうからね。
問題をといてなれてみよう。
最後に練習問題を1つ紹介するね。
(-4, -8) を通る二次関数y=ax2の比例定数を求めなさい。
今日はここまで！
そんじゃねー
そら
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
二次関数の変域の問題に出会いました。
関数y=x²について、xの変域が -2≦ｘ≦4 のとき、yの変域を求めなさい。
二次関数の変域・・・・？
変域って、
聞いたことあるな。。
でてきたもんね。
でも、
今回は2次関数。。
なんか違う気が・・・
おっ、
いいところに気づいた！
二次関数の変域のナゾ
を解き明かしていこう！
一次関数の変域って覚えてる？
わ、わすれた！！
二次関数の変域は違うの？
そう！
yの最大・最小値が
xの変域の端にならないことがある！！
へっ！？
なんで？？
それは、
グラフの形に秘密がある。
たとえば、
この二次関数のグラフ
y軸に左右対称だ！
1次関数のグラフとの違い
分かったかな？
はい！
このグラフだと、
ｙが0より小さくなること
はないですよね！
そう！
じゃあ、
比例定数の正負が
グラフにどう影響あたえる？？
一次関数だと、
比例定数の正負によって、
右上がり、
右下がりだった！
うん。
じゃあ、二次関数はというと、
↓を見比べてみて！！
ｙの変域が特殊。
0で一番小さいときと、
0が一番大きいときがある！！
よく気が付いた！
こっから本番！
練習問題をといてみよう。
関数y=x²について、xの変域が -2≦ｘ≦4 のときのyの変域を求めなさい。
ｙ＝ｘ²
の定数aは正負どっち？
aは1！
ってことは、
「正」だ！
そう！
簡単でも確認は大事
xの変域に、
0が入るかどうか
を確認すること。
これ、大事！！
なんでかって、グラフを見て！
ｘの変域に0が入るとやばい。
ｙの変域の最小が0になる！
そう！
さっきの問題の変域、
「-2≦ｘ≦4」
には0はいってる？？
入ってる！
絶対値が大きいほう
だよ。
念のため確認。
-2と4、
絶対値が大きいのは？
どっちだっけ・・・・・・
絶対値は、
正負関係なく、数字が大きいほど大きい
よ！
ってことは、
4だ！
xの変域に0がふくまれるときは、
絶対値が大きいxを代入する
って覚えよう！
はい！！
さっそく代入してみます。
絶対値が大きいxは4。
y=x²に代入すると、
4×4=16になる。
yの変域は、
0≦ｙ≦16かな！
二次関数の変域とけてるじゃん！
やっっったーあーーー！
二次関数の変域のポイントは、
グラフをかくこと。
これにつきるね。
グラフだと
わかりやすかった！！
でしょ？？
ここまでをまとめるよ。
【定数aの正負】→【xの変域に０が入るか】→【代入は絶対値が大きいほう】
変域が求められるといいね！
が、がんばります！
練習問題つくったよ！
解いてみよう！
【１】ｙ＝2ｘ²において、
【２】ｙ＝-ｘ²で、
ありがとうございます！
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
放物線に出会いました。
二次関数y=ax2のグラフ。。。
放物線？
ほーぶつせん
ほーぶつせん
ほーぶつせん
・・・・・
2次関数で
『ほーぶつせん』
が出てきたんだけど、
よくわからなくて。
なるほど！
『放物線』のことだね。
ひらがなだとわかりづらい。
漢字を見てみよう。
放る、物、線？
そうそう！
『放った物の線』
何か、物を放るの？？
そう！
例えば、
ボールを斜めに投げるとどう？
上がってから、降りてくる！
放ったボールみたいな曲線を
放物線
っていうんだよ。
身近でわかりやすい放物線っていうと、
『噴水』かな
あっ、先生！
あそこの噴水、
放物線に似てる！
放物線は身近にたくさんある！
放物線の特徴を見つけていこう！！
はい！！
曲線になってるとこ
だよ。
反比例のように分かれてもない！
二次関数の放物線は曲線になってるの！
じゃあ反比例と二次関数は一緒？
なるほど！
名前ついてるんだ！
2種類ある！
2種類しかないんだね
二次関数y=ax2の放物線は、
の2種類なんだよ。
なにがちがうんですかー？
ポイントは、
aの部分！
二次関数の比例定数だね。
aが0より小さいと噴水みたいになって、
噴水をひっくり返したみたいになるわけ。
じゃあ、次の特徴！
あっ、先生！
わたし、見つけた！！
ぬ！？
ｙ軸を折り目にして折ってみると、
ほら……！
ピッタリ！
いいとこに気づいた！
y=ax²の式は、
ｙ軸に対称になってるよ♪
他に放物線に特徴あるかな？？
yが0以上しかならないときと、
0以下しか出てこない時がある！！
そう！
a>0だとｙは0以上、
a<0だと0以下なんだ！
二次関数y=ax2の比例定数aをいじってみて。
いじる？？
大きくしたり小さくしてみてよ。
符号かえずにね。
あっ、放物線が閉じたり開いたりしてる・・・！？
そう！よく気付けた！
aの絶対値が大きいほど閉じたグラフになる。
小さいほど、開いたグラフになるんだ。
あっ、ほんとだ！
これで、5つ見つけられたね。
じゃあ、まとめておこう！
ありがとうございます！
これだけじゃない！探せば他にもきっとある！
目指せ、二次関数マスター！！
その歩みが今始まったのだ！！
がんばります！
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。徒歩はこころにいいね。
中学数学で二次関数をたくさん勉強してきた。
グラフの書き方とか、
比例定数の求め方とか、
変域の問題とか、
ほんといろいろ。
今日は最後のとりでの、
二次関数の利用を勉強していこう。
とくにテストにでやすい、
図形を移動させる文章問題
をいっしょにといていこうね。
さっそく問題をといてみよう。
練習問題
1辺の長さが5cm、10cmの直角三角形ABCがあります。
こいつと合同な直角三角形DEFがちょっと先においてあります。
△ABCを毎秒1cmの速さで△DEFにむかって動かします。
点BがDからEまで動くとプログラムされてます。
点Bが点Dにきてからx秒後の三角形が重なった部分の面積をy[cm^2]とするとき、
yをxの式であらわしてください。
あと、グラフとxの変域とかも答えてくれ。
つぎの3ステップで解けちゃうよ。
三角形が重なる部分をイメージしよう。
この面積がyになるはず。
想像できないと関数の式つくれないよね？
実際にイメージしてみるために、
2つの三角形をぐいっと近づけてみよう。
すると、2つの三角形が重なる黄色い部分ができるじゃん？？
イメージできれば第1ステップ終了。
三角形の面積は、
底辺×高さ÷2
だったよね？？
ってことは、重なった三角形の面積をだすには、
の2つが必要になるわけ。
ってことで、まずは底辺。
練習問題の辺DBの長さを求めればいいんだね。
BがDにきてからx秒後のね。
点BがDにきたときのDBの長さは0だ。
ここから、1秒間に1cmの速さで三角形は右に動いていくから、
x秒後には、
DB = x cm
になってるはず。
つぎは三角形の高さをだしてみよう。
BCとDFの交点をGとすると、2つの三角形が重なってできる三角形の高さは、
DG
だよね？？
この辺の長さは、
△ABCと△DBGが相似ってことをつかえば求められる。
なぜ、こいつらが相似な関係にあるのかというと、
っていうかんじで、
2つの角がそれぞれ等しい
っていう相似条件をみたしてるからなんだ。
AB:AC = 2:1でなおかつ、
△ABCと△DBGは相似だね。
よって、
AB:AC
= DB: DG = 2: 1
x : DG = 2:1
DG = 1/2 x
になるね。
三角形の「底辺」と「高さ」が求められたね。
あとは、
三角形の面積を計算するだけ。
重なった部分の三角形、つまり、
△DBGの面積は、
底辺×高さ÷2
= DB ×DG÷2
= x × 1/2 x ÷2
= 1/4 x^2
になるね。
重なった三角形の面積がyだったから、
y = 1/4 x^2
になるわけね。
重なった部分の面積ゲットーーー！おわたーーーー！
ってなるのははやい。
まだ、1つだけやることが残ってるんだ。
それは、
グラフをかくこと
だ。
まずは、
xの変域を求めてみよう。
今回の問題では、BがDに重なってからの秒数をxとしてたね？？
ってことは、
xは負の数はありえない。
つまり、
x ≧ 0
だよね？？
んで、BはEまでしか進めないことになってるから、
x ≦ 10
なはず。
よって、xの変域は、
0≦x≦10
になるね。
xの変域をもとにグラフかいてみようか。
x・y座標が整数になる点
をうてばいいね。
二次関数のグラフの書き方がわからんときは復習してね。
二次関数のグラフのかきかたの基本は、
座標をうちまくって雰囲気で放物線をかく
だったね？？？
1メモリが1の座標に点をうちこんでやるんなら、
の4点でいい。
この点をうって、それっぽい放物線をかいてやると、
こうなるはず↓↓
xが0より小さい場合は点をうったり線をかいたりしちゃダメだよ。
これで文章問題の問いにすべて答えることができたね。
おめでとう！
二次関数の利用の図形の問題はどうだったかな？？
図形の公式通りに等式をたてればいいんだ。
あとはxの変域を間違えないようにね。
そんじゃねー
Ken
みんな、元気にしてる？そらだよ☆彡
今日は二次関数y = ax2 のグラフをかくんだ！
どちらかというと、今日は「絵を描く」感覚(^_-)-☆
え？絵を描くの苦手？
大丈夫だよ、グラフは絵とはべつものだし！
いっしょに二次関数y=ax2のグラフの書き方を勉強していこう！！
二次関数y=ax2のグラフの書き方はつぎの3ステップ。
グラフが通る点をたくさんゲットして、
雰囲気で放物線をかけばいいのさ。
「グラフ」はたくさんの値＝「点」の集まりの「線」だよね。
ということは、まずは「値」を求めなきゃ、グラフは描けないよね。
そして今度は、点たちを座標に書き込むことができる。
点を描き込むことができれば、できたも同然！
あとは点と点を結んで「線」（放物線）を描けちゃうんだ。
今日はいっしょに、
y=1/2x^2
の二次関数のグラフをかいていこうか。
xとy データの「表」をつくるよ！
紙と鉛筆の用意はできたかな？
さっそく始めるよ！
まず、xの値の範囲を決めよう。
沢山あったほうがより正確なグラフがかける。
だけど、今はおおよその形がわかればいいから、
データは10程度あればいいかな。
ってことで、今回はxの変域を「-5 ≦ x ≦ 5」と範囲を決めよう。
そうすると、表はこんな感じになる。
つぎはxの値をいれたときのyを求めればいいね。
地道に計算してみると、こうなる↓↓
計算ばっかでやんなっちゃうけど、ここは我慢しようね。
あとは計算結果を表にうめるだけ。
できたー？
さっきの点データを座標にかきこんでいくよ。
今回グラフをかくのは、メモリの単位が1のの座標でかくんだ。
だから、座標の点はxとyが整数の点だけでいいね。
y=1/2x^2の点データでいうと、
の5つの点だね。
こいつを座標にうちこんでみると、
こうなるね。
最後に点と点を結んでいくよ！
フリーハンドでもいいし、ものさしを使ってもいいよ。
座標の点をもとに雰囲気と直感でかいていこう。
座標をうてないところは点データをもとに、
そこらへんを通るように調整しよう。
おーーーらっよっと、
全部頑張って描きあげたよ！
こんな感じになったかな？
二次関数y=ax2の書き方はどうだったかな？？
きれいな二次関数の放物線のグラフをかくコツは、
たくさん点データを求めること。
これにつきるかな。
雰囲気の部分がすくなくなるからね。
あとは、いろんなグラフを描いてみよう。
またね(^_-)-☆
そら
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。日光にさらされてるね。
中3数学では、夏がすぎたころから、
関数y=ax2
を勉強していくね。
この単元では文字通り、「y=ax2」っていう関数を学んでいくよ。
教科書では、
xの2乗に比例する関数
ってよんでるね。
だけど、この単元を勉強していて思うのは、
ちょっと単元名かっこわるくね？？
ってこと。
こんな名前にするんなら、二次関数っていう名前のほうがいいのにって思うはず。
実際、塾とか参考書とかでは、
「関数y=ax2」のことを「二次関数」とよんでるケースも多いね。
でも、中学数学の教科書のどこをさがしても、「二次関数」っていう単語がでてこないんだ。
こりゃ不思議！
どうして教科書が表記に気をつけているのかな・・・
そんな疑問を解消するために、
なんで中学教科書では「関数y=ax2」を二次関数と呼ばないの？
をかいてみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
結論からいっちゃおう。
教科書で「関数y=ax2」を二次関数と呼ばないのは、
「関数y=ax2」は特殊な二次関数の1つにすぎないから
なんだ。
だから、関数y=ax2を二次関数って呼んじゃうと、他の大多数の二次関数たちが怒りだすわけさ。
宇宙にはかぞえきれないぐらいたくさん2次関数が存在していて、
その中の1つのある特殊な二次関数が、
関数y=ax2
ってわけ。
ちょっと変わった二次関数で周りから浮いてるんだけど、
二次関数っちゃ二次関数なんだ。
なぜなら、関数y=ax2の右辺は二次式だからね。
xの次数の2がいちばん大きな次数じゃん？？
だから、二次関数とよんでも間違いじゃないんだ。
関数y=ax2が二次関数の特殊なやつの1つで、
二次関数ぜんたいをあらわさないとしたら、
二次関数はどういう式であらわされるんだろう・・・
って思うよね。
これは高校数学の範囲になるんだけど、
二次関数はつぎの式であらわされるんだ。
y = ax2 + bx + c
二次式ってことは、最大の次数が2。
ってことは、それより小さい次数の1とか0の項もいるかもしれない。
だから、xが2乗されてるax2だけじゃなくて、
xが1乗されてるbxとか、
xがついてないc とかが足されてるのさ。
んで、中3数学で勉強する「関数y=ax2」は、この二次関数の式で、
のときの二次関数をいってるわけ。
2つの係数が0なんて変わってる二次関数でしょ？？
だから、こいつを二次関数と呼ばずに、「xの2乗に比例する関数」ってよんでるわけよ。
ごちゃごちゃいってきたけど、だいたい、その理由は、
中1数学で「比例」を「一次関数」とよばなかった理由とおなじだね。
「比例する関数」は、
y=ax
だったよね？？
こいつは一次関数の一種。
なぜなら、一次関数y=ax+bでbが0のときの場合にすぎないからね。
xの2乗に比例する関数のあつかいも、
比例と一次関数の関係に似ていると思っておこう。
関数y=ax2を二次関数とよんでしまうのは、
ルフィをワンピースと呼んでしまうのと似てるね。
ルフィってワンピースの主人公であっても、ワンピースっていう漫画自体じゃないじゃん？
また、ブラック缶コーヒーだけが好きな人を、缶コーヒー好きと呼んでしまうことにも似てるね。
ブラック缶コーヒーは、缶コーヒーの中の1種にすぎないのにだよ？
ってことで、関数y=ax2はたしかに二次関数なのだけれども、
二次関数っていう大きなカテゴリーじゃないってことをおさえておこう。
学校のテストでは、
って名前でよんであげてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ジンジャーは心にきくね。
中3数学では、
二次関数y=ax2を勉強していくよ。
ここではあろうことか、いろんな問題が出題される。
二次関数の比例定数を求める問題とか、
グラフをかく問題とか、
xとyの変域を求める問題とかね。
もう、ほんとたくさん。
そんな中でもとっつきやすいのが、
y=ax2のグラフから関数の式を読み取る問題
だ。
手頃でしれっと解けちゃうから、得点源になるはず。
この記事でしっかりマスターしておこう。
たとえばつぎのような問題だ。
つぎの曲線はy=ax2のグラフです。この関数の式を求めなさい。
この手の問題は3ステップでとけちゃうよ。
まず、
x・y座標が正確に読み取れる点
をさがしてみよう。
もし、座標のメモリの単位が「1」だとしたら、
x・y座標がともに整数になってる点をさがせばいいのさ。
例題のメモリの単位も「1」だよね？？
ってことは、xとyの座標が整数の点をさがせばいい。
よーく目をこらしてみてみると、
・・・・・・・・・・・
はっ！
この放物線、
（2, -1）
とおってねえ？
こんなかんじで、xとyのメモリの交点を通っていて、
座標を読み取れる点をさがせばいいのさ。
さっき読み取ったx、y座標を二次関数y=ax2に代入しよう。
っていったかんじで代入してみて。
練習問題では、
になってたよね？？
この座標たちをy= ax2に代入してみると、
-1 = a × (2)^2
-1 = 4a
になる。
あとは一次方程式を解くだけ。
xとyの座標を二次関数y=ax2に代入すると、
aに関する1次方程式ができるはず。
こいつを方程式の解き方通りにといてやればいいのよ。
練習問題でのこった一次方程式は、
-1 = 4a
だね？？
こいつをaについて解いてやると、
a = -4分の1
になる。
よって、このグラフの二次関数y= ax2の式は、
y = -4分の1 x^2
になるね。
おめでとう！
これでy =ax2のグラフから式を読み取れたね。
二次関数y=ax2のグラフから式を読み取れるようになったかな？？
解き方の最大のコツは、
座標を正確に読み取ること。
これにつきる。
ここで間違えると、一次方程式も意味をなさなくなっちゃうからね。
遠視の人はめがねをかけてでもいいから、
正確に座標をゲットしてみよう。
そんじゃねー
Ken
