こんにちは！この記事を書いているKenだよ。蒸しパン、呼んでるね。
方程式の文章題では「速さ・道のりの問題」は出やすい。
前回は「追いつく系」の文章題を解いたけど、もう一個押さえておきたいタイプがある。
それは、
途中で移動手段を変えるパターンだ。
例えば次のような文章題↓
この問題では、途中で移動手段が
「歩き」から「走り」
に変化しているよね？
これ以外にも例えば、
というパターンがあり得るかもしれない。
移動手段が変わる文章題は3ステップで解けるよ。
そろそろわかってきたと思うけど、方程式の文章問題では
「求めたいもの」をXとおけば解けるよ。
今回の問題では、
走った時間
を求めたいんだよね。
ってことで「走った時間」をX分としてみよう。
方程式の文章問題では、
等しい関係にある2つのこと
を見つけよう。
移動手段を変える系の文章題では、
（Aで移動した時間・距離）＋（Bで移動した時間・距離）＝（全体の時間・距離）
という等式が作れるよ。
つまり、それぞれの移動手段でかかった時間（または距離）を足すと、全体の時間・距離になる、っていう等式を作ればいいんだ。
この例題では、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式が作れそう。
全体の移動距離「家から駅まで」は 900 m。
7時に家を出て、7時12分に駅についているから、駅までにかかった時間は12分。
走った時間をx分とすれば、歩いたの時間は（120-x）分になるね。
これらの情報を元に、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式を作ると、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
（歩く速さ）×（歩いた時間）＋（走る速さ）×（走った時間）＝（家から駅までの距離）
60（12-x）+ 150x = 900
になるね！
あとは方程式を解くだけ。
60（12-x）+ 150x = 900
この方程式のポイントは（）を外すところかな。
（）は分配法則で外してやろうぜ。
60（12-x）+ 150x = 900
720 – 60x + 150x = 900
90x = 180
x = 2
になる。今回は「走った時間」をxにしていたから、
走った時間は2分
だ。
これでステージクリア。
こんな感じで、移動手段を変えるパターンの文章題が出ても大丈夫。
それぞれの移動手段でかかった時間や距離を足したら、全体の時間や距離になる、という等式を作ればOKだ。
問題をたくさん解いて慣れていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。洗った、ね。
一次方程式の文章題にはいろんなパターンがあるけど、中でも出やすいのが、
速さ・道のりの文章問題。
例えば、次のようなやつだ↓
AさんはBさんの家を出発して自宅に向かいました。Aさんの忘れ物に気づいたBさんは、Aさんが出発してから10分後に自転車で追いかけました。Aさんの歩く速さを60㍍、Bさんの自転車の速さを分速160㍍とするとBさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か？
よーく読んでみると、
「誰か」が「誰か」に追いついているよね？
例題では「Bさん」が「Aさん」に追いついちゃってるね。
この手の「追いつく系」の速さの文章問題は次の3ステップで解けるよ。
まずは方程式の文章問題のセオリー通り、
求めたいものを「x」と置こう。
この問題では、
BさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か
を求めたいから、その「BがＡに追いつく時間」をAが出発してからx 分後としようぜ。
次は「等しい関係にあるもの」を探してみよう。
追いついちゃう系の問題では、何が等しいのかというと、
2人が移動した距離
だ。
つまり、「追いつかれた人」と「追いついた人」が同じ距離移動しているはず。
例題だと、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
という等式が作れそうだ。
速さの公式を使うと「道のり」は、
速さ×時間
で計算できたね。
つまり今回の方程式は、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
（Aの速さ） ×（Aが移動した時間）＝（Bの速さ） ×（Bが移動した時間）
60 x ＝ 160 （x-10）
になる。
なぜ「Bの移動時間」が（x-10）なのかというと、BはAよりも10分後に出発しているからさ。
Aの移動時間x分から10分差し引かないといけないんだ。
あとは方程式を解くだけ。
60 x ＝ 160 （x-10）
ちょっと厄介なのが「かっこ」がついてるところかな。
「かっこ」が付いているなら分配法則で外してから解くといいよ。
実際に解くと、
60 x ＝ 160 （x-10）
60x = 160x – 1600
100x = 1600
x = 16
となる。
xは「Aが出発してから追いつかれるまでの時間」を表していたから、文章題の答えは、
16分だね。
こんな感じで、追い付く系の速さの文章題では、
「追いつかれた人」と「追いついた人」の移動した道のりが等しい
という方程式を作ればOK。
次は「移動手段を変える系の文章題」を解いていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。干した、ね。
中1で勉強する「一次方程式の文章問題」には色々なパターンがでてくる。
道のり・速さの問題だったり、割合の問題だったり大忙しさ。
ときどき出てきやすいのが、なぜか、
ノートを買いに行く文章題だ。
例えば次のような問題↓
次の3ステップで解けるようになるよ。
方程式の文章題の鉄則は、
求めたいものを「x」とする
だ。
文房具屋にノートを買い行こうが、走って学校に行こうが、長椅子を並べようが同じこと。
今回の例題では、
安いノート1冊の値段
を求めたいから、こいつを「x円」と置こう。
方程式を作るコツは
「条件を変えても変わらないもの」をイコールで結ぶ
かな。
今回の場合、
の2つのパターンが出てきてるね？
高いノートだろうが、安いノートだろうが、変わらないものが1つある。
それは、
手持ちの金額
だ。
たとえば、100円持っていたとしよう。
このとき、ハンバーガーを買いに行こうが、寿司を食べに出かけようが「足りる足らない」は別として、
「100円を持っている」という事実は変わらないはず。
それと同じで、ノートが安かろうが高かろうが、手持ちの金額は変わらないんだ。
だから、この文章問題では
（安いノートを買うときの手持ち金額）＝（高いノートを買うときの手持ち金額）
という方程式を作ろうぜ。
ステップ1で
安いノートの値段を「x円」
とおいたよね？
そして、文章問題によると、高いノートは安いノートより60円高いから、
高いノートは（x + 60）円
になる。
（ノート1冊の値段）× 購入数 ± 過不足
という計算式で「手持ち金額」を表してみよう。
（安いノート買った時の手持ちの金額）＝（高いノートを買う場合の手持ちの金額）
（安いノート1冊の値段）×（購入数）+（余った金額）＝（高いノート1冊の値段）×（購入数）-（足らない金額）
8x + 40 = 5 (x + 60) – 10
8x + 40 = 5x + 300 – 10
3x = 330
x = 110
ふむふむ。
安いノートは1冊あたり110円となるね。
うーん、まあまあ安いね。
今回、xとおいたのは、
安いノートの値段
だったね？
これでステージクリア、と思いきや、あと1つ求めたいものがある。
それは、
手持ちの金額
だ。
「えっ、もう1つ方程式作るの・・・・」
と心配になってるそこの君。安心してくれ。
方程式の左か右にxを代入すればOK。
なぜなら、方程式の両辺が「手持ちの金額」を表しているからね。
左辺「8x + 40 」に「x = 110」を代入すると、
8x + 40
= 8×110 + 40
= 920円
と出てくるね。
まあまあもってるじゃんかよ・・・
こんな感じで、文房具屋に行こうがやることは一緒。
をするだけ。
よーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
二次関数の問題では、なぜか三角形が絡んでくるけど、中でも厄介なのが、
「等積変形」を使った問題だ。
例えばこんなやつ↓
右下の図で、点A、Bは関数 y=ax² と直線 l のグラフの交点で、点Aの座標は（-2, 5）、Bのx座標は1である。y = ax² の x > 0 に点Pを、△POB＝△AOBとなるようにとる。点Pの座標を求めて。
等積変形とは、
底辺が同じ2つの三角形の頂点が同じ平行線上にあると面積が等しくなる
ってやつだったね。
等積変形を忘れてたら復習してみてね。
この手の問題は5ステップで解けるよ。
最初に「大まかな流れ」を見通しておこう。
問題文では、
△POB＝△AOBとなるようなPを求めなさい
といっているね。
ここで、等積変形の登場だ。
「OBに平行な直線」で、かつ、「Aを通る直線」を引いてみる。
その直線がy = ax² と交わるもう1つのAではない点が「P」になるね。
なぜなら、△POBと△AOBは辺OBを共有していて、かつ、高さが等しくなるからだ。
△POBと△AOBの底辺・高さが等しくなるから面積も等しくなるはず。
この「P」を求めればゲームクリアってわけ。
まずはBの座標を求めよう。
B は y = ax² を通っていて、かつ、x座標が1。
ってことで、y = ax² にBのx座標「1」を代入すると
y = ax²
= a
が出てくるはず。
つまり、このaがBのy座標になるから、Bの座標は、
（1, a）
になるな！
ここでOBの式を求めよう。
OBの式を求める狙いは、
OBの傾きをゲットすること。
APとOBは平行だから傾きが同じになるはずだからさ。
ってことで、OBの傾きはAPの式を知るための手がかりなんだ。
何もビビることはなく、OBの式を求めるのはすこぶる簡単。
原点を通っている直線だから、OBは比例の関数だね。
で、比例ということは、その傾きに当たる「比例定数」は、
(yの増加量）÷（xの増加量）
で求められる。
Bの座標は（1, a）だから、原点からのxの増加量は「1」、yの増加量は「a」。
よって、OBの傾きは、
(yの増加量）÷（xの増加量）
= a ÷ 1
= a
つまり、傾きは「a」だから
y = ax
がOBの式になるはず。
次はAPの傾きを求めるよ。
APはOBと平行な直線だから、傾きが等しい。
つまり、APとOBの傾きは両方「a」だ。
APの傾きもOBの傾きの「a」になるから、APの式の切片をbとすれば
y = ax + b
になるね。
APの傾きはわかったから、あとはこいつに、
Aの座標（-2, 5）
を代入して切片bを求めてみよう。すると、
y = ax + b
5 = a × (-2) + b
b = 2a + 5
になる。
つまり、APの式は、
y = ax + 2a + 5
になる。
次は y = ax² とAPの交点を求めよう。
求めるためには、
という連立方程式を作って解けばいいね。
すると、
ax² = ax + 2a + 5
になる。
さて、ここがこの問題の一番のミソだ。
二次関数 y = ax² とAPは
の2点で交わっているね？
最初から「Aの座標」は（-2, 5）ってわかっていた。
これはなにを意味するのかというと、
を連立させてできた
ax² = ax + 2a + 5
の答えの1つはAのx座標の「x = -2」になるはず。
ってことで、すでにわかっているxの解「x = -2」を代入してaを求めよう。
ax² = a分の1 x + 2a + 5
a ・（-2）² = a分の1 × （-2） + 2a + 5
a = 4分の5
になるね。
いやあ、やっとaの正体がわかったぜ。
二次関数 y = ax² とAPの交点を求める式の
ax² = a分の1 x + 2a + 5
に戻ってみよう。
こいつにaを代入すると、
4分の5x² = 4分の5 x + 2 × 4分の5 + 5
5x² – 5x – 30 = 0
x² – x – 6 = 0
(x-3) (x+2) = 0
x = 3, -2
になる。
x=-2はAのx座標だから、もう1つの「x=3」が「Pのx座標」のはず。
あとはPのy座標を求めればいいから、y = 4分の5x² に x = 3を代入して、
y = 4分の5x²
= 4分の5× 3²
= 4分の45
になる。
したがって、Pの座標は
（3, 4分の45）
だ！！
やった！やっと終わった！
まじなげえな！
もう解きたくねえな！
こんな感じで、二次関数の等積変形を使った問題はちょっと難しい。
正直、息切れは避けられない。
この問題で大事なのは、
解き始める前に等積変形をどのように使うのか？
という見通しを立てることだ。
そして、そのシナリオに合うようにいろいろ条件を整えていけばいいんだ。
難易度が高い問題だけど挑戦してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。引き、寄せたね。
図形の問題で、なぜか狙われやすいのが
「高さがわからない台形」の面積を求める問題
だね。
例えば次のようなやつ↓
次の台形の面積を求めよ。
たしか台形の面積の求め方は、
（上の辺＋下の辺）×高さ÷2
だったはず。
「上の辺」と「下の辺」の長さはわかってるけど「高さ」がわからないから、台形の面積の公式が使えねえ！
いったいぜんたい、どうすりゃいいんだろうね？？
そういう時は次の5ステップを踏んでみよう。
上の辺から底辺に「垂線」をおろしちゃおう。
上の頂点から下に垂線を引けばいいよ。
ってことで、垂線は2本。
交点をそれぞれ、
としてみようか。
さっきまで「台形1つ」だった図形が、
の3つに分かれるはず。
なぜ四角形AHIDが長方形なのかというと、
4つの辺が互いにそれぞれ平行
という平行四辺形の条件を満たしていて、かつ、
すべての内角が等しい（それぞれ90度）
からだね。
長方形の性質には「向かいあう辺の長さは等しい」ってやつもあった。
つまり、長方形AHIDの「HI」は向かい合った「AD」に等しいことになる。
ってことで、
HI = AD = 9 cm
だ。
「左下の線分の長さ」をxと置いてみよう。
この例題でいうと、
BH = x cm
だね。
すると、ICもxで表せるね。
ICの長さは、
BC – HI – BH
= 30 – 9 -x
= 21 – x
ここで、
両サイドにできた「直角三角形の高さ」に注目。
四角形AHIDは長方形だから、向かい合う辺の長さは等しい。よって、
AH = DI
なはず。
つまり、
2つの直角三角形（ABHとDCI）の高さは等しいんだ。
この事実を利用して、二次方程式を作ってみよう。
2つの直角三角形の高さをxで表して、イコールで結べばいいんだ。
三平方の定理を2つの直角三角形で使うと、
AH = DI
AB² – BH² = DC² – IC²
17² – x² = 10² – (21-x)²
x = 15
と、「BHの長さ」が出てくるね。
あとは三平方の定理で「台形の高さ」を求めるだけ。
直角三角形ABHに注目してみると、
とわかっているから、残りのAHは、
AH² = AB² – BH²
AH² = 17² – 15²
AH = 8
になるね。
つまり、この台形の高さは「8 cm」ってわけ。
やっと台形の高さがわかったから、あとは公式を使うだけ。
台形の面積の公式は、
（上辺＋下辺）× 高さ ÷ 2
だったよね？
まんま公式を使うと、
（上辺＋下辺）× 高さ ÷ 2
= （9 + 30）× 8 ÷ 2
= 156
したがって、この台形の面積は「156 cm² 」なわけだ。
という感じで、「高さがわからない台形の面積」も三平方の定理を屈指すれば解けるね。
二次方程式の解き方がむずいから、二次方程式の解き方もいっしょに復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。どら焼き、品切れだね。
一次方程式の文章問題にはいろんな種類がある。
中でも、なんか知らんけどよく出てくるのが、
長椅子の文章問題。
例えば、次の問題かな↓
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
今日はこの文章題を解説していくよ。
次の3ステップで解いてみよう。
方程式の文章問題の9割は、
「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。
さっきの
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
という問題の (1) だと、
長椅子の数
を求めたいんだったね？
だからまあ、とりあえず「長椅子の数」を「x脚」としてみようぜ。
ここで注目したいのが、
「長椅子1脚あたりの人数」を変更しても変わらないもの
を見つけること。
ずばりそれは、
生徒数だ。
4人ずつ座らせても5人ずつ座らせても、100人で座らせても、生徒は減ったり増えたりしないよね。
だから、今回の方程式では、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ればいいんだ。
まず左辺の「1長椅子あたり5人」の場合を考えてみよう。
このシチュエーションでは、生徒が多すぎて長椅子に座れず、立ってキレてる奴らが30人いるよね？
だから、生徒数は
（長椅子に座れた生徒数）＋（立っている生徒数）
で計算できるわけだ。
長椅子に座れた人数は「長椅子の数×5人」で計算できるから、「1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数」は
5x + 30
になる。
一方、6人ずつ長椅子に座った場合を考えてみよう。
6人ずつ座らせた場合、
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
で、現在の生徒数が出てくるはずだね。
その中の（長椅子に座れる生徒数）は
椅子の数 × 6
だ。
もう1つの（余った椅子に座れる生徒数）は
（余った椅子の数） ×（1長椅子あたりの人数）
で計算できるから、
6×2
=12
になるね。
よって、
（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
= 6x -12
になる。
ここで、今回の目標だった、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ってみよう。すると、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
5x + 30 = 6x -12
になるはずだ。
あとは
5x + 30 = 6x -12
を解くだけ。
この方程式は簡単。
移項さえマスターしておけばどうにかなるね。
5x + 30 = 6x -12
5x – 6x = -12 -30
-x = -42
x = 42
xは「長椅子の数」だったから、
42個の長椅子が存在しているわけだ。
これが（1）の答えになるよ。
しかし、この問題には続きがあって、（2）で「生徒数」を求めなきゃいけないね。
「長椅子の数」をxにしたから、xを求めるだけじゃ生徒数は出てこない。
ただ、「生徒数」はすでに等式で表していたね。
5x + 30 = 6x -12
の左も右も「生徒数」を意味していたはず。
だから、左右のどっちかに「x = 42」を代入すると、生徒数が出てくるんだ。
試しに、左の
5x + 30
に「x = 42」を代入してみよう。
すると、
5x + 30
= 5 × 42 + 30
= 240
と計算できるね。
つまり、生徒数は240人だ！
いやあ、結構いるね。
こんな感じで、長椅子だろうが普通のチェアだろうが、
「求めたいもの」をXと置けばどうにかなる。
文章問題の黄金の法則は、長椅子の問題でも使えるわけだ。
あと、ポイントは、
方程式の「左辺」と「右辺」は何を表わしているのか？
をしっかり理解するというのも鍵だ。
xを出した後の問題もスムーズに解けるようになるよ。
そんじゃねー
Ken
中学生の連立方程式で厄介なのはやっぱり、
文章問題
だよね。
いわゆる連立方程式の利用っていう単元だ。
中でも狙われやすいタイプは、
「道のり・速さ・時間」についての文章題だ。
例えば、次のような問題↓
この問題は次の3ステップで解けるよ。
まずはやってほしいのが、一旦、とりあえず、
図を書いて整理する
ってこと。
方程式の文章問題では、読んでもわかんなくて、ごっちゃになる時がある。
そういう時も落ち着いて、
問題の情報を「図」とか「絵」でかいてみるんだ。
うだうだ悩んでるよりも、図をかけば1歩進むことになるね。
今回の例題を整理してみると、こんな感じかな↓
すべての文章問題ってわけじゃないけど、9割の文章題では、
「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。
この例題では、
それぞれ何m進みましたか？
って聞かれてるね。
ということは、
を求めればステージクリアだから、こいつらをそれぞれ、
と置いてみよう。
これらをさっきの図に書き込むとこうなる↓
まずは1つ目の方程式を作ろう。
連立方程式は「x」と「y」の2つの文字を使ってるから、2つ式が必要だね。
一番簡単なのが、
道のりに関する式だ。
さっき描いた図をみるとわかるけど、
「毎分80mの速さで歩いた距離」と「毎分120 mで走った距離」を足すと800mになるはずだね。
つまり、
x + y = 800
という式が作れるはずだ。
もう1つは「道のり」じゃなくて「時間」についての等式を作ってみよう。
まず「Aさんが家から学校までにかかった時間」を求めてみる。
問題文によると、
10時に出発して10時9分についた
とあるから、到着までの時間は9分だ。
その「9分」に等しいはずなのが、
の合計。
つまり、
（毎分80 mで歩いた時間）＋（毎分120 m で走った時間）＝ 9分
という式を作ればいいね。
「道のり・速さ・時間の公式」を使うと、
（時間） = （道のり）÷（速さ）
だから、「歩いた時間」と「走った時間」はそれぞれ、
になるね。
だから、
（毎分80 mで歩いた時間）＋（毎分120 m で走った時間）＝ 9分
（歩いた距離 ）÷ （歩いた速さ）＋ （走った距離） ÷ （走った速さ） = 9分
x ÷ 80 + y ÷ 120 = 9
80分のx + 120分のy = 9
という式ができて、これが2つ目の等式になる。
最後に連立方程式を解いていこう。
Step4までで求めた連立方程式はこいつら↓
なんと、まさしく分数を含む連立方程式。
この手の問題は、
分数を消し去すことから始めよう。
分数が含まれているのは2つ目の式で、分数の分母は
の2つ。
こいつらの最小公倍数は240だから、240を両辺にかけてやると、次のようになる。
3x + 2y = 9 × 240
あとは加減法で解くだけ。
1つ目の式を2倍して、2つ目の式から引いてやると、
3x + 2y = 9 × 240
– ) 2x + 2y = 800 × 2
—————————–
x = 9 × 240 – 800×2
x = 560
と、xが出てくるはず。
このxを1つ目の式の
x + y = 800
に代入すると、
560 + y = 800
y = 240
と、yの値まで出てきたよ。
ここで冷静になって、xとyが何を表しているか考えると、
だったね。
ということで、この問題の答えは、
歩いた距離は560 m、 走った距離は240 m
になるんだ。
つまり、Aさんは歩いた距離が長くて、最後に少し走っただけになるね。
こんな感じで、道のり・速さの文章題も情報を整理すれば大丈夫。
あとは「道のり・速さ・時間」の公式を理解して、それを使えば解けるはずだ。
これさえできれば、どんな速さの応用問題でも大丈夫。
「ちょっと連立方程式の解き方が危ういな・・・・」
と思ったら、
を復習してみよう。
そんじゃねー
Ken
中学数学ではたくさん「角度の問題」が出てくるよね？
中でもなぜかでてきやすいのが、この不思議な図解↓
ブーメランのように見えてくるし、矢じりのようにも見えてくるし、「く」にも見えてくる。
いや、紙飛行機のようにも見えなくは、ない。
角度によっては「人」に見えるときも、ある。
じつはこの四角形にはちゃんと名前がついていて、業界では
凹四角形（おうしかくけい）
と呼んでいるんだ。
これは、
1つの内角の大きさが180度を超える四角形のこと
だね。
この問題は難しそうに見えるけど、じつはめちゃくちゃ簡単だよ。
この四角形が出てきたら、次の法則を覚えておけば大丈夫。
ズバリ、
「3つの尖った内角」をたすと「溝の角度」になる
っていう裏技。
たとえば、「尖った部分の角度」がそれぞれ
だとしよう。
このとき、矢じりの裂け目、ブーメランが曲っている角度は、a・b・cをぜーんぶ足した角度になるんだ。
いやあ、こりゃ不思議だね。
これを応用してやると、次のような問題も一発でとけるようになるよ。
xの角度を求めなさい。
この場合、ぜーんぶの角度を足してやって、
45 + 24 + 25
= 94度
で、Xの角度は94度ってわけさ。
いやあ、ぜーんぶ足すだけなんて超楽。
それじゃあ、なぜブーメラン型の四角形の角度は求めやすいんだろうね？？
いろいろ求め方があるけど、一番しっくりきているのは三角形の外角の定理を使う方法かな。
念のために復習すると「三角形の外角の定理」とは、
2つの内角をたすと、残りの内角に接する外角になる
ってやつだったね。
まずは補助線を引いてみよう。
ブーメランの1辺から向かい側に向かって補助線を引っ張ってやる。
そして、三角形を2つ作る。
あとは2つの三角形で、三角形の外角の定理を2回使うだけ。
まず手前の「赤い三角形」で外角の性質を使ってみよう。
すると、外角の大きさはaとbを足したやつになるはず。
そして、緑の三角形でもう一回、外角の定理を使っていくよ。
この三角形に注目してみると、
という2つの内角になっているから、これらを足すと外角は
a+b+c
になるはずだ。
これで、ブーメランの尖ってる角度をたすと、曲っている角度になると証明できたね。
こんな感じで、ブーメラン型の四角形は解き方を知っていれば楽勝。
テストにでてきたらむしろガッツポーズしてもいい。
ただ、なぜそうなるかまで押さえておくと、応用問題まで対応できるようになるから勉強してみてね。
そんじゃねー
Ken
この記事を書いているKenだよ。下痢に、勝ったね。
中学数学ででてくる円錐の問題には
とかいろいろあるけど、もう1つでてきやすいのが
円錐を転がす問題
だね。
例えば次のような問題↓
半径4cmの底面である円錐を滑らずに転がしてみたところ、円錐が4回転してちょうど一周しました。この円錐の側面積を求めなさい。
わざわざ円錐を転がすぐらいだから難しそうだけど、ゆっくり解いていけば大丈夫。
まずは円錐の転がった距離を求めてみよう。
図でいうと、この円の円周の長さだね↓
円錐が転がらずに回ったとすれば、円錐の底面のふちが移動した距離は、
回転数 × 底面の円周の長さ
で求められるよ。
この問題だと、
だから、
回転数 × 底面の円周の長さ
= 4 × 8π
= 32π
になるね。
次は母線の長さを求めよう。
母線とは、「円錐の頂点から底面への長さ」のことだね。
この母線を求めるためには
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離
という方程式を作ればいいよ。
母線をrとしてやると、
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離2πr = 32π
r = 16 cm
となって、母線の長さは16 cm になるはずだ。
母線が16 cm とわかったから、問題の円錐はこんな感じになってるね↓
ここで冷静になって、側面積を求める前に円錐の展開図をかいてみよう。
円錐の展開図は
でできているよね？
つまり、円錐の側面積は「扇形」になるわけだ。
半径×半径×中心角÷360
で求められる。
だから、面積を求めるためには「扇形の中心角」が必要になってくるんだね。
側面の扇形の中心角を X として方程式を作ってみよう。
扇形の弧の長さ = 底面の円周の長さ
という方程式を作って、中心角を求めればいいね。
例題では、
16× 2π × X ÷ 360 = 8π
という式ができて、
X =90°
になるはず。
「扇形の中心角の求め方」がいまいちわからない時はこの記事で復習してみてね↓
いよいよ扇形の面積の公式を使って、側面積を求めていこう。
扇形の面積の公式は
半径×半径×円周率×中心角÷360
で求められるから、
16の2乗×π ×90÷360
= 64π [cm²]
が正解だね。
こんな感じで、円錐が転がっちゃう応用問題もステップを踏んでやれば大丈夫。
転がる問題を解くために必要なのは、
の3つだけ。
ひるまずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。音声入力、最高。
中3数学で勉強する方程式は「二次方程式」。
こいつは「次数が2の方程式のこと」なんだけど、解き方が6つもあるせいで、なかなかに解くのが難しい問題だね。
しかも、ただでさえ二次方程式は厄介なのに、たまに、
分数を含む二次方程式
というモンスターが出現することがあるんだ。
今日はこのパターンの二次方程式の解き方をマスターしていこう。
たとえば次のような問題があるよ。
次の二次方程式を解きなさい
X²ー3分の1X = 8
分数が紛れ込んでいる二次方程式の問題は、厄介だからこそテストや宿題に出やすい。。
次の3つのステップで瞬殺してみようぜ。
まず最初にやるべきことは、分数を消し去ること。
分数なければいつも通りの二次方程式になるから簡単になるよね。
じゃあどうやって二次方程式から分数を削除するのかっていうと、
分母の最小公倍数を両辺にかければいいんだ。
この分数の消し方は、
とまるまる一緒だね。
さて、例題の二次方程式を見てみよう。
次の二次方程式を解きなさい
X²ー3分の1X = 8
よーく見てみると分数の項が1つで、
ー3分の1X
しかない。
1つしか分数の項がないから、分母の最小公倍数はこの分母の3になるね。
ってことで両辺に3をかけてやると、
になる。
分数が消えたか確認してみてね。
あとはいつも通り二次方程式を解くだけでいいんだ。
例題を見てみよう。
3X²ーX = 24
はx2乗の項とxの項、整数の項がそれぞれ1つずつある二次方程式。
みやすいようにすべての項を左辺に寄せてみよう。
すると、こうなる↓
3X²ーX – 24 = 0
あとは二次方程式をいつも通りとくだけ。
「3X²ーX – 24 = 0」は公式で因数分解できないけど、たすき掛けの因数分解なら使えそう。
3X²ーX – 24 = 0
でたすき掛け因数分解を使ってやると、
3X²ーX – 24 = 0
(X-3) (3X+8) = 0
になるね。
たすき掛け因数分解を忘れちゃった時はこの記事で復習してみてね↓↓
（X-3 ) と(3X-8)のどっちかが0のとき、(X-3) (3X-8)が0になるから、
の2通りの等式ができるはずだね。
よって、この2つの方程式を解くと答えは、
x =3, -3分の８
だ。
以上が分数を含む二次方程式の解き方だったよ。
ポイントはやはり、
一番最初に分数を消し去るということ。
分数がなくなればいつも通りに二次方程式の解き方でとけばいいから、
の6つの二次方程式の解き方が使えるようになるんだ。
テストにも出やすいからよーく復習してこう。
そんじゃねー
Ken
やあ、Dr.リードだよ。今日は「逆」だよ。逆。
これまで勉強してきた、三平方の定理には、
三平方の定理（ピタゴラスの定理）の逆
っていうのがあるんだ。
逆は中2数学で習ったやつだったね。
忘れてるやつも多いと思うから、逆を復習しつつ、
三平方の定理でも逆が言えるのか？？
を見ていこう。
=もくじ=
まずは数学の「逆」を復習してみよう。
数学の「逆」とはずばり、
ある命題の「仮定」と「結論」を入れ替えたもの
なんだ。
数学の命題とは、「正しいか、正しくないかを考える事柄のこと」だったね。
たとえば、次のような命題があるとするよ。
x =2, y = 3 ならば x+y = 5
仮定と結論をいれかえて、逆を作ってみると、
x+y = 5 ならば x =2, y = 3
になるね。
この命題の逆は正しいかな？
「x+y=5」を満たすxとyの組み合わせって「x=2, y = 3」以外にもありそうだよね？
たとえば、「x = 0、 y = 5」とかね。
だから、この場合は逆にすると命題が成り立たないね。
この例みたいに、
ある命題は正しいけど、逆は正しい場合もあるし、正しくない場合も両方あり得るんだ。
では、三平方の定理の逆はどうだろ。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）とはこうだったな。
【三平方の定理（ピタゴラスの定理）】
直角三角形の直角をはさむ２辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、
a²＋b² = c²
が成り立つ。
この三平方の定理（ピタゴラスの定理）で逆をつくってみようか。
三平方の定理の仮定と結論は、
だ。
この逆をつくってみると、
になるね。
つまり、三平方の定理（ピタゴラスの定理）の逆は、
「a²＋b² = c²」ならば「直角三角形である」
だ。
はてさて、これは正しいのかな？
三平方の定理の逆の証明してみるか。
わかりきってても、きっちりいくぜぃ。
下の図のような△ABCと△DEFがある。
【仮定】
△ABCにおいて a²＋b² = c²
△DEFは直角三角形である。
【証明】
△ABC と△DEF について、
仮定より、 a²＋b² = c²・・・(1)
△DEFは直角三角形なので 三平方の定理より
a²＋b² = x² ・・・(2)
(1)・(2)より、
c² = x²
c も x も正の数なので 、
c = x
△ABCと △DEF の3つの辺がそれぞれ等しいので、
△ABC ≡△DEF
よって ∠BCA ＝∠EFD＝90°
したがって、
△ABC は直角三角形である。
この証明からわかるのは、
三平方の定理の逆も正しい！
ってこと。
中学生ならこの証明で十分かな！
三平方の定理の逆をつかった問題を解いてみよう。
練習問題
次の1辺の三角形があります。直角三角形となるのはどれですか。
(1) 3 cm 4 cm 5 cm
(2) 2 cm √7 cm √10 cm
(3) 15 cm 13 cm 7 cm
(4) 2 cm 2 cm √6 cm
(5) 2√5 cm 2√6 cm 2√7 cm
(6) 2√5 cm 2√5 cm 2√10 cm
2ステップで解けちゃうぜ。
一番長い斜辺は5 cmだから、斜辺の2乗は5² = 25。
他の2辺のに乗の和は、
3² + 4² = 25
になるね。
三平方の定理が成り立つから、直角三角形である！
斜辺は√10cmだから、斜辺の2乗は、
(√10)² = 10
になる。
他の2辺の2乗の和は、
2² + (√7)² = 11
三平方の定理が成り立たないから、直角三角形ではない。
一番長い辺の斜辺は15 cm。
斜辺の2乗は 15² = 225。
他の2編の2乗の和は、
7² + 13² = 218
三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。
斜辺は√6 cmだから、斜辺の2乗は、
(√6)² = 6
になる。
他の2辺の2乗の和は、
2² + 2² = 8
三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。
斜辺は2√7 cmだ。
斜辺の2乗は(√7)² = 7
他の2辺の2乗の和は、
(2√5)² + (2√6)² = 44
三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。
斜辺は2√10 cmだから、斜辺の2乗は (2√10)² = 40になる。
他の2辺の2乗の和は、
(2√5)² + (2√5)² = 40
三平方の定理が成り立つから、直角三角形。
三平方の定理の逆はどうだったかな？
散々「ピタゴラスった！」から慣れたようだね。
つぎは立体で三平方の定理を使えるようになってみよう！
それじゃあな！
Dr.リード
やあやあ、Dr.リードだよ。
3年生の数学もいよいよ大詰め。
今日は、高校入試でよく出てくる、
正四角錐の高さを求める問題
を解説していくぞ。
正四角錐って、底面が正方形で、先っちょが尖ってる立体のことだったね。
ちょうど、エジプトのピラミッドが正四角錐だな。
正四角錐の高さを求めるためには、中3で勉強した三平方の定理も使っていくぞ。
正四角錐の高さの求め方はつぎの4ステップだ。
つぎの例題をいっしょに解いていこう。
練習問題
つぎの正四角錐の立体の高さを求めなさい。
まずは、補助線をガンガン入れる。直角にも印をつけるといい。
正四角錐の中の直角三角形を見つけやすくするためだ。
つぎは、正四角錐の底面に注目してみよう。
底面の正方形の対角線の長さを計算していくんだ。
底面は1辺が6cmの正方形だったな？
この正方形の半分の直角三角形で三平方の定理を使ってやると、
6² + 6² = x²
x = √72 = 6√2
になるぞ。
ってことは、正四角錐の底面の対角線の半分の長さは、
6√2÷2 = 3√2
だ。
つぎは、正四角錐の頂点からの垂線に注目。
垂線をふくむ直角三角形を探して、三平方の定理を使えばいいんだ。
さっき見つけた正四角錐の頂点からの高さを求めてみよう。
使うのは、もちろん、
三平方の定理！
正四角錐の頂点からの高さをhとしてやると、
5² = (3√2)² + h²
h = √7
になるね。
つまり、この正四角錐の高さは√7 cmってわけ！
正四角錐の高さの求め方はどうだったかな？
つぎの4ステップで計算できちゃったな。
入試問題によく出てくるから復習しておこう。
正四角錐の高さが計算できたら次は円錐の高さに挑戦してみよう。
じゃあな
Dr.リード
